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概率论与数理统计教案,第6章,参数估计
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概率论与数理统计教案,第6章,参数估计
概率论与数理统计 教学 教案
第 第 6 章 参数估计
授课序号 1 01 教
学
基
本
指
标
教学课题
第 6 章 第 1 节
点估计 课的类型
新知识课 教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段
黑板多媒体结合 教学重点 点估计、估计量与估计值的概念、估计量的无偏性、有效性和一致性的概念、、估计量的相合性、矩估计法（一阶、二阶距）和最大似然估计法。
教学难点 矩估计法（一阶、二阶距）和最大似然估计法。
参考教材
浙江大学《概率论与数理统计》第四版 作业布置
课后习题 大纲要求
1．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念；了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性；会利用大数定律证明估计量的相合性。
2．掌握矩估计法（一阶、二阶距）和最大似然估计法。
教
学
基
本
内
容
一．矩估计法 1.矩估计法的基本思想是替换原理，即用样本矩去替换相应的总体矩，这里的矩可以是原点矩也可以是中心距。我们知道，矩是由随机变量的分布唯一确定的，而样本来源于总体，由大数定律，样本矩在一定程度上反映总体矩的特征。
2．矩估计法：用样本矩来估计总体矩的估计方法称为矩估计法. 3．矩估计法的步骤：
设总体 X 的分布中包含 m 个未知参数 ? 1 ， ? 2 ，…， ? m ，1 2, , ,nX X X 为来自总体 X 的样本，如果总体的 k 阶 原 点 矩 ( )kE X 存 在 ， 并 设1 2( ) ( , ,..., )kk mE X ? ? ? ? ? ， 相 应 的 k 阶 样 本 原 点 矩 为
11nkk iiA Xn?，以kA 替代 ( )kE X ，即可得到关于 ? 1 ， ? 2 ，…， ? m 的方程组
1 211( , ,..., ) , 1,2,...,nkk m iiX k mn? ? ? ? 方程组的解1 2( , , , ), 1,2, ,knX X X k m ? ，称为参数 ? k ( 1,2, , ) k m ? 的矩估计量.
4．若代入一组样本观测值1 2, , ,nx x x ，则1 2( , , , )knx x x 称为参数 ? k ( 1,2, , ) k m ? 的矩估计值. 二．最大似然估计法
1．最大似然估计的步骤：
若总体 X 的分布中含有 k 个未知待估参数 ? 1 ， ? 2 ，…， ? k ，则似然函数为
1 2 1 21( , ,..., ) ( ; , ,... ).nk i kiL f x ? ? ? ? ? ? ?
解似然方程组 0, 1,2, ,iLi k? ，或者对数似然方程组ln0, 1,2, ,iLi k? ，即可得到参数的最大似然估计1 2? ? ?, ,...,k? ? ? 。
2．定理：若 为参数 ? 的最大似然估计， ) g ? ( 为参数 ? 的函数，则? )g ? ( 是 ) g ? ( 的最大似然估计. 三．点估计的评价标准 1. 无偏性：设1 2? ? (, , , )nX X X ? ? ? 是未知参数 ? 的估计量，若 ? ? ? )?( E ，则称 ? ? 为 ? 的无偏估计。
2. 有效性：设2 1?, ? 均为参数 ? 的无偏估计量，若1 2? ?( ) ( ) , D D ? ? ? 则称2 1? ? 比 有效。
3. 相合性（一致性）：设 ? ? 为未知参数 ? 的估计量，若对任意的 0 ? ? ，都有? lim 1nP ? ? ? ? ，即 ? ?依概率收敛于参数 ? ，则称 ? ? 为 ? 的相合（一致）估计。
4.定理：设 ? ? 为 ? 的估计量，若?lim ( ) , lim ( ) 0n nE D ? ? ? ? ? ,则 ? ? 为 ? 的相合（一致）估计. 四．例题讲解 例 1．设 X 为某零配件供应商每周的发货批次，其分布律为 2 20 1 2 32 (1 ) 1 2XP ? ? ? ? ? ? ? 其中 ? 是未知参数，假设收集了该供应商 8 周的发货批次如下：3，1，3，0，3，1，2，3，求 ? 的矩估计值. 例 2．设某种钛金属制品的技术指标为 X 其概率密度为11, ,( )1.0,xf x xx? 其中未知参数 1 ? ? ，1 2, , ,nX X X 为来自总体 X 的简单随机样本，求 ? 的矩估计量. 例 3．已知某种金属板的厚度 X 在( a , b )上服从均匀分布，其中 a , b 未知，设抽查了 n 片金属板，厚度分别为1 2, , ,nX X X ，试用矩估计法估计 a , b
. 例 4．设袋中放有很多的白球和黑球，已知两种球的比例为 1:9，但不知道哪种颜色的球多，现从中有放回地抽取三次，每次一球，发现前两次为黑球，第三次为白球，试判断哪种颜色的球多。
例 5．求出例 2 中未知参数 ? 的最大似然估计量.
例 6． X 设某种元件使用寿命 的概率密度为2( )2 ,( )0,xe xf x? ? ? 其它，其中 0 ? ? 是未知参数，设1 ,,,nx x 是样本观测值，求 ? 的最大似然估计. 例 7．设某工厂生产的手机屏幕分为不同的等级，其中一级品率为 p ，如果从生产线上抽取了 20 件产品，发现其中有 3 件为一级品，求：
（1）
p 的最大似然估计； （2）接着再抽 5 件产品都不是一级品的概率的最大似然估计. 例 8．设样本1 2, , ,nX X X 来自正态总体 X
? N
( ? ， ?
2 )，其中 ? ， ?
2 未知，求 ? 和 ?
2 的最大似然估计。
例 9．设总体 X 的 k 阶矩 ( )kkE X ? ? 存在，证明: 不论
X 服从什么分布，样本的 k 阶矩11nkk iiA Xn?是k? 的无偏估计。
例 10．已知2211 ( )niiB X Xn ，2 211( )1niiS X Xn ?都是总体方差2? 的估计量，问哪个估计量更好？ 例 11．设总体 X 的概率密度为222( ) 30xxf x? ? ?其它，其中 ? 是未知参数, 1 2, ,...,nX X X 为来自总体 X 的简单样本，选择适当常数 c ，使得21niic X是2? 的无偏估计. 例 12．设某种产品的寿命 X 服从指数分布，其概率密度为10,( )0 0xe xf xx? ，其中 ? 为未知参数，1 2 3 4, , , X X X X 是来自总体的样本，设有 ? 的估计量 1 1 2 3 41 1?( ) ( )6 3X X X X ? ? ? ? ? ， 2 1 2 3 41?( 2 3 4 )5X X X X ? ? ? ? ? ， 3 1 2 3 41?( )4X X X X ? ? ? ? ?
问哪一个最优？ 例 13．设 X 是总体 X 的样本均值，则当 X 作为总体期望 E ( X )的估计量时， X 是 E ( X )的相合估计量。
例 14．1~ ( ,2 ), 0 , ,nX U X X X ? ? ? ? 设总体 其中 是未知参数， 是 的样本, 试证明2?=3X ? 是 ? 的相合估计量.
授课序号 02 教
学
基
本
指
标
教学课题
第 6 章 第 2 节
区间估计 课的类型
新知识课 教学方法
讲授、 课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合 教学重点 置信区间、区间估计、单个正态总体的均值和方差的置信区间、两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。
教学难点 置信区间、区间估计、单个正态总体的均值和方差的置信区间、两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。
参考教材
浙江大学《概率论与数理统计》第四版 作业布置
课后习题 大纲要求
1．掌握建立未知参数的（双侧和单侧）置信区间的一般方法； 2．了解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。
教
学
基
本
内
容
一．区间估计的概念 1．置信区间：设 ? 为总体的未知参数，若对于给定的 ? （0< ? < 1），存在统计量1 1 1 2? ? (, , , )nX X X ? ? ? 和2 2 1 2? ?( , , , )nX X X ? ? ? ，使得1 2? ?{ } 1 P ? ? ? ? ? ? ? ? ,则称随机区间1 2? ?[ , ] ? ? 为参数 ? 的置信度（或置信水平）为 1- ? 的置信区间，1 2? ? 和 分别称为置信下限和置信上限。
2．枢轴量: 称满足下述三条性质的量 Q 为枢轴量. （1）是待估参数 ? 和估计量 X 的函数； （2）不含其他未知参数； （3）其分布已知且与未知参数 ? 无关。
3．求置信区间的一般步骤:
（1）根据待估参数构造枢轴量 Q,一般可由未知参数的良好估计量改造得到； （2）对于给定的置信度 1- ? ，利用枢轴量 Q 的分位点确定常数 a ， b ，使 { } 1 P a Q b ? ? ? ? ? ； （3）将不等式恒等变形为1 2? ?{ } 1 P ? ? ? ? ? ? ? ? ，即可得到参数 ? 的置信度为 1- ? 的置信区间1 2? ?[ , ] ? ? . 二．正态总体参数的区间估计 1. 单个正态总体的情形：
设总体2~ ( , ) X N ? ? ，1 2, , ,nX X X 是取自总体 X 的样本
(1)2? 已知，均值 ? 的置信区间：
? 的置信度为 1 ? ? 的置信区间为2 2, X u X un n? ? ? ?. (2)2? 未知，均值 ? 的置信区间：
? 的置信度为 1 ? ? 的置信区间为2 2( 1) , ( 1)S SX t n X t nn n? ? ? ?. (3) ? 已知，方差2? 的置信区间：2? 的置信度为 1 ? ? 的置信区间为2 21 12 212 2( ) ( ),( ) ( )n ni ii iX Xn n? ? ?. (4) ? 未知，方差2? 的置信区间：2? 的置信度为 1 ? ? 的置信区间为2 22 212 2( 1) ( 1),( 1) ( 1)n S n Sn n? ? ? ? ?. 2. 两个正态总体的情形：
设总体21 1~ ( , ) X N ? ? ，总体22 2~ ( , ) Y N ? ? ， X 与 Y 独立，样本11 2, , ,nX X X 来自总体 X ，样本21 2, , ,nY Y Y 来自 Y . (1)21? ，22? 已知，均值差1 2? ? ? 的置信区间：1 2? ? ? 的置信度为 1- ? 的置信区间为 2 22 2 2 21 2 1 21 2 1 2( ) , ( ) X Y u X Y un n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. (2)
21? ，22? 未知，但2 21 2? ? ? ，均值差1 2? ? ? 的置信区间：1 2? ? ? 的置信度为 1- ? 的置信区间为 1 2 1 21 2 1 2 2 21 1 1 1( 2) , ( 2)w wX Y t n n S X Y t n n Sn n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. (3)1? ，2? 未知，方差比2221的置信区间：2221的置信度为 1- ? 的置信区间为
2 21 12 1 2 12 212 2 2 2( 1, 1), ( 1, 1)S SF n n F n nS S? ? ? ? ?.
以上关于正态总体参数的区间估计的讨论可以列表 1 和表 2 如下：
表 1 单个正态总体参数的区间估计表
待估参数 条件 枢轴量 置信区间 ?
?
2 已知 ) 1 , 0 ( ~ NnX ? 2 2[ , ] X u X un n? ?
?
2 未知 ) 1 ( ~ n tn SX ? 2 2[ ( 1) , ( 1) ]S SX t n X t nn n? ? ? ?
?
2
? 已知 ) ( ~) (2212nXnii 2 22 21 12 21( ) ( ),( ) ( )n ni ii iX Xn n? ? ? ? 未知 ) 1 ( ~) 1 (222nS n ?) 1 () 1 (,) 1 () 1 (212222 2nS nnS n? ? 表 6.2 两个正态总体参数的区间估计表 待估参数 条件 枢轴量 置信区间 2 1? ? ? 2221 , 已知 1 22 21 21 2( )~ (0,1)X YNn n? ? 2 22 2 2 21 2 1 21 2 1 2( ) ,( ) X Y u X Y un n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2221 , 未知，但2221? ? ? 1 21 21 2( )~ ( 2)1 1wX Yt n nSn n? ? ? ? 其中2 221 1 2 21 2( 1) ( 1)2wn S n SSn n? ? ? ? 1 21 2 21 21 2 21 1[ ( 2) ,1 1( 2) ]wwX Y t n n Sn nX Y t n n Sn n? ? ? ? ? ? ? ? 2221 2 1 , 已知 21121 11 222122 2( )1~ ( , )( )1niimjjXnF n nYn 2 22 21 11 11 12 1 2 112 22 21 12 21 1( ) ( )( , ), ( , )1 1( ) ( )n ni ii im mj jj jX Xn nF n n F n nY Yn n? ? ? 2 1 , 未知 21211 2 2222~ ( 1, 1),SF n nS? ?
2 21 12 1 2 12 212 2 2 2[ ( 1, 1), ( 1, 1)]S SF n n F n nS S? ? ? ? ?
三．单侧置信区间
1．单侧置信区间：设 ? 为总体的未知参数，对于给定的 ? （0< ? < 1），若存在统计量1 2? ?( , , , )L L nX X X ? ? ? ，使得?{ } 1LP ? ? ? ? ? ? ? ,则称随机区间?[ , )L? 为参数 ? 的置信度为 1- ? 的单侧置信区间，?L? 称为单侧置信下限；若存在统计量1 2? ?( , , , )U U nX X X ? ? ? ，使得?{ } 1UP ? ? ? ? ? ? ? ,则称随机区间?( , ]U? 为参数 ? 的置信度为 1- ? 的单侧置信区间，?U? 称为单侧置信上限。
2．单侧置信区间的求法：单侧置信区间的求法与双侧置信区间相同，例如，设 X 1
，…， X n 来自正态总体X
? N
( ? ， ?
2 )，其中 ?
2 已知， ?
未知, 利用枢轴量~ (0,1)XU Nn ，如下图，构造 ? ?
1 , P U u ? ? ? ? ?
即
1 ,XP un? ? ? ?恒等变形 1 P X un? ? ? ? ?， 则可得 ? 的置信度为 1- ? 的单侧置信下限为 ? L X un? ? ? ? . 四．例题讲解 例 1．设 X 1
，…， X n 为来自正态总体 X
? N
( ? ， ?
2 )，其中 ?
2 已知， ?
未知, 试求出 ? 的置信度为 1- ?的置信区间。
例 2．某工厂生产一种特殊的发动机套筒，假设套筒直径 X （mm）服从正态分布2( ,0.1 ) N ? ，现从某天的产品中随机抽取 40 件, 测得直径的样本均值为 5.426（mm），求 ?
的置信度为 0.95 的置信区间. 例 3．为估计某种汉堡的脂肪含量，随机抽取了 10 个这种汉堡，测得脂肪含量（%）如下：
25.2，21.3，22.8，17.0，29.8，21.0，25.5，16.0，20.9，19.5. 假设该种汉堡的脂肪含量（%）服从正态分布，求平均脂肪含量 ?
的置信度为 0.95 的置信区间. 例 4．已知某种钢丝的折断力服从正态分布2( , ) N ? ? ，从一批钢丝中任意抽取了 10 根，测得折断力数据（单位：kg）如下：578，572，570，568，572，570，570，596，584，572，求2? 和 ? 的置信度为 0.9 的置信区间。
例 5．某厂利用两条自动化流水线罐装辣椒酱，现分别从两条流水线上抽取了容量分别为 13 与 17 的两个
相互独立的样本，其中2 2 2 21 210.6 , 9.5 , 2.4 , 4.7 x g y g s g s g ? ? ? ? ，假设两条流水线上罐装的辣椒酱重量分别服从正态分布2 21 1 2 2( , ) ( , ) N N ? ? ? ? 和 . (1) 求它们的方差比2122的置信度为 0.95 的置信区间； (2) 若它们的方差相同,2 2 21 2, ? ? ? ? ? 求均值差1 2? ? ? 的置信度为 0.95 的置信区间. 例 6．已知某种建筑材料的剪力强度 X 服从正态分布,我们对该种材料做了 46 次剪力测试,测得样本均值217.17( / ) x N mm ? ，样本标准差23.28( / ) s N mm ? ，求剪力强度平均值 ? 的置信度为 0.95 的单侧置信下限.
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第 6 章 第 1 节
点估计 课的类型
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讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段
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教学难点 矩估计法（一阶、二阶距）和最大似然估计法。
参考教材
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课后习题 大纲要求
1．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念；了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性；会利用大数定律证明估计量的相合性。
2．掌握矩估计法（一阶、二阶距）和最大似然估计法。
教
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基
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内
容
一．矩估计法 1.矩估计法的基本思想是替换原理，即用样本矩去替换相应的总体矩，这里的矩可以是原点矩也可以是中心距。我们知道，矩是由随机变量的分布唯一确定的，而样本来源于总体，由大数定律，样本矩在一定程度上反映总体矩的特征。
2．矩估计法：用样本矩来估计总体矩的估计方法称为矩估计法. 3．矩估计法的步骤：
设总体 X 的分布中包含 m 个未知参数 ? 1 ， ? 2 ，…， ? m ，1 2, , ,nX X X 为来自总体 X 的样本，如果总体的 k 阶 原 点 矩 ( )kE X 存 在 ， 并 设1 2( ) ( , ,..., )kk mE X ? ? ? ? ? ， 相 应 的 k 阶 样 本 原 点 矩 为
11nkk iiA Xn?，以kA 替代 ( )kE X ，即可得到关于 ? 1 ， ? 2 ，…， ? m 的方程组
1 211( , ,..., ) , 1,2,...,nkk m iiX k mn? ? ? ? 方程组的解1 2( , , , ), 1,2, ,knX X X k m ? ，称为参数 ? k ( 1,2, , ) k m ? 的矩估计量.
4．若代入一组样本观测值1 2, , ,nx x x ，则1 2( , , , )knx x x 称为参数 ? k ( 1,2, , ) k m ? 的矩估计值. 二．最大似然估计法
1．最大似然估计的步骤：
若总体 X 的分布中含有 k 个未知待估参数 ? 1 ， ? 2 ，…， ? k ，则似然函数为
1 2 1 21( , ,..., ) ( ; , ,... ).nk i kiL f x ? ? ? ? ? ? ?
解似然方程组 0, 1,2, ,iLi k? ，或者对数似然方程组ln0, 1,2, ,iLi k? ，即可得到参数的最大似然估计1 2? ? ?, ,...,k? ? ? 。
2．定理：若 为参数 ? 的最大似然估计， ) g ? ( 为参数 ? 的函数，则? )g ? ( 是 ) g ? ( 的最大似然估计. 三．点估计的评价标准 1. 无偏性：设1 2? ? (, , , )nX X X ? ? ? 是未知参数 ? 的估计量，若 ? ? ? )?( E ，则称 ? ? 为 ? 的无偏估计。
2. 有效性：设2 1?, ? 均为参数 ? 的无偏估计量，若1 2? ?( ) ( ) , D D ? ? ? 则称2 1? ? 比 有效。
3. 相合性（一致性）：设 ? ? 为未知参数 ? 的估计量，若对任意的 0 ? ? ，都有? lim 1nP ? ? ? ? ，即 ? ?依概率收敛于参数 ? ，则称 ? ? 为 ? 的相合（一致）估计。
4.定理：设 ? ? 为 ? 的估计量，若?lim ( ) , lim ( ) 0n nE D ? ? ? ? ? ,则 ? ? 为 ? 的相合（一致）估计. 四．例题讲解 例 1．设 X 为某零配件供应商每周的发货批次，其分布律为 2 20 1 2 32 (1 ) 1 2XP ? ? ? ? ? ? ? 其中 ? 是未知参数，假设收集了该供应商 8 周的发货批次如下：3，1，3，0，3，1，2，3，求 ? 的矩估计值. 例 2．设某种钛金属制品的技术指标为 X 其概率密度为11, ,( )1.0,xf x xx? 其中未知参数 1 ? ? ，1 2, , ,nX X X 为来自总体 X 的简单随机样本，求 ? 的矩估计量. 例 3．已知某种金属板的厚度 X 在( a , b )上服从均匀分布，其中 a , b 未知，设抽查了 n 片金属板，厚度分别为1 2, , ,nX X X ，试用矩估计法估计 a , b
. 例 4．设袋中放有很多的白球和黑球，已知两种球的比例为 1:9，但不知道哪种颜色的球多，现从中有放回地抽取三次，每次一球，发现前两次为黑球，第三次为白球，试判断哪种颜色的球多。
例 5．求出例 2 中未知参数 ? 的最大似然估计量.
例 6． X 设某种元件使用寿命 的概率密度为2( )2 ,( )0,xe xf x? ? ? 其它，其中 0 ? ? 是未知参数，设1 ,,,nx x 是样本观测值，求 ? 的最大似然估计. 例 7．设某工厂生产的手机屏幕分为不同的等级，其中一级品率为 p ，如果从生产线上抽取了 20 件产品，发现其中有 3 件为一级品，求：
（1）
p 的最大似然估计； （2）接着再抽 5 件产品都不是一级品的概率的最大似然估计. 例 8．设样本1 2, , ,nX X X 来自正态总体 X
? N
( ? ， ?
2 )，其中 ? ， ?
2 未知，求 ? 和 ?
2 的最大似然估计。
例 9．设总体 X 的 k 阶矩 ( )kkE X ? ? 存在，证明: 不论
X 服从什么分布，样本的 k 阶矩11nkk iiA Xn?是k? 的无偏估计。
例 10．已知2211 ( )niiB X Xn ，2 211( )1niiS X Xn ?都是总体方差2? 的估计量，问哪个估计量更好？ 例 11．设总体 X 的概率密度为222( ) 30xxf x? ? ?其它，其中 ? 是未知参数, 1 2, ,...,nX X X 为来自总体 X 的简单样本，选择适当常数 c ，使得21niic X是2? 的无偏估计. 例 12．设某种产品的寿命 X 服从指数分布，其概率密度为10,( )0 0xe xf xx? ，其中 ? 为未知参数，1 2 3 4, , , X X X X 是来自总体的样本，设有 ? 的估计量 1 1 2 3 41 1?( ) ( )6 3X X X X ? ? ? ? ? ， 2 1 2 3 41?( 2 3 4 )5X X X X ? ? ? ? ? ， 3 1 2 3 41?( )4X X X X ? ? ? ? ?
问哪一个最优？ 例 13．设 X 是总体 X 的样本均值，则当 X 作为总体期望 E ( X )的估计量时， X 是 E ( X )的相合估计量。
例 14．1~ ( ,2 ), 0 , ,nX U X X X ? ? ? ? 设总体 其中 是未知参数， 是 的样本, 试证明2?=3X ? 是 ? 的相合估计量.
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第 6 章 第 2 节
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黑板多媒体结合 教学重点 置信区间、区间估计、单个正态总体的均值和方差的置信区间、两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。
教学难点 置信区间、区间估计、单个正态总体的均值和方差的置信区间、两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。
参考教材
浙江大学《概率论与数理统计》第四版 作业布置
课后习题 大纲要求
1．掌握建立未知参数的（双侧和单侧）置信区间的一般方法； 2．了解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。
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一．区间估计的概念 1．置信区间：设 ? 为总体的未知参数，若对于给定的 ? （0< ? < 1），存在统计量1 1 1 2? ? (, , , )nX X X ? ? ? 和2 2 1 2? ?( , , , )nX X X ? ? ? ，使得1 2? ?{ } 1 P ? ? ? ? ? ? ? ? ,则称随机区间1 2? ?[ , ] ? ? 为参数 ? 的置信度（或置信水平）为 1- ? 的置信区间，1 2? ? 和 分别称为置信下限和置信上限。
2．枢轴量: 称满足下述三条性质的量 Q 为枢轴量. （1）是待估参数 ? 和估计量 X 的函数； （2）不含其他未知参数； （3）其分布已知且与未知参数 ? 无关。
3．求置信区间的一般步骤:
（1）根据待估参数构造枢轴量 Q,一般可由未知参数的良好估计量改造得到； （2）对于给定的置信度 1- ? ，利用枢轴量 Q 的分位点确定常数 a ， b ，使 { } 1 P a Q b ? ? ? ? ? ； （3）将不等式恒等变形为1 2? ?{ } 1 P ? ? ? ? ? ? ? ? ，即可得到参数 ? 的置信度为 1- ? 的置信区间1 2? ?[ , ] ? ? . 二．正态总体参数的区间估计 1. 单个正态总体的情形：
设总体2~ ( , ) X N ? ? ，1 2, , ,nX X X 是取自总体 X 的样本
(1)2? 已知，均值 ? 的置信区间：
? 的置信度为 1 ? ? 的置信区间为2 2, X u X un n? ? ? ?. (2)2? 未知，均值 ? 的置信区间：
? 的置信度为 1 ? ? 的置信区间为2 2( 1) , ( 1)S SX t n X t nn n? ? ? ?. (3) ? 已知，方差2? 的置信区间：2? 的置信度为 1 ? ? 的置信区间为2 21 12 212 2( ) ( ),( ) ( )n ni ii iX Xn n? ? ?. (4) ? 未知，方差2? 的置信区间：2? 的置信度为 1 ? ? 的置信区间为2 22 212 2( 1) ( 1),( 1) ( 1)n S n Sn n? ? ? ? ?. 2. 两个正态总体的情形：
设总体21 1~ ( , ) X N ? ? ，总体22 2~ ( , ) Y N ? ? ， X 与 Y 独立，样本11 2, , ,nX X X 来自总体 X ，样本21 2, , ,nY Y Y 来自 Y . (1)21? ，22? 已知，均值差1 2? ? ? 的置信区间：1 2? ? ? 的置信度为 1- ? 的置信区间为 2 22 2 2 21 2 1 21 2 1 2( ) , ( ) X Y u X Y un n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. (2)
21? ，22? 未知，但2 21 2? ? ? ，均值差1 2? ? ? 的置信区间：1 2? ? ? 的置信度为 1- ? 的置信区间为 1 2 1 21 2 1 2 2 21 1 1 1( 2) , ( 2)w wX Y t n n S X Y t n n Sn n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. (3)1? ，2? 未知，方差比2221的置信区间：2221的置信度为 1- ? 的置信区间为
2 21 12 1 2 12 212 2 2 2( 1, 1), ( 1, 1)S SF n n F n nS S? ? ? ? ?.
以上关于正态总体参数的区间估计的讨论可以列表 1 和表 2 如下：
表 1 单个正态总体参数的区间估计表
待估参数 条件 枢轴量 置信区间 ?
?
2 已知 ) 1 , 0 ( ~ NnX ? 2 2[ , ] X u X un n? ?
?
2 未知 ) 1 ( ~ n tn SX ? 2 2[ ( 1) , ( 1) ]S SX t n X t nn n? ? ? ?
?
2
? 已知 ) ( ~) (2212nXnii 2 22 21 12 21( ) ( ),( ) ( )n ni ii iX Xn n? ? ? ? 未知 ) 1 ( ~) 1 (222nS n ?) 1 () 1 (,) 1 () 1 (212222 2nS nnS n? ? 表 6.2 两个正态总体参数的区间估计表 待估参数 条件 枢轴量 置信区间 2 1? ? ? 2221 , 已知 1 22 21 21 2( )~ (0,1)X YNn n? ? 2 22 2 2 21 2 1 21 2 1 2( ) ,( ) X Y u X Y un n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2221 , 未知，但2221? ? ? 1 21 21 2( )~ ( 2)1 1wX Yt n nSn n? ? ? ? 其中2 221 1 2 21 2( 1) ( 1)2wn S n SSn n? ? ? ? 1 21 2 21 21 2 21 1[ ( 2) ,1 1( 2) ]wwX Y t n n Sn nX Y t n n Sn n? ? ? ? ? ? ? ? 2221 2 1 , 已知 21121 11 222122 2( )1~ ( , )( )1niimjjXnF n nYn 2 22 21 11 11 12 1 2 112 22 21 12 21 1( ) ( )( , ), ( , )1 1( ) ( )n ni ii im mj jj jX Xn nF n n F n nY Yn n? ? ? 2 1 , 未知 21211 2 2222~ ( 1, 1),SF n nS? ?
2 21 12 1 2 12 212 2 2 2[ ( 1, 1), ( 1, 1)]S SF n n F n nS S? ? ? ? ?
三．单侧置信区间
1．单侧置信区间：设 ? 为总体的未知参数，对于给定的 ? （0< ? < 1），若存在统计量1 2? ?( , , , )L L nX X X ? ? ? ，使得?{ } 1LP ? ? ? ? ? ? ? ,则称随机区间?[ , )L? 为参数 ? 的置信度为 1- ? 的单侧置信区间，?L? 称为单侧置信下限；若存在统计量1 2? ?( , , , )U U nX X X ? ? ? ，使得?{ } 1UP ? ? ? ? ? ? ? ,则称随机区间?( , ]U? 为参数 ? 的置信度为 1- ? 的单侧置信区间，?U? 称为单侧置信上限。
2．单侧置信区间的求法：单侧置信区间的求法与双侧置信区间相同，例如，设 X 1
，…， X n 来自正态总体X
? N
( ? ， ?
2 )，其中 ?
2 已知， ?
未知, 利用枢轴量~ (0,1)XU Nn ，如下图，构造 ? ?
1 , P U u ? ? ? ? ?
即
1 ,XP un? ? ? ?恒等变形 1 P X un? ? ? ? ?， 则可得 ? 的置信度为 1- ? 的单侧置信下限为 ? L X un? ? ? ? . 四．例题讲解 例 1．设 X 1
，…， X n 为来自正态总体 X
? N
( ? ， ?
2 )，其中 ?
2 已知， ?
未知, 试求出 ? 的置信度为 1- ?的置信区间。
例 2．某工厂生产一种特殊的发动机套筒，假设套筒直径 X （mm）服从正态分布2( ,0.1 ) N ? ，现从某天的产品中随机抽取 40 件, 测得直径的样本均值为 5.426（mm），求 ?
的置信度为 0.95 的置信区间. 例 3．为估计某种汉堡的脂肪含量，随机抽取了 10 个这种汉堡，测得脂肪含量（%）如下：
25.2，21.3，22.8，17.0，29.8，21.0，25.5，16.0，20.9，19.5. 假设该种汉堡的脂肪含量（%）服从正态分布，求平均脂肪含量 ?
的置信度为 0.95 的置信区间. 例 4．已知某种钢丝的折断力服从正态分布2( , ) N ? ? ，从一批钢丝中任意抽取了 10 根，测得折断力数据（单位：kg）如下：578，572，570，568，572，570，570，596，584，572，求2? 和 ? 的置信度为 0.9 的置信区间。
例 5．某厂利用两条自动化流水线罐装辣椒酱，现分别从两条流水线上抽取了容量分别为 13 与 17 的两个
相互独立的样本，其中2 2 2 21 210.6 , 9.5 , 2.4 , 4.7 x g y g s g s g ? ? ? ? ，假设两条流水线上罐装的辣椒酱重量分别服从正态分布2 21 1 2 2( , ) ( , ) N N ? ? ? ? 和 . (1) 求它们的方差比2122的置信度为 0.95 的置信区间； (2) 若它们的方差相同,2 2 21 2, ? ? ? ? ? 求均值差1 2? ? ? 的置信度为 0.95 的置信区间. 例 6．已知某种建筑材料的剪力强度 X 服从正态分布,我们对该种材料做了 46 次剪力测试,测得样本均值217.17( / ) x N mm ? ，样本标准差23.28( / ) s N mm ? ，求剪力强度平均值 ? 的置信度为 0.95 的单侧置信下限.
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