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概率统计期末
2025-08-31人已围观
概率统计期末
福州大学 概率 统计 试卷（ 20120610 ）
题号 一 二 三 四 五 六 总成绩 得分
评卷人
一、
单项选择( (共 共 8 18 分, , 每小题 3 3 分) )
1. 设 A 与 B 互不相容，并且 ( ) 0, ( ) 0 P A P B ? ? ，则(
) (A) ( ) P AB (B) ( ) ( ) ( ) P AB P A P B ?
(C) ( ) 1 P AB ?
(D) ( ) 1 P A B ?
2、已知随机变量 X 只能取 1, 0,1, 2, 3 ? 五个数值，其相应的概率依次为c c c c c 161,161,81,41,21，则 ? c (
) (A) 2
(B) 4
(C) 1
(D) 3 3. 设随机变量 X 和 Y 有相同的概率分布
( 0) 1, P XY ? ? 则2 2( ) P X Y ? ? (
)
（A）
0
（B）
0.25
（C）
0.50
（D）
1
4、设随机变量 X 服从指数分布 (1 3) E ， Y 服从正态分布2(2,3 ) N ，且 , X Y 相互独立，则 (2 1) D X Y ? ?=（
）（A）45
（B）3
（C）11 （D）2
5．设总体 X 服从参数为 ? 的泊松分布，nX X ? ,1是 X 的简单随机样本, （
）
是 ? 的无偏估计
(A) ? ?221S X ?
(B) ? ?231S X ? (C) ? ?2221S X ? (D)
?221S X
6．设 ? ?2~ , N ? ? ?，其中 ? 已知，2? 未知，1 2 3, , X X X为其样本， 下列各项不是统计量的是（
）
(A)2 2 21 2 321( ) X X X ? (B)13 X ? ?
(C)1 2 3max( , , ) X X X(D) X
得分
评卷人
X
1 ?
0
1
P
0.25
0.5
0.25
空 二．填空题（每空 3 分，共 27 分）
1. 设两事件 A ， B 满足条件 ) ( ) ( B A P AB P ? ，且) 1 0 ( ) ( ? ? ? p p A P ，则 ) (B P=
。
2、 已知 X 服从 t 分布，自由度为 v ，证明2X F ? 服从
, 自由度为
3、设随机变量 X 服从参数为2的指数分布，用契比雪夫不等式估计
. 221? ? ? ? X P 4、 设 ? ? ? ?2 2 2 21 1 2 2~ , n n ? ? ? ? ? ，且2 21 2, ? ? 独立，则有2 21 2~ ? ? ?
5. 设? ?2,1 X N ? ? ，容量 16 n? ，均值 5.2 X ? ，则未知参数 ? 的置信度 0.95 的置信区间为＿＿＿＿＿＿＿
(查表 ) 96 . 1 (025 . 0? u ) 6. 在区间 ) 1 , 0 ( 中随机的取两个数，则这两个数之差的绝对值小于21的概率为
。
7． 已知 ), , ( ) , ( y x f Y X 的联合概率密度为 则 Y X Z ? ? 的概率密度 为
8.
某彩电公司每月生产 20 万台背投彩电，次品率为 0.0005. 检验时每台次品未被查出的概率为 0.01. 试用中心极限定理求检验后出厂的彩电中次品数超过 3 台的概率 为________ 三、计算题( ( 每小题 8 8 分, ,共 共 6 16 分) )
1. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为 2：1，货车中途停车修理的概率为 0.02，客车为 0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。
得分
评卷人
得分
评卷人
2． 设随机变量 X 的概率密度为 , 0( )0, 0xXe xf xx ?，求随机变量Xe Y ? 的概率密度 ( )Yf y 。
四、计算题( ( 每小题 8 8 分, ,共 共 6 16 分) )
1.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 , 0 1, 0 2 ,( , )0,A x y xf x y? ? ? ? 其他求：（1）A；（2）（X，Y）的边缘概率密度 ( )Xf x ；（3）
( )Y Xf y x 。
得分
评卷人
2．设随机变量 ) , ( Y X 的联合分布律为 ) , ( Y X
) 0 , 1 (
) 1 , 1 (
) 0 , 2 (
) 1 , 2 (
P
4 . 0
2 . 0
3 . 0
1 . 0
XYY X Y X ? 相关系数 独立性，并求 判别 , .
五、计算题( ( 每小题 8 8 分, ,共 共 6 16 分) ) 1.
设2 2~ ( , ), , X N ? ? ? ? 为未知参数，1 2 n, , , x x x 是来自 X 的一个样本值。求2, ? ?
的极大似然估计量。
得分
评卷人
2. 某 厂 生 产 的 固 体 燃 料 推 进 器 的 燃 烧 率 服 从 正 态 分 布? ?2, N ? ? , ? ? 40cm/s, 2 / cm s ? ? 。现在用新方法生产了一批推进器，从中随机取 25 n? 只，测得燃烧率的样本均值为 41.25 / x cm s ? 。设在新方法下总体均方差仍为 2cm/s，问这批推进器的燃烧率是否比以往生产推 进 器 的 燃 烧 率 有 所 提 高 ？ 取 显 著 性 水 平 0.05 ? ? 。) 64 . 1 , 96 . 1 (05 . 0 025 . 0? ? u u
六、应用题(7 分) 设 , X Y 相互独立，且都服从正态分布2( , ) N ? ? ，又1 2, Z aX bY Z aX bY ? ? ? ? ，求：
（1）1 2 1 2( ), ( ), ( ), ( ) E Z E Z D Z D Z ；（2）1 2, Z Z 的相关系数；
得分
评卷人
概率统计试题（20120610 ）参 考 答 案 一 ．选择题
1.C
2.C
3.A
4.A
5.A
6.A
二 ．填空题
1、 p ? 1
2、 ) , 1 ( , v F
3、1615
4、21 2( ) n n ? ?
5. （4.71，5.69）6
43
7. , ) , ( dx x z x f
或 , ) , ( dy y y z f
8. ) 2 ( 1 ? ?
三 ．计算题 1.
解：记 ?1A {经过的是货车}， ?2A {经过的是客车}， ? B {中途停车修理}
则
2 1BA BA B ? ?
300501 . 03102 . 032) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 2 1 1? ? ? ? ? ? ? A B P A P A B P A P B P
8 . 054300502 . 032) () ( ) () (1 11? ? ?B PA B P A PB A P
2 ．.解：
解法一：
Y 的分布函数为 ? ? y e P y Y P y FXY? ? ? ? ) ( ) (
当 1 ? y 时， 0 ) ( ? y F Y ；当 1 ? y 时，? ? ?yxYdx e y X P y Fln0) ln ( ) ( ； 因此的概率密度21, 1( ) ( )0, 1Y Yydy f y F ydyy ? 。
解法二：
(ln ) (ln ) , 0( )0, 0XYf y y yf yy? ? ? (ln ) 1, 10, 1ye yyy? 21, 10, 1yyy 。
四 ．计算题 1． ． （1）
由于 ( , ) 1 f x y dxdy ?，即1 20 01xdx Ady A ? ?，所以 1 A? 。
（2）
( )Xf x=( , ) f x y dy 201 , 0 10,xdy x 其他
2 , 0 10,x x ? ? 其他； （3）当 0 1 x ? ? 时：( , )( )( )Y XXf x yf y xf x?
1, 0 1, 0 2 ,20,x y xx ? ? ? ?其他
2.
Y X 0 1 . ip
0 0.4
0.2
0.6
1 0.3
0.1
0.4
jp .
0.7
0.3
1
EX=1.4,EY=0.3,E(XY)=0.4. 02 . 0 ) , ( ? ? Y X COV ,DX=0.24, DY=0.21, 089 . 014 314214? ? ? ? ? ? ?
五． ． 计算题 1.
似然函数为 ? ? ? ? ? ? ? ?n22i2i 1nn/2n/2 22i2i 11 1L , exp x2 212 exp x2? ? ? ? ? ? ? ?
（5 分）
由此建立似然方程组，解得 ? ?n222 ii 11X, A X Xn? ? ? ? 2. 按题意需检验假设
40 :0 0? ? ? ? H
1 0: H ? ? ?
nxU/0
而现在 41.25 403.125 1.6452 25z ? ?
所以我们在显著性水平 0.05 ? ? 下拒绝0H ，即认为这批推进器的燃烧率较以 往生产的有显著的提高。
六． （1）1 2( ) ( ) , (Z ) ( ) E Z a b E a b ? ? ? ? ? ? ， 2 2 2 2 2 21 2( ) ( ) , (Z ) ( ) D Z a b D a b ? ? ? ? ? ? ； （2）1 2ov( , ) ( , ) C Z Z Cov aX bY aX bY ? ? ?
2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) a Cov X X abCov X Y abCov Y X b Cov Y Y ? ? ? ?
2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) a D X b D Y a b ? ? ? ? ?
1 2, Z Z 的相关系数2 21 22 21 2ov( , )( ) ( )C Z Z a ba b D Z D Z? ；
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期末
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福州大学 概率 统计 试卷（ 20120610 ）
题号 一 二 三 四 五 六 总成绩 得分
评卷人
一、
单项选择( (共 共 8 18 分, , 每小题 3 3 分) )
1. 设 A 与 B 互不相容，并且 ( ) 0, ( ) 0 P A P B ? ? ，则(
) (A) ( ) P AB (B) ( ) ( ) ( ) P AB P A P B ?
(C) ( ) 1 P AB ?
(D) ( ) 1 P A B ?
2、已知随机变量 X 只能取 1, 0,1, 2, 3 ? 五个数值，其相应的概率依次为c c c c c 161,161,81,41,21，则 ? c (
) (A) 2
(B) 4
(C) 1
(D) 3 3. 设随机变量 X 和 Y 有相同的概率分布
( 0) 1, P XY ? ? 则2 2( ) P X Y ? ? (
)
（A）
0
（B）
0.25
（C）
0.50
（D）
1
4、设随机变量 X 服从指数分布 (1 3) E ， Y 服从正态分布2(2,3 ) N ，且 , X Y 相互独立，则 (2 1) D X Y ? ?=（
）（A）45
（B）3
（C）11 （D）2
5．设总体 X 服从参数为 ? 的泊松分布，nX X ? ,1是 X 的简单随机样本, （
）
是 ? 的无偏估计
(A) ? ?221S X ?
(B) ? ?231S X ? (C) ? ?2221S X ? (D)
?221S X
6．设 ? ?2~ , N ? ? ?，其中 ? 已知，2? 未知，1 2 3, , X X X为其样本， 下列各项不是统计量的是（
）
(A)2 2 21 2 321( ) X X X ? (B)13 X ? ?
(C)1 2 3max( , , ) X X X(D) X
得分
评卷人
X
1 ?
0
1
P
0.25
0.5
0.25
空 二．填空题（每空 3 分，共 27 分）
1. 设两事件 A ， B 满足条件 ) ( ) ( B A P AB P ? ，且) 1 0 ( ) ( ? ? ? p p A P ，则 ) (B P=
。
2、 已知 X 服从 t 分布，自由度为 v ，证明2X F ? 服从
, 自由度为
3、设随机变量 X 服从参数为2的指数分布，用契比雪夫不等式估计
. 221? ? ? ? X P 4、 设 ? ? ? ?2 2 2 21 1 2 2~ , n n ? ? ? ? ? ，且2 21 2, ? ? 独立，则有2 21 2~ ? ? ?
5. 设? ?2,1 X N ? ? ，容量 16 n? ，均值 5.2 X ? ，则未知参数 ? 的置信度 0.95 的置信区间为＿＿＿＿＿＿＿
(查表 ) 96 . 1 (025 . 0? u ) 6. 在区间 ) 1 , 0 ( 中随机的取两个数，则这两个数之差的绝对值小于21的概率为
。
7． 已知 ), , ( ) , ( y x f Y X 的联合概率密度为 则 Y X Z ? ? 的概率密度 为
8.
某彩电公司每月生产 20 万台背投彩电，次品率为 0.0005. 检验时每台次品未被查出的概率为 0.01. 试用中心极限定理求检验后出厂的彩电中次品数超过 3 台的概率 为________ 三、计算题( ( 每小题 8 8 分, ,共 共 6 16 分) )
1. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为 2：1，货车中途停车修理的概率为 0.02，客车为 0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。
得分
评卷人
得分
评卷人
2． 设随机变量 X 的概率密度为 , 0( )0, 0xXe xf xx ?，求随机变量Xe Y ? 的概率密度 ( )Yf y 。
四、计算题( ( 每小题 8 8 分, ,共 共 6 16 分) )
1.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 , 0 1, 0 2 ,( , )0,A x y xf x y? ? ? ? 其他求：（1）A；（2）（X，Y）的边缘概率密度 ( )Xf x ；（3）
( )Y Xf y x 。
得分
评卷人
2．设随机变量 ) , ( Y X 的联合分布律为 ) , ( Y X
) 0 , 1 (
) 1 , 1 (
) 0 , 2 (
) 1 , 2 (
P
4 . 0
2 . 0
3 . 0
1 . 0
XYY X Y X ? 相关系数 独立性，并求 判别 , .
五、计算题( ( 每小题 8 8 分, ,共 共 6 16 分) ) 1.
设2 2~ ( , ), , X N ? ? ? ? 为未知参数，1 2 n, , , x x x 是来自 X 的一个样本值。求2, ? ?
的极大似然估计量。
得分
评卷人
2. 某 厂 生 产 的 固 体 燃 料 推 进 器 的 燃 烧 率 服 从 正 态 分 布? ?2, N ? ? , ? ? 40cm/s, 2 / cm s ? ? 。现在用新方法生产了一批推进器，从中随机取 25 n? 只，测得燃烧率的样本均值为 41.25 / x cm s ? 。设在新方法下总体均方差仍为 2cm/s，问这批推进器的燃烧率是否比以往生产推 进 器 的 燃 烧 率 有 所 提 高 ？ 取 显 著 性 水 平 0.05 ? ? 。) 64 . 1 , 96 . 1 (05 . 0 025 . 0? ? u u
六、应用题(7 分) 设 , X Y 相互独立，且都服从正态分布2( , ) N ? ? ，又1 2, Z aX bY Z aX bY ? ? ? ? ，求：
（1）1 2 1 2( ), ( ), ( ), ( ) E Z E Z D Z D Z ；（2）1 2, Z Z 的相关系数；
得分
评卷人
概率统计试题（20120610 ）参 考 答 案 一 ．选择题
1.C
2.C
3.A
4.A
5.A
6.A
二 ．填空题
1、 p ? 1
2、 ) , 1 ( , v F
3、1615
4、21 2( ) n n ? ?
5. （4.71，5.69）6
43
7. , ) , ( dx x z x f
或 , ) , ( dy y y z f
8. ) 2 ( 1 ? ?
三 ．计算题 1.
解：记 ?1A {经过的是货车}， ?2A {经过的是客车}， ? B {中途停车修理}
则
2 1BA BA B ? ?
300501 . 03102 . 032) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 2 1 1? ? ? ? ? ? ? A B P A P A B P A P B P
8 . 054300502 . 032) () ( ) () (1 11? ? ?B PA B P A PB A P
2 ．.解：
解法一：
Y 的分布函数为 ? ? y e P y Y P y FXY? ? ? ? ) ( ) (
当 1 ? y 时， 0 ) ( ? y F Y ；当 1 ? y 时，? ? ?yxYdx e y X P y Fln0) ln ( ) ( ； 因此的概率密度21, 1( ) ( )0, 1Y Yydy f y F ydyy ? 。
解法二：
(ln ) (ln ) , 0( )0, 0XYf y y yf yy? ? ? (ln ) 1, 10, 1ye yyy? 21, 10, 1yyy 。
四 ．计算题 1． ． （1）
由于 ( , ) 1 f x y dxdy ?，即1 20 01xdx Ady A ? ?，所以 1 A? 。
（2）
( )Xf x=( , ) f x y dy 201 , 0 10,xdy x 其他
2 , 0 10,x x ? ? 其他； （3）当 0 1 x ? ? 时：( , )( )( )Y XXf x yf y xf x?
1, 0 1, 0 2 ,20,x y xx ? ? ? ?其他
2.
Y X 0 1 . ip
0 0.4
0.2
0.6
1 0.3
0.1
0.4
jp .
0.7
0.3
1
EX=1.4,EY=0.3,E(XY)=0.4. 02 . 0 ) , ( ? ? Y X COV ,DX=0.24, DY=0.21, 089 . 014 314214? ? ? ? ? ? ?
五． ． 计算题 1.
似然函数为 ? ? ? ? ? ? ? ?n22i2i 1nn/2n/2 22i2i 11 1L , exp x2 212 exp x2? ? ? ? ? ? ? ?
（5 分）
由此建立似然方程组，解得 ? ?n222 ii 11X, A X Xn? ? ? ? 2. 按题意需检验假设
40 :0 0? ? ? ? H
1 0: H ? ? ?
nxU/0
而现在 41.25 403.125 1.6452 25z ? ?
所以我们在显著性水平 0.05 ? ? 下拒绝0H ，即认为这批推进器的燃烧率较以 往生产的有显著的提高。
六． （1）1 2( ) ( ) , (Z ) ( ) E Z a b E a b ? ? ? ? ? ? ， 2 2 2 2 2 21 2( ) ( ) , (Z ) ( ) D Z a b D a b ? ? ? ? ? ? ； （2）1 2ov( , ) ( , ) C Z Z Cov aX bY aX bY ? ? ?
2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) a Cov X X abCov X Y abCov Y X b Cov Y Y ? ? ? ?
2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) a D X b D Y a b ? ? ? ? ?
1 2, Z Z 的相关系数2 21 22 21 2ov( , )( ) ( )C Z Z a ba b D Z D Z? ；
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