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概率统计复习题
2025-08-31人已围观
概率统计复习题
复习题一：
：
一、填 空 题
( 本大题共 5 小题, 每小题 3 分, 共 共 15 分) 1、 、已知43) | ( ,53) | ( ,31) ( ? ? ? A B P A B P A P ，则 P(A|B)=____ . 2、 、设n? ? ? ， ， ， ?2 1是相互独立的随机变量，且都服从正态分布 N( ?，2? )， ( ? > 0 )，则?niin11? ? 服从的分布是 ________________.
3、设相互独立的随机变量n? ? ? ， ， ， ?2 1服从相同的 0 1 分布，其分布律是 ? ? ? ? ? ? p P p p P ? ? ? ? ? ? ? 1 0 , 1 0 11 1? ? ，则随机变量?nii1? ? 的分布律，当 k=0，1，2，…，n 时，有 P{?=k}=__________. 4 、设?，?相互独立，且都服从 N(0，1)，则 D(?)=______. 5、 、 若函数 ? 0 ,110 ,2xxx Ax F 是某随机变量的分布函数，则 A=_____.
二、计 算 下 列 各 题
( 本大题共 12 小题，总计 85 分) 1 、( 本小题 7 分) 从 一 付 扑 克 的
13 张 黑 桃 中 ，
一 张 接 一 张 地 有 放 回 地 抽 取 3 次 ，求 没 有 同 号 的 概 率. 2 、( 本小题 6 分)
设 P(A), P(B), P(AB)为已知，试求下列事件的概率：
(1) B A?
(2) AB
(3) B A?
3 、( 本小题 7 分)
设 ?=1 ? ? ?
的 分 布 律 为
求
? 的 分 布 律 . 4、 、( 本小题7 分) 设 连 续 型 随 机 变 量
?
的 分 布 函 数 为? ?1
11 00
0xx xxx F，，，， 求 ?31? P
及
?21? P .
5 、( 本小题 8 分)
设 随 机 变 量 ( ? , ? ) 的 联 合 概 率 密 度为 2,0 1,0 2( , ) 30,xyx x yf x y ? ? ? ? ?其它 ，试 求 P{0< ? ≤1,1< ? ≤23} . ?
? 3
? 2
? 1 1 2 P 16
13
18
14
18
6 、( 本小题 5 分)
设总体 X 服从正态分布 ), 1 , ( ? NnX X X , , ,2 1? 是 X 的样本，试验证：
3 2 1 11214331? X X X ? ? ? ? , 3 2 1 21254131? X X X ? ? ? ? , 都是 ? 的无偏估计量，并问哪个估计量最有效? 7 、 ( 题 本 小 题 8 分 ) 设 连 续 型 随 机 变 量 ?
的 密 度 函 数 为 ：
? ?
x xx其它 , 00 , sin21 求 ?3 P .， 及 ? ? 1 ? ? ? P .
8 、( 本小题 6 分) 设 ( ? ? ?1 2, , , ?n )为 总 体 子 样 , 总 体 ?的 密 度 函 数 为
? ? ?
x xx f, 01 , 1 0 , ) 1 () (? 求 参 数 ?的 矩 法 估 计 . 9 、( 本小题 7 分) 设随 机 变 量? 的 概 率 密 度 为 ? ? ? ?
, 01 1 , | | 1) (其它x xx ? ， 求 E(? ), D(?)
10 、( 本小题 8 分)
、 、 设?的概率密度为：
? ? 其它 , 00 4 ,8xxx ，求?=2?+6 的概率密度. 11 、(题 本小题 8 分) 从 某 厂 生 产 的 一 批 灯 泡 中 随 机 抽 取
n=20
个 进 行 寿 命 测 试 ， 算 得
xnx iin? ?117001 小 时 ， ? ? 4901112? ?niix xns
小 时 。
假 设 灯 泡 寿 命 服 从 正 态 分 布，在 显 著 性 水 平
?=0.05
下 能 否 断 言 这 批 灯 泡 的 平 均 寿 命 小 于
2000 小 时 ？
( 已 知 t 0.05
( 19 )=1.725 )
12 、(题 本大题 8 分) 设 随 机 变 量 ? 1 ，? 2
， ，? 100
相 互 独 立 ，且 服 从 同 一 分 布 ，具 有 ,52) ( ?iE ? 100 , , 1 ,251) ( ? ? ? i Di? ，试 用 中 心 极 限 定 理计 算 概 率 ?421001 iiP ? . （已 知 ? ( 1 )=0.8413， ? ( 1.5 )=0.9332， ? ( 2 )=
0.9772）. 复习题 二：
：
一、填空题（每空 3 分，共 45 分）
1、已知 P(A)=0.92, P(B)=0.93, P(B| A )=0.85, 则 P(A| B )=
P( A
∪B)=
2、设事件 A 与 B 独立，A 与 B 都不发生的概率为19，A 发生且 B 不发生的概率与 B 发生且 A 不发生的概率相等，则 A 发生的概率为：
； 3、一间宿舍内住有 6 个同学，求他们之中恰好有 4 个人的生日在同一个月份的概率：
；没有任何人的生日在同一个月份的概率
； 4、已知随机变量 X 的密度函数为：, 0( ) 1/4, 0 20, 2xAe xx xx ? ? ?, 则常数 A=
, 分布函数 F ( x )=
, 概率 { 0.5 1} P X ? ? ? ?
； 5、设随机变量 X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若 { 1} 5/9 P X ? ? ，则 p=
，若 X 与 Y 独立，则 Z=max(X,Y)的分布律：
； 6 、 、 设 ~ (200,0.01), ~ (4), X B Y P 且 X 与 Y 相 互 独 立 ， 则D(2X-3Y)=
,
COV(2X-3Y, X)=
； 7、设1 2 5, , , X X X 是总体 ~ (0,1) X N 的简单随机样本，则当 k ?
时，
1 22 2 23 4 5( )~ (3)k X XY tX X X? ?； 8、设总体 ~ (0, ) 0 X U ? ? ? 为未知参数，1 2, , ,nX X X 为其样本，11niiX Xn?为样本均值，则 ? 的矩估计量为：
。
9、设样本1 2 9, , , X X X 来自正态总体 ( ,1.44) N a ，计算得样本观察值 10 x ? ，求参数 a 的置信度为 95%的置信区间：
； 二、计算题（35 分）
1、(12 分)设连续型随机变量 X 的密度函数为：
1, 0 2( ) 20,x xx ? ? ?其它
求：1）
{|2 1| 2} P X ? ? ；2）2Y X ? 的密度函数 ( )Yy ? ；3）
(2 1) E X ? ； 2、(12 分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, | | ,0 2,( , )0,y x xx y ? ? 其他
1）求边缘密度函数 ( ), ( )X Yx y ? ? ； 2）问 X 与 Y 是否独立？是否相关？ 3）计算 Z=X + Y 的密度函数 ( )Zz ? ； 3、（11 分）设总体 X 的概率密度函数为：
1, 0( ) , 00 0xe xxx ? ?
X 1 ,X 2 ,…,X n 是取自总体 X 的简单随机样本。
1）求参数 ? 的极大似然估计量 ；2）验证估计量 是否是参数 ? 的无偏估计量。
4、（10 分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是 3/10，1/5，1/10 和 2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是 1/4，1/3，1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？ 5、（10 分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过 0.5‰，假定有害物质含量 X 服从正态分布。现在取 5 份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：
0.530‰，0.542‰，0.510‰，0.495‰，0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定( 0.05 ? ? )？
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3、设相互独立的随机变量n? ? ? ， ， ， ?2 1服从相同的 0 1 分布，其分布律是 ? ? ? ? ? ? p P p p P ? ? ? ? ? ? ? 1 0 , 1 0 11 1? ? ，则随机变量?nii1? ? 的分布律，当 k=0，1，2，…，n 时，有 P{?=k}=__________. 4 、设?，?相互独立，且都服从 N(0，1)，则 D(?)=______. 5、 、 若函数 ? 0 ,110 ,2xxx Ax F 是某随机变量的分布函数，则 A=_____.
二、计 算 下 列 各 题
( 本大题共 12 小题，总计 85 分) 1 、( 本小题 7 分) 从 一 付 扑 克 的
13 张 黑 桃 中 ，
一 张 接 一 张 地 有 放 回 地 抽 取 3 次 ，求 没 有 同 号 的 概 率. 2 、( 本小题 6 分)
设 P(A), P(B), P(AB)为已知，试求下列事件的概率：
(1) B A?
(2) AB
(3) B A?
3 、( 本小题 7 分)
设 ?=1 ? ? ?
的 分 布 律 为
求
? 的 分 布 律 . 4、 、( 本小题7 分) 设 连 续 型 随 机 变 量
?
的 分 布 函 数 为? ?1
11 00
0xx xxx F，，，， 求 ?31? P
及
?21? P .
5 、( 本小题 8 分)
设 随 机 变 量 ( ? , ? ) 的 联 合 概 率 密 度为 2,0 1,0 2( , ) 30,xyx x yf x y ? ? ? ? ?其它 ，试 求 P{0< ? ≤1,1< ? ≤23} . ?
? 3
? 2
? 1 1 2 P 16
13
18
14
18
6 、( 本小题 5 分)
设总体 X 服从正态分布 ), 1 , ( ? NnX X X , , ,2 1? 是 X 的样本，试验证：
3 2 1 11214331? X X X ? ? ? ? , 3 2 1 21254131? X X X ? ? ? ? , 都是 ? 的无偏估计量，并问哪个估计量最有效? 7 、 ( 题 本 小 题 8 分 ) 设 连 续 型 随 机 变 量 ?
的 密 度 函 数 为 ：
? ?
x xx其它 , 00 , sin21 求 ?3 P .， 及 ? ? 1 ? ? ? P .
8 、( 本小题 6 分) 设 ( ? ? ?1 2, , , ?n )为 总 体 子 样 , 总 体 ?的 密 度 函 数 为
? ? ?
x xx f, 01 , 1 0 , ) 1 () (? 求 参 数 ?的 矩 法 估 计 . 9 、( 本小题 7 分) 设随 机 变 量? 的 概 率 密 度 为 ? ? ? ?
, 01 1 , | | 1) (其它x xx ? ， 求 E(? ), D(?)
10 、( 本小题 8 分)
、 、 设?的概率密度为：
? ? 其它 , 00 4 ,8xxx ，求?=2?+6 的概率密度. 11 、(题 本小题 8 分) 从 某 厂 生 产 的 一 批 灯 泡 中 随 机 抽 取
n=20
个 进 行 寿 命 测 试 ， 算 得
xnx iin? ?117001 小 时 ， ? ? 4901112? ?niix xns
小 时 。
假 设 灯 泡 寿 命 服 从 正 态 分 布，在 显 著 性 水 平
?=0.05
下 能 否 断 言 这 批 灯 泡 的 平 均 寿 命 小 于
2000 小 时 ？
( 已 知 t 0.05
( 19 )=1.725 )
12 、(题 本大题 8 分) 设 随 机 变 量 ? 1 ，? 2
， ，? 100
相 互 独 立 ，且 服 从 同 一 分 布 ，具 有 ,52) ( ?iE ? 100 , , 1 ,251) ( ? ? ? i Di? ，试 用 中 心 极 限 定 理计 算 概 率 ?421001 iiP ? . （已 知 ? ( 1 )=0.8413， ? ( 1.5 )=0.9332， ? ( 2 )=
0.9772）. 复习题 二：
：
一、填空题（每空 3 分，共 45 分）
1、已知 P(A)=0.92, P(B)=0.93, P(B| A )=0.85, 则 P(A| B )=
P( A
∪B)=
2、设事件 A 与 B 独立，A 与 B 都不发生的概率为19，A 发生且 B 不发生的概率与 B 发生且 A 不发生的概率相等，则 A 发生的概率为：
； 3、一间宿舍内住有 6 个同学，求他们之中恰好有 4 个人的生日在同一个月份的概率：
；没有任何人的生日在同一个月份的概率
； 4、已知随机变量 X 的密度函数为：, 0( ) 1/4, 0 20, 2xAe xx xx ? ? ?, 则常数 A=
, 分布函数 F ( x )=
, 概率 { 0.5 1} P X ? ? ? ?
； 5、设随机变量 X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若 { 1} 5/9 P X ? ? ，则 p=
，若 X 与 Y 独立，则 Z=max(X,Y)的分布律：
； 6 、 、 设 ~ (200,0.01), ~ (4), X B Y P 且 X 与 Y 相 互 独 立 ， 则D(2X-3Y)=
,
COV(2X-3Y, X)=
； 7、设1 2 5, , , X X X 是总体 ~ (0,1) X N 的简单随机样本，则当 k ?
时，
1 22 2 23 4 5( )~ (3)k X XY tX X X? ?； 8、设总体 ~ (0, ) 0 X U ? ? ? 为未知参数，1 2, , ,nX X X 为其样本，11niiX Xn?为样本均值，则 ? 的矩估计量为：
。
9、设样本1 2 9, , , X X X 来自正态总体 ( ,1.44) N a ，计算得样本观察值 10 x ? ，求参数 a 的置信度为 95%的置信区间：
； 二、计算题（35 分）
1、(12 分)设连续型随机变量 X 的密度函数为：
1, 0 2( ) 20,x xx ? ? ?其它
求：1）
{|2 1| 2} P X ? ? ；2）2Y X ? 的密度函数 ( )Yy ? ；3）
(2 1) E X ? ； 2、(12 分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, | | ,0 2,( , )0,y x xx y ? ? 其他
1）求边缘密度函数 ( ), ( )X Yx y ? ? ； 2）问 X 与 Y 是否独立？是否相关？ 3）计算 Z=X + Y 的密度函数 ( )Zz ? ； 3、（11 分）设总体 X 的概率密度函数为：
1, 0( ) , 00 0xe xxx ? ?
X 1 ,X 2 ,…,X n 是取自总体 X 的简单随机样本。
1）求参数 ? 的极大似然估计量 ；2）验证估计量 是否是参数 ? 的无偏估计量。
4、（10 分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是 3/10，1/5，1/10 和 2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是 1/4，1/3，1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？ 5、（10 分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过 0.5‰，假定有害物质含量 X 服从正态分布。现在取 5 份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：
0.530‰，0.542‰，0.510‰，0.495‰，0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定( 0.05 ? ? )？
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