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概率统计第3章答案
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概率统计第3章答案
第三章
作业一
1. 将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出 X 和 Y 的联合分布律. 【解】
X 和 Y 的联合分布律如表：
0 1 2 3 1 0 131 1 1 3C2 2 2 8? ? ?
231 1 1C 3/82 2 2? ? ?
0 3 18 0 0 1 1 1 12 2 2 8? ? ?
2. 盒子里装有 3 只黑球，2 只红球，2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只数，以 Y 表示取到白球的只数，求 X ， Y 的联合分布律。
X Y 0 1 2 3 0 0 0 353 352 1 0 356 3512 352 2 351 356 353 0 解：（ X ， Y ）的可能取值为( i , j )， i=0，1，2，3，
j=0，12， i + j ≥2，联合分布律为 P
{ X=0, Y=2 }=351472222?CC C P
{ X=1, Y=1 }=35647221213?CC C C P
{ X=1, Y=2 }=35647122213?CC C C P
{ X=2, Y=0 }=353472223?CC C P
{ X=2, Y=1 }=351247121223?CC C C P
{ X=2, Y=2 }=353472223?CC C X Y
P
{ X=3, Y=0 }=352471233?CC C P
{ X=3, Y=1 }=352471233?CC C P
{ X=3, Y=2 }=0
3. 设随机变量（ X ， Y ）的分布密度 f （ x ， y ）=? ? ?. , 0, 0 , 0 ,) 4 3 (其他y x Ay xe 求：（1）
常数 A ； （2）
随机变量（ X ， Y ）的分布函数； （3）
P {0≤ X <1，0≤ Y <2}. 】
【解】（1）
由-(3 4 )0 0( , )d d e d d 112x yAf x y x y A x y ? ? ? ? ? ? 得
A
（2）
由定义，有
( , ) ( , )d dy xF x y f u v u v ? ? ?
(3 4 ) 3 40 012e d d (1 e )(1 e ) 0, 0,0,0,y yu v x yu v y x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?其他 (3) {0 1,0 2} P X Y ? ? ? ?
1 2(3 4 ) 3 80 0{0 1,0 2}12e d d (1 e )(1 e ) 0.9499.x yP X Yx y? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
4. 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量， X 在（0，0.2）上服从均匀分布， Y 的密度函数为 f Y （ y ）=? . , 0, 0 , 55其他yye 求：（1）
X 与 Y 的联合分布密度；（2）
P { Y ≤ X }.
题 6 图 】
【解】（1）
因 X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以 X 的密度函数为
1, 0 0.2,( ) 0.20, .Xxf x ? ?其他 而 55e , 0,( )0, .yYyf y 其他 所以
( , ) , ( ) ( )X Yf x y X Y f x f y 独立
5 515e 25e , 0 0.2 0,0.20,0,y yx y? ? ? ? ? ? 且其他. (2) 5( ) ( , )d d 25e d dyy x DP Y X f x y x y x y? ? 如图
0.2 0.2-5 50 0 0-1d 25e d ( 5e 5)d=e 0.3679.xy xx y x ? ? ? ? ?
第三章
作业二
1. 袋中有五个号码 1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为 X ，最大的号码为 Y . （1）
求 X 与 Y 的联合概率分布； （2）
X 与 Y 是否相互独立？ 】
【解】（1）
X 与 Y 的联合分布律如下表
3 4 5 { }iP X x ?
1 351 1C 10?
352 2C 10?
353 3C 10?
610 2 0 351 1C 10?
352 2C 10?
310 3 0 0 251 1C 10?
110 { }iP Y y ?
110 310 610
(2) 因6 1 6 1{ 1} { 3} { 1, 3},10 10 100 10P X P Y P X Y ? ? ? ? ? ? ? ? ?
故 X 与 Y 不独立
2. 设二维随机变量（ X ， Y ）的概率密度为 f （ x ， y ）=? ? ?. , 0, 1 ,2 2其他y x y cx （1）
试确定常数 c ； （2）
求边缘概率密度.
】
【解】（1）
( , )d d ( , )d dDf x y x y f x y x y ? ? 如图
21 12-14=d d 1.21xx cx y y c ? ? 得214c ? . Y X
(2) ( ) ( , )dXf x f x y y? ?
212 4 221 21(1 ), 1 1, d8 40, 0, .xx x x x y y? ? ? 其他 ( ) ( , )dYf y f x y x? ?
52221 7d , 0 1,4 20, 0,
.yyx y x y y ? ? 其他
3. 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量， X 在（0，1）上服从均匀分布， Y 的概率密度为 f Y （ y ）=?. , 0, 0 ,212 /其他yye （1）求 X 和 Y 的联合概率密度； （2）
设含有 a 的二次方程为 a2 +2 Xa + Y=0，试求a 有实根的概率. 】
【解】（1）
因1, 0 1,( )0,Xxf x? ? ? 其他;
21e , 1,( )20,yYyf y? ? ?其他. 故/21e 0 1, 0,( , ) , ( ) ( ) 20, .yX Yx yf x y X Y f x f y? ? ? ?独立其他
题 14 图 (2) 方程22 0 a Xa Y ? ? ? 有实根的条件是 2(2 ) 4 0 X Y ? ? ? ?
故
X2 ≥ Y ， 从而方程有实根的概率为：
22{ } ( , )d dx yP X Y f x y x y ?
21/20 01d e d21 2 [ (1) (0)]0.1445.xyx y ? ? ?
4. 设随机变量（ X ， Y ）的概率密度为 f （ x ， y ）=? ? ? ?. , 0, 1 0 , , 1其他x x y 求条件概率密度 f Y ｜ X （ y ｜ x ）， f X ｜ Y （ x ｜ y ）.
题 11 图
【解】
( ) ( , )dXf x f x y y? ?
1d 2 , 0 1,0, .xxy x x? ? ? 其他 111d 1 , 1 0,( ) ( , )d 1d 1 , 0 1,0, .yYyx y yf y f x y x x y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?其他 所以
|1, | | 1, ( , )( | ) 2( )0, .Y XXy x f x yf y x xf x ? ? ?其他
|1,
1,1( , ) 1( | ) , 1,( ) 10, .X YYy xyf x yf x y y xf y y ? ? ? ?其他
第三章
作业三
1. 设随机变量（ X ， Y ）的分布律为
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 0
0.01
0.03
0.05
0.07
0.09 0.01
0.02
0.04
0.05
0.06
0.08 0.01
0.03
0.05
0.05
0.05
0.06 0.01
0.02
0.04
0.06
0.06
0.05 （1）
求 P { X=2｜ Y=2}， P { Y=3｜ X=0}； （2）
求 V=max（ X ， Y ）的分布律； （3）
求 U=min（ X ， Y ）的分布律； （4）
求 W=X + Y 的分布律. 】
【解】（1）{ 2, 2}{ 2| 2}{ 2}P X YP X YP Y? ?
50{ 2, 2} 0.05 1,0.25 2{ , 2}iP X YP X i Y ? { 3, 0}{ 3| 0}{ 0}P Y XP Y XP X? ?
30{ 0, 3} 0.01 1;0.03 3{ 0, }jP X YP X Y j ? （2）
{ } {max( , ) } { , } { , } P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i ? ? ? ? ? ? ? ?
10 0{ , } { , },i ik kP X i Y k P X k Y i ? ? ? ? ?
0,1,2,3,4,5 i ?
所以 V 的分布律为 V=max( X , Y ) 0 1 2 3 4 5 P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28
(3) { } {min( , ) } P U i P X Y i ? ? ?
3 51{ , } { , }{ , } { , }k i k iP X i Y i P X i Y iP X i Y k P X k Y i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
0,1,2,3, i ?
于是 U=min( X , Y ) 0 1 2 3 X Y
P 0.28 0.30 0.25 0.17 (4)类似上述过程，有 W=X + Y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 P
0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05
2. 设 X ， Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为 n ， p 的二项分布.证明 Z=X + Y 服从参数为 2 n ， p 的二项分布. 【证明】方法一：
X + Y 可能取值为 0，1，2，…，2 n . 0{ } { , }kiP X Y k P X i Y k i ? ? ? ?
00202( ) { }2kiki n i k i n k iikk n kik n kP X i P Y k in np q p qi k in np qi k inp qk ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：设 μ 1 , μ 2 ,…, μ n ; μ 1 ′, μ 2 ′,…， μ n ′均服从两点分布（参数为 p ），则 X=μ 1 + μ 2 +…+ μ n ， Y=μ 1 ′+ μ 2 ′+…+ μ n ′, X + Y=μ 1 + μ 2 +…+ μ n + μ 1 ′+ μ 2 ′+…+ μ n ′, 所以， X + Y 服从参数为（2 n , p )的二项分布.
3. 雷达的圆形屏幕半径为 R ，设目标出现点（ X ， Y ）在屏幕上服从均匀分布. （1）
求 P { Y ＞0｜ Y ＞ X }； （2）
设 M=max{ X ， Y }，求 P { M ＞0}.
题 20 图 【解】因（ X ， Y ）的联合概率密度为 2 2 221, ,( , ) π0, .x y Rf x y R ? ?其他 （1）{ 0, }{ 0| }{ }P Y Y XP Y Y XP Y X? ?
0( , )d( , )dyy xy xf x yf x y
π2π/4 05 π42π/4 01d dπ1d dπRRr rRr rR ?
3/8 3;1/2 4? ?
(2) { 0} {max( , ) 0} 1 {max( , ) 0} P M P X Y P X Y ? ? ? ? ? ?
001 31 { 0, 0} 1 ( , )d 1 .4 4xyP X Y f x y ? ? ? ? ? ? ? ?
4. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从 N （160，202 ）分布.随机地选取4
只，求其中没有一只寿命小于 180 的概率. 【解】设这四只寿命为 X i ( i=1,2,3,4)，则 X i ~ N （160，202 ）， 从而 1 2 3 4 1 2{min( , , , ) 180} { 180} { 180}iP X X X X X P X P X ? ? ? 之间独立
3 4{ 180} { 180} P X P X ? ?
1 2 3 4[1 { 180}] [1 { 180}] [1 { 180}] [1 { 180}] P X P X P X P X ? ? ? ? ? ? ? ? ?
4414 4180 160[1 { 180}] 120[1 (1)] (0.158) 0.00063.P X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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统计
第三章
作业一
1. 将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出 X 和 Y 的联合分布律. 【解】
X 和 Y 的联合分布律如表：
0 1 2 3 1 0 131 1 1 3C2 2 2 8? ? ?
231 1 1C 3/82 2 2? ? ?
0 3 18 0 0 1 1 1 12 2 2 8? ? ?
2. 盒子里装有 3 只黑球，2 只红球，2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只数，以 Y 表示取到白球的只数，求 X ， Y 的联合分布律。
X Y 0 1 2 3 0 0 0 353 352 1 0 356 3512 352 2 351 356 353 0 解：（ X ， Y ）的可能取值为( i , j )， i=0，1，2，3，
j=0，12， i + j ≥2，联合分布律为 P
{ X=0, Y=2 }=351472222?CC C P
{ X=1, Y=1 }=35647221213?CC C C P
{ X=1, Y=2 }=35647122213?CC C C P
{ X=2, Y=0 }=353472223?CC C P
{ X=2, Y=1 }=351247121223?CC C C P
{ X=2, Y=2 }=353472223?CC C X Y
P
{ X=3, Y=0 }=352471233?CC C P
{ X=3, Y=1 }=352471233?CC C P
{ X=3, Y=2 }=0
3. 设随机变量（ X ， Y ）的分布密度 f （ x ， y ）=? ? ?. , 0, 0 , 0 ,) 4 3 (其他y x Ay xe 求：（1）
常数 A ； （2）
随机变量（ X ， Y ）的分布函数； （3）
P {0≤ X <1，0≤ Y <2}. 】
【解】（1）
由-(3 4 )0 0( , )d d e d d 112x yAf x y x y A x y ? ? ? ? ? ? 得
A
（2）
由定义，有
( , ) ( , )d dy xF x y f u v u v ? ? ?
(3 4 ) 3 40 012e d d (1 e )(1 e ) 0, 0,0,0,y yu v x yu v y x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?其他 (3) {0 1,0 2} P X Y ? ? ? ?
1 2(3 4 ) 3 80 0{0 1,0 2}12e d d (1 e )(1 e ) 0.9499.x yP X Yx y? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
4. 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量， X 在（0，0.2）上服从均匀分布， Y 的密度函数为 f Y （ y ）=? . , 0, 0 , 55其他yye 求：（1）
X 与 Y 的联合分布密度；（2）
P { Y ≤ X }.
题 6 图 】
【解】（1）
因 X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以 X 的密度函数为
1, 0 0.2,( ) 0.20, .Xxf x ? ?其他 而 55e , 0,( )0, .yYyf y 其他 所以
( , ) , ( ) ( )X Yf x y X Y f x f y 独立
5 515e 25e , 0 0.2 0,0.20,0,y yx y? ? ? ? ? ? 且其他. (2) 5( ) ( , )d d 25e d dyy x DP Y X f x y x y x y? ? 如图
0.2 0.2-5 50 0 0-1d 25e d ( 5e 5)d=e 0.3679.xy xx y x ? ? ? ? ?
第三章
作业二
1. 袋中有五个号码 1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为 X ，最大的号码为 Y . （1）
求 X 与 Y 的联合概率分布； （2）
X 与 Y 是否相互独立？ 】
【解】（1）
X 与 Y 的联合分布律如下表
3 4 5 { }iP X x ?
1 351 1C 10?
352 2C 10?
353 3C 10?
610 2 0 351 1C 10?
352 2C 10?
310 3 0 0 251 1C 10?
110 { }iP Y y ?
110 310 610
(2) 因6 1 6 1{ 1} { 3} { 1, 3},10 10 100 10P X P Y P X Y ? ? ? ? ? ? ? ? ?
故 X 与 Y 不独立
2. 设二维随机变量（ X ， Y ）的概率密度为 f （ x ， y ）=? ? ?. , 0, 1 ,2 2其他y x y cx （1）
试确定常数 c ； （2）
求边缘概率密度.
】
【解】（1）
( , )d d ( , )d dDf x y x y f x y x y ? ? 如图
21 12-14=d d 1.21xx cx y y c ? ? 得214c ? . Y X
(2) ( ) ( , )dXf x f x y y? ?
212 4 221 21(1 ), 1 1, d8 40, 0, .xx x x x y y? ? ? 其他 ( ) ( , )dYf y f x y x? ?
52221 7d , 0 1,4 20, 0,
.yyx y x y y ? ? 其他
3. 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量， X 在（0，1）上服从均匀分布， Y 的概率密度为 f Y （ y ）=?. , 0, 0 ,212 /其他yye （1）求 X 和 Y 的联合概率密度； （2）
设含有 a 的二次方程为 a2 +2 Xa + Y=0，试求a 有实根的概率. 】
【解】（1）
因1, 0 1,( )0,Xxf x? ? ? 其他;
21e , 1,( )20,yYyf y? ? ?其他. 故/21e 0 1, 0,( , ) , ( ) ( ) 20, .yX Yx yf x y X Y f x f y? ? ? ?独立其他
题 14 图 (2) 方程22 0 a Xa Y ? ? ? 有实根的条件是 2(2 ) 4 0 X Y ? ? ? ?
故
X2 ≥ Y ， 从而方程有实根的概率为：
22{ } ( , )d dx yP X Y f x y x y ?
21/20 01d e d21 2 [ (1) (0)]0.1445.xyx y ? ? ?
4. 设随机变量（ X ， Y ）的概率密度为 f （ x ， y ）=? ? ? ?. , 0, 1 0 , , 1其他x x y 求条件概率密度 f Y ｜ X （ y ｜ x ）， f X ｜ Y （ x ｜ y ）.
题 11 图
【解】
( ) ( , )dXf x f x y y? ?
1d 2 , 0 1,0, .xxy x x? ? ? 其他 111d 1 , 1 0,( ) ( , )d 1d 1 , 0 1,0, .yYyx y yf y f x y x x y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?其他 所以
|1, | | 1, ( , )( | ) 2( )0, .Y XXy x f x yf y x xf x ? ? ?其他
|1,
1,1( , ) 1( | ) , 1,( ) 10, .X YYy xyf x yf x y y xf y y ? ? ? ?其他
第三章
作业三
1. 设随机变量（ X ， Y ）的分布律为
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 0
0.01
0.03
0.05
0.07
0.09 0.01
0.02
0.04
0.05
0.06
0.08 0.01
0.03
0.05
0.05
0.05
0.06 0.01
0.02
0.04
0.06
0.06
0.05 （1）
求 P { X=2｜ Y=2}， P { Y=3｜ X=0}； （2）
求 V=max（ X ， Y ）的分布律； （3）
求 U=min（ X ， Y ）的分布律； （4）
求 W=X + Y 的分布律. 】
【解】（1）{ 2, 2}{ 2| 2}{ 2}P X YP X YP Y? ?
50{ 2, 2} 0.05 1,0.25 2{ , 2}iP X YP X i Y ? { 3, 0}{ 3| 0}{ 0}P Y XP Y XP X? ?
30{ 0, 3} 0.01 1;0.03 3{ 0, }jP X YP X Y j ? （2）
{ } {max( , ) } { , } { , } P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i ? ? ? ? ? ? ? ?
10 0{ , } { , },i ik kP X i Y k P X k Y i ? ? ? ? ?
0,1,2,3,4,5 i ?
所以 V 的分布律为 V=max( X , Y ) 0 1 2 3 4 5 P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28
(3) { } {min( , ) } P U i P X Y i ? ? ?
3 51{ , } { , }{ , } { , }k i k iP X i Y i P X i Y iP X i Y k P X k Y i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
0,1,2,3, i ?
于是 U=min( X , Y ) 0 1 2 3 X Y
P 0.28 0.30 0.25 0.17 (4)类似上述过程，有 W=X + Y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 P
0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05
2. 设 X ， Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为 n ， p 的二项分布.证明 Z=X + Y 服从参数为 2 n ， p 的二项分布. 【证明】方法一：
X + Y 可能取值为 0，1，2，…，2 n . 0{ } { , }kiP X Y k P X i Y k i ? ? ? ?
00202( ) { }2kiki n i k i n k iikk n kik n kP X i P Y k in np q p qi k in np qi k inp qk ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：设 μ 1 , μ 2 ,…, μ n ; μ 1 ′, μ 2 ′,…， μ n ′均服从两点分布（参数为 p ），则 X=μ 1 + μ 2 +…+ μ n ， Y=μ 1 ′+ μ 2 ′+…+ μ n ′, X + Y=μ 1 + μ 2 +…+ μ n + μ 1 ′+ μ 2 ′+…+ μ n ′, 所以， X + Y 服从参数为（2 n , p )的二项分布.
3. 雷达的圆形屏幕半径为 R ，设目标出现点（ X ， Y ）在屏幕上服从均匀分布. （1）
求 P { Y ＞0｜ Y ＞ X }； （2）
设 M=max{ X ， Y }，求 P { M ＞0}.
题 20 图 【解】因（ X ， Y ）的联合概率密度为 2 2 221, ,( , ) π0, .x y Rf x y R ? ?其他 （1）{ 0, }{ 0| }{ }P Y Y XP Y Y XP Y X? ?
0( , )d( , )dyy xy xf x yf x y
π2π/4 05 π42π/4 01d dπ1d dπRRr rRr rR ?
3/8 3;1/2 4? ?
(2) { 0} {max( , ) 0} 1 {max( , ) 0} P M P X Y P X Y ? ? ? ? ? ?
001 31 { 0, 0} 1 ( , )d 1 .4 4xyP X Y f x y ? ? ? ? ? ? ? ?
4. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从 N （160，202 ）分布.随机地选取4
只，求其中没有一只寿命小于 180 的概率. 【解】设这四只寿命为 X i ( i=1,2,3,4)，则 X i ~ N （160，202 ）， 从而 1 2 3 4 1 2{min( , , , ) 180} { 180} { 180}iP X X X X X P X P X ? ? ? 之间独立
3 4{ 180} { 180} P X P X ? ?
1 2 3 4[1 { 180}] [1 { 180}] [1 { 180}] [1 { 180}] P X P X P X P X ? ? ? ? ? ? ? ? ?
4414 4180 160[1 { 180}] 120[1 (1)] (0.158) 0.00063.P X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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