概率统计练习题 一 及 参考答案
1 、设 10 件产品中有 4 件不合格品, 从中任取两件, 所取两件产品中有一件是合格品，另一件是不合格品的概率为 ……………………………………
(
C
) A、 、154
B、 、56
C、 、158
D、 、32 2 2 、袋中有 0 50 个乒乓球，其中 0 20 个是黄球，0 30 个是白球，今有两人依次随机地从袋中 各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 ………（ （
A ）
）
A、 、52
B、 、
53
C 、 24599
D 、 245146
3 3件 、已知事件 A 与 与 B 的概率为 P( (A )=0.5,P( (B )=0.6,率 条件概率 P( (B| |A )=0.4,则 ) ( B A P 为
……………………………… ………………………
(
D D
)
A 、0.3
B 、0.5
C 、0.7
D、 、 0.9
4 4量 、设两个相互独立的随机变量 X 和 和 Y 的方差分别为 4 4 和 和 2 2量 ，则随机变量 3 3X- -2 2Y的方差是
……………………………………………………………… （
D D
）
A 、8
B 、16
C 、28
D、 、 44
5 5 、甲、乙、丙三人向同一个目标独立地各射击一次，命中率分别是31，41，51.则目标被击中的概率
………………………………………………
（ （
D
）
）
A、 、601
B、 、
6047
C 、 61
D 、 53
6 6量 、设两个随机变量 X, ,Y 相互独立, ,差 且它们的方差 D( (X )=4,D( (Y )=1, 则方差D (2X- -3Y) )
…………………………………………………………
（
C
）
）
A 、40
B 、34
C 、
25
D 、17
7 7量 、设随机变量 X 、Y 的期望、方差均存在，且 E( (XY )=E( (X) )E( (Y) )， ， 则下列说法 不正确 的是
…………………………………………………………… （
B B
）
）
A 、COV(X,Y)=0
B 、D(X-Y)=D(X)-D(Y)
C 、D(X+Y)=D(X)+D(Y)
D、 、 0XY
8 8若 、若 X ～N（ （1 1 ，3 3 ），Y ～N（ （2 2 ，4 4且 ），且 X 与 与 Y 相互独立，则 2 2X- -3 3Y 服从（
B B
）
）
A 、N （3 ，7 ）
B 、N （-4 ，48 ）
C 、N （1 ，1 ）
D 、N （4 ，48）
）
9 9 、设 设 P( (A )=P( (B )=P( (C )=41, ,
P( (AB )=P( (BC )=0， ，P( (AC )=81则 ，则 A 、B 、C 三 三个事件中至少有一个发生的概率为
85. .
1 10 0设 、设 A 、B 为两个相互独立的随机事件且 P( (A )= 0.7 7， ，P( (B )=0.6 , 则 ) | ( B A P
= =
0.7
. .
1 11 1 、量 设随机变量 Y 在[1,6] 上服从均匀分布，则关于 x 的方程 x 2 +Yx+1=0 有实根的概率为
0.8
.
12、 、量 设随机变量 X ～N( (0 0, ,1 1 ), ) (x 是它的概率密度函数，则 ) ( ) ( x x = =_ __ _1 1_ _. .
1 13 3 、 设随机变量1 2 3, , 相互独立, , 其中1 ~(0,6) U , ,2~ (0,6) N , ,3~ (3) P . . 记1 2 32 3
, , 则 ( ) D
54
. . 14 、若 ) ( ), 3 ( ~ ), 4 , 1 ( ~ Y X E P Y N X 则 =
4
. 1 15 5 、已知在 0 10 只晶体管中有 2 2 只次品, , 在其中任取两次，每次 任取一只，作不放回抽样. 求下列事件的概率: (1) 两只都是正品；(2) 一只是正品, 一只是次品；(3) 第二次取出的是次品. 用 解：分别用 A 、B 、C 表示取出的“两只都是正品”，“一只是正品，一只是次品”，“第二次取出的是次品”。
则
4528) (21028 CCA P
4516) (2101218 CC CB P
519110292108) ( C P
. .
1 16 6 、 有朋友自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4. 如果他乘火车、轮船、汽车的话，迟到的概率分别是41，31，121. . 而乘飞机不会迟到, , 结果他是迟到了. . 试问他乘哪一种交通工具的可能性最大？
解：设4 3 2 1A , A , A , A 分别表示事件“乘火车、轮船、汽车、飞机”，A 表示事
件“迟到”，则
) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) (4 4 3 3 2 2 1 1A A P A P A A P A P A A P A P A A P A P A P
= = 0 4 . 01211 . 0312 . 0413 . 0
= =2031201302403
21203403) () () | (11 A PA A PA A P
94203302) () () | (22 A PA A PA A P
1812031201) () () | (33 A PA A PA A P
0 ) | (4 A A P
所以, , 他乘火车的可能性最大 .
1 17 7 、某产品主要由三个厂家供货. . 甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数的
45 ％， 36 ％， 19 ％. . 甲、乙、丙三厂中不合格品率分别为 4.5 ％ ,3.5 ％ ,4 ％, ,试计算 : ( 1) 从总产品中任取一件是不合格产品的概率; ;
(2) 如果从产品中任取一件是不合格产品, , 那么这件产品是由哪个工厂生产的可能性较大? ?
为 解：设甲、乙、丙三厂产品分别表示为 B 、C 、D ，设 A 为“任取一件是不合格品”事件
P( (A )=P( (B) )P( (A| |B )+ P( (C) )P( (A| |C )+ P( (D )P(A| |D) )
= =1004100191005 . 3100361005 . 410045
=0.02025+0.01260+0.0076=0. 04045
P( (B| |A )=
04045 . 002025 . 0) () (A PBA P
P( (C| |A )=
04045. 001260. 0) () (A PCA P
P( (D| |A )=
04045. 00076. 0) () (A PDA P
所以, , 甲厂生产的可能性最大 .
1 18 8量 、设随机变量 X 为 服从均值为 0,为 均方差为 2 0.02 的正态分布, , 已知
221( ) , (2.5) 0.99382tt e d , ,
求 求 X 落在区间 (9.95,10.05) 内的概率.
解：由题意知：2(10,0.02 ) X N, 则
10(0,1)0.02X XN ， 于是 X 落在区间 (9.95,10.05) 内的概率为 为 (9.95 10.05) P X 9.95 10 10 10.05 10( )0.02 0.02 0.02XP 10( 2.5 2.5)0.02XP (2.5) ( 2.5) 2 0.9938 1
0.9876 。
19 、设二维随机变量( (X, ,Y) ) 的概率密度为 其它 ， 00 , 1 0 ), 2 ( 8 . 4) , (x y x x yy x f , ,
求边际概率密度. .
解： dy y x f x f X ) , ( ) (
) 2 ( 4 . 2 ) 2 ( 8 . 4 ) ( 1 020x x dy x y x f xxX 时， 当
它 对其它 x,有 有 0 ) , ( ) ( dy y x f x f X
同理，) 3 4 ( 4 . 2 ) 2 ( 8 . 4 ) ( 1 021 y y y dx x y y f yyY时， 当
它 对其它 y,有 有 0 ) , ( ) ( dy y x f y f Y
其它 01 0 ), 2 ( 4 . 2) (2x x xx f X , ,
其它 01 0 ), 3 4 ( 4 . 2) (2y y y yx f Y
. .
2 20 0 、 设二维随机变量( (X ，Y) ) 的概率密度为
其它 ， 00 ,) , (y x ey x fy, ,
求边际概率密度. . 解： dy y x f x f X ) , ( ) (
xxyXe dy e x f x ) ( 0时， 当
对其它 x,有 有 0 ) , ( ) ( dy y x f x f X
同理，yyyYye dx e y f y 0) ( 0时， 当
它 对其它 y,有 有 0 ) , ( ) ( dy y x f y f Y
其它 00 ,) (x ex fxX， 其它 00 ,) (y yex fyY. .
2 21 1 、 设二维随机变量( (X, ,Y) ) 的概率密度为2 2, 1( , )0kxy y xf x y ， 其它, ,
(1) 确定常数 k ;(2) 求边际概率密度 ( )Xf x . .
：
解：
（1 1 ）
( , ) 1 f x y dy
21 1214121ykdy kxy dx 所以，214k .
（ （2）
）2 521 70 1 ( ) ( , )4 2xXxx f x f x y dy xy dy x 当 时，
对其它 x, 有,
0 ) , ( ) ( dy y x f x f X
从而，57, 0 1( ) 20Xx xf x 其它. .
2 22 2 、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
其它 , 02 0 , 2 0 ), (81) , (y x y xy x f 求 ，求 E( (X ),E( (Y ).
解: :
其它 , 0, 2 0 ), 1 (41) (81) (20x x dy y xx f X
其它 , 0, 2 0 ), 1 (41) (81) (20y y dx y xy f Y
因此, ,67) 1 (4) (20 dx xxX E ,
同理, ,67) 1 (4) (20 dy yyY E
. .
2 23 3 、设二维随机变量( (X ，Y) ) 的概率密度为 其它 , 01 0 , | | , 1) , (x x yy x f
求 求 E( (X ),E( (Y ).
解: :
1 2 , 0 1,( )0,xxXdy x xf x 其它
11 1 , 1 1( )0,yYdx y yf y 其它
因此102( ) 23E X x xdx , , 同理
11( ) (1 ) 0 E Y y y dy
24 、设连续型随机变量 的分布函数为 . 2, 0, 2 ,81) (3xxx x F
求 的期望 和方差.
解: : 424 , 2( ) ( )0,x xf x F x 其它
,
3 220( ) ( ) 24 12 | 3 E xf x dx x dx x , ,
2 2 2 120( ) ( ) 24 24 | 12 E x f x dx x dx x , ,
2 2( ) ( ) [ ( )] 12 9 3 D E E . .
25 、设随机变量X 的分布函数为 0 , 00 , 1) (xx ex Fx (1) 求X 的概率密度函数 ) (x f ； ；(2)求 求 3 , 2 X P X P .
解: : 0 , 00 ,) ( ) (xx ex F x fx
21 ) 0 ( ) 2 ( } 2 { e F F X P
3{ 3} 1 { 3} 1 (3) 1 P X P X F e
.
26量 、设随机变量 X 的 的 概率 密度函数00xe xf xx <0,( ),. . 求随机变量2X Y 的 概率 密度 ) (y f Y . .
解：
02 X Y
当 0 y 时， 0 } { ) ( y Y P y F Y
当 0 y 时，2( ) { } { } {0 }YF y P Y y P X y P X y
0yxe dx
,
1( ) [ ( )]2yY Yf y F y ey , ,
102 ( )0 0yYe yy f yy
.
2 27 7 、设随机变量 ) 1 , 0 ( ~U X , , 求 2ln Y X 的概率密度. .
解：由题意知 其它 01 0 1) (xx f X
在区间 (0,1) 上, ,
0 ln 2 , 0 ln x y x 故
22( ) { } { 2ln } { } ( )yyY XeF y P Y y P X y P X e f x dx , ,
两端对 y y 求导得221) ( ) (yY Ye y F y f , ,
其它 0021) (2y ey fyY
. .
28、设随机变量 ) , ( Y X 具有密度函数
1( ) , 0 2 , 0 2( , ) 80,x y x yp x y 其它
求 ) (X E ， ) (Y E ， ) , ( Y X Cov ，XY ， ) ( Y X D
解：
其他 , 02 0 , ) 1 (41) (x xx p X
其他 , 01 0 , ) 1 (41) (y yx p Y
67) ( X E ，35) (2 X E ，3611)] ( [ ) ( ) (2 2 X E X E X D
67) ( Y E ，35) (2 Y E ， 3611)] ( [ ) ( ) (2 2 Y E Y E Y D
34) ( XY E
361) ( ) ( ) ( ) , ( Y E X E XY E Y X Cov
111) ( ) () , ( Y D X DY X CovXY
) , ( 2 ) ( ) ( ) ( Y X Cov Y D X D Y X D
95)361( 236113611
。
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