西南大学《数理统计》作业及答案

　次 数 理 统 计 第 一 次 1、设总体 X 服从正态分布 ) , (2  N ，其中  已知，2 未知，nX X X , , ,2 1 为其样本， 2  n ,则下列说法中正确的是（）。

　（A）niiXn122) ( 是统计量（B）niiXn122是统计量 （C）niiXn122) (1是统计量（D）niiXn12是统计量 2、设两独立随机变量 ) 1 , 0 ( ~ N X ， ) 9 ( ~2 Y ，则YX 3服从（）。

　3、设两独立随机变量 ) 1 , 0 ( ~ N X ，2~ (16) Y  ，则4XY服从（）。

　4、设nX X , ,1 是来自总体 X 的样本，且   EX ，则下列是  的无偏估计的是（）. 5、设4 3 2 1, , , X X X X 是总体2(0, ) N  的样本，2 未知，则下列随机变量是统计量的是（）. （A）3 /X  ；（B）414iiX；（C）

　 1X ；（D）42 21/iiX  6、 设总体 ) , ( ~2  N X ，1 ,,nX X L 为样本， S X, 分别为样本均值和标准差，则下列正确的是（）. 7、设总体 X 服从两点分布 B（1，p），其中 p 是未知参数，1 5, , X X  是来自总体的简单随机样本，则下列随机变量不是统计量为（）

　(A).1 2X X 

　(B)   max ,1 5iX i  

　(C)52 X p 

　(D)  25 1X X 

　8、设1 ,,nX X  为来自正态总体2( , ) N   的一个样本，  ，2 未知。则2 的最大似然估计量为（）。

　（A）niiXn12) (1 （B）

　 211niiX Xn（C）niiXn12) (11 （D）

　 niiX Xn1211 1、（D）；2、 ) (C ；3、 ) (C ；4、 ) (A ；5、（B）；6、 ( ) ; C 7、(C)；8、（B）。

　第二次 1、设总体 ) , ( ~2  N X ，1 ,,nX X  为样本， S X, 分别为样本均值和标准差，则( ) n XS 服从（）

　分布. 2、设1 ,,nX X  为来自正态总体2( , ) N   的一个样本，  ，2 未知。则2 的置信度为 1   的区间估计的枢轴量为（）。

　(A) 212niiX (B) 2120niiX (C)  niiX X1221(D) 2120niiX X 3、在假设检验中，下列说法正确的是（）。

　(A)如果原假设是正确的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第一类错误； (B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误； (C)第一类错误和第二类错误同时都要犯； (D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误。

　4、对总体2~ ( , ) X N  的均值  和作区间估计，得到置信度为 95%的置信区 间，意义是指这个区间（）。

　(A)平均含总体 95%的值

　 (B)平均含样本 95%的值 (C)有 95%的机会含样本的值

　 (D)有 95%的机会的机会含  的值 5、设ˆ 是未知参数  的一个估计量，若ˆE   ，则ˆ 是  的（）。

　(A)极大似然估计

　 (B)有偏估计

　(C)相合估计

　(D)矩法估计 6、设总体 X 的数学期望为1 2, , , ,nX X X  为来自 X 的样本，则下列结论中 正确的是(). （A）1X 是  的无偏估计量.（B）1X 是  的极大似然估计量. （C）1X 是  的相合（一致）估计量.（D）1X 不是  的估计量. 7、设总体2~ ( , ) X N   ，2 未知，1 2, , ,nX X X 为样本，2S 为修正样本方差，则检验问题：0 0: H    ，1 0: H    （0 已知）的检验统计量为（）. （A） 01 n XS  （B） 01 n X  （C） 0n X （D） 0n XS . 1、 ( ) D ；2(C)；3、(A)；4、(D)；5、(B)；6、（A）；7、（D）. 第三次 1、设总体 X 服从参数为  的泊松分布 ( ) P  ，nX X X , , ,2 1 是来自总体 X 的简单随机样本，则 X D ． 2、设3 2 1, , X X X 为来自正态总体 ) , ( ~2  N X 的样本，若3 2 1cX bX aX   为  的一个无偏估计，则    c b a _____。

　3、设 ) , ( ~2  N X ，而 1.70，1.75，1.70，1.65，1.75 是从总体 X 中抽取的样本，则  的矩估计值为。

　4、 设总体 X 服从正态分布 ) , (2  N ，  未知。nX X X , , ,2 1 为来自总体的样本，则对假设2020   ：

　H ；2021   ：

　H 进 行假 设检 验 时， 通常 采 用的 统计 量 是 ____________ ，它服 从____________分布，自由度为____________。

　5、设总体 ) 4 , 1 ( ~ N X ,1 2 10, , , X X X 为来自该总体的样本，101110iiX X,则 ( ) D X  ______. 6、我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的特点是． 7、已知0.9 (8,20)2 F  ，则0.1 (20,8)F  ． 8、设 ] 1 , [ ~ a U X ，nX X , ,1 是从总体 X 中抽取的样本，求 a 的矩估计为． 9、检验问题：

　   0 0: H F x F x  ，    0 0: H F x F x  （  0F x 含有 l 个未知参数）的皮尔逊2 检验拒绝域为． 10、设6 2 1, , , X X X  为来自正态总体 ) 1 , 0 ( N 的简单随机样本，设 若使随机变量 CY 服从2 分布，则常数  C ．

　11、设由来自总体2( , 0.9 ) N  的容量为9的简单随机样本其样本均值为 5 x  ，则  的置信度为0.95的置信区间是（0.9751.96   ）. 12、若线性模型为 20, ,nY XE Cov I       ，则最小二乘估计量为． 1、 /n  ，2、1，3、1.71， 4、220( 1) n S，2 ， 1 n ,5、2/5，6、独立性，代表性； 7、1/2；8、 2 1 X  ；9、  2211ˆ1ˆri iiin npn lnp       ； 10、1/3； 11、 (4.412, 5.588) ；12、 1ˆXX XY    。. 第四次 1、设总体 X 服从两点分布 B（1，p），其中 p 是未知参数，1 5, , X X L 是来自总体的简单随机样本。指出   21 2 5 5 1,max ,1 5 , 2 ,iX X X i X p X X      之中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？ 2、设总体 X 服从参数为（N，p）的二项分布，其中（N，p）为未知参数，1 2, , ,nX X X L 为来自总体 X的一个样本，求（N，p）的矩法估计。

　3、设1 2, , ,nX X X L 是取自正态总体 2, N   的一个样本，试问  22111niiS X Xn 是2 的相合估计吗？ 4、设连续型总体 X 的概率密度为    22, 0, 00,

　0xxe xp xx    ,1 2, , ,nX X X L 来自总体 X 的一个样

　本，求未知参数  的极大似然估计量ˆ ，并讨论ˆ 的无偏性。

　5 、 随 机 地 从 一 批 钉 子 中 抽 取 16 枚 ， 测 得 其 长 度 （ 以 厘 米 计 ）

　为2.142.102.132.152.132.122.132.102.152.122.142.102.132.112.142.11 设钉长服从正态分布。若已知σ=0 . 01（厘米），试求总体均值  的 0 . 9 的置信区间。（0.951.65 u  ）

　6、甲、乙两台机床分别加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布 21 1, N   与  22 2, N   ，为比较两台机床的加工精度有无显着差异。从各自加工的轴中分别抽取若干根轴测其直径，结果如下：

　总体 样本容量 直径 X ( 机床甲)

　Y ( 机床乙 )

　8 7 20.519.819.720.420.120.019.019.9 20.719.819.520.820.419.620.2 试问在 α=0.05 水平上可否认为两台机床加工精度一致？（    0.975 0.9756,7 5.12, 7,6 5.70. F F   ）

　7、为了检验某药物是否会改变人的血压，挑选 10 名试验者，测量他们服药前后的血压，如下表所列：

　编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 服药前血压 134 122 132 130 128 140 118 127 125 142 服药后血压 140 130 135 126 134 138 124 126 132 144 假设服药后与服药前血压差值服从正态分布，取检验水平为 0.05，从这些资料中是否能得出该药物会改变血压的结论？ 1、 解：

　   21 2 5 1,max ,1 5 ,iX X X i X X     都是统计量，52 X p  不是统计量，因p是未知参数。

　2、 解 ：

　因 为      2 22, 1 EX Np EX DX EX Np p Np       ， 只 需 以211,niiX Xn分 别 代2, E X E X 解方程组得2 22ˆˆ , 1nnS XN pX S X  。

　3、解：由于  221 n S服从自由度为 n-1 的2 -分布，故    4 42 2 222, 2 111ES DS nnn      ， 从而根据车贝晓夫不等式有

　  2 42 22 220 01nDSP Sn       ，所以  22111niiS X Xn 是2 的相合估计。

　4 解：

　似然函数为   22121 12 21 1,ln ln ln ,2nii in nxx ii n ni i iini ix xxL e e L n x                212ln2niixd L nd    ，令  ln0d Ld ，得21ˆ2niiXn.由于 2 222 22 212 20 01 1ˆ22 2 2 2 2nx x iiEXx x xE EX x e dx e dn                ，

　因此  的极大似然估计量ˆ 是  的无偏估计量。

　5、 解：

　 2 210.01 , 2.14 2.10 2.11 2.12516x        L ，置信度 0.9，即α=0.1，查正态分布数值表，知    1 / 21.65 0.95 u     ,即   1.65 1 0.90 P U      ,从而1 / 2 0 . 9 5 1.65u u   ，1 /20.011.65 0.00416un   ，所以总体均值  的 0.9 的置信区间为    1 /2 1 /2, 2.125 0.004,2.125 0.004 2.121,2.129 x u x un n           . 6、解：首先建立假设：

　在 n=8，m=7,α=0.05 时, 故拒绝域为   0.195,

　5.70 F or F   ,现由样本求得21s =0.2164，22s =0.2729，从而 F=0.793，未落入拒绝域，因而在 α=0.05 水平上可认为两台机床加工精度一致。

　7、、解：以 X 记服药后与服药前血压的差值，则 X 服从 2, N   ，其中2,   均未知，这些资料中可以得出 X 的一个样本观察值：683-46-26-172 待检验的假设为 0 1: 0, : 0 H H    

　这是一个方差未知时，对正态总体的均值作检验的问题，因此用 t 检验法当  01 /21/XT t nS n  时，接受原假设，反之，拒绝原假设。依次计算有        2 221 16 8 7 2 3.1, 6 3.1 2 3.1 17.655610 10 1x s            L L ， 3.1 02.322817.6556/10t  ， 由于    1 /2 0.9751 9 2.2622 t n t    ，T 的观察值的绝对值 2.3228 2.2622 t   .所以拒绝原假设，即认为服药前后人的血压有显着变化。

　1、设某商店 100 天销售电视机的情况有如下统计资料：

　日售出台数 23456 合计 天数 2030102515 100 求样本容量 n，样本均值和样本方差。

　2、设1 7, , X X L 为总体 X 服从   0,0.25 N 的一个样本，求7214iiP X   .（  20.9757 16.0128   ）

　3、设总体 X 具有分布律 X 1 2 3 P k θ 2 2θ(1－θ) (1－θ) 2

　其中 θ(0<θ<1)为未知参数。已知取得了样本值 x 1 =1，x 2 =2，x 3 =1，试求 θ 的最大似然估计值。

　4、求均匀分布 ] , [2 1  U 中参数2 1 ,  的极大似然估计． 5、为比较两个学校同一年级学生数学课程的成绩，随机地抽取学校 A 的 9 个学生，得分数的平均值为31 . 81 Ax ，方差为 76 . 602As ；随机地抽取学校B的15个学生，得分数的平均值为 61 . 78 Bx ，方差为 24 . 482Bs 。设样本均来自正态总体且方差相等，参数均未知，两样本独立。求均值差B A   的置信水平为 0.95 的置信区间。（  0.97522 7.266 t  ）

　6、设 A，B 二化验员独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了 10 次测定，其测量值的修正方差分别为2 20.5419, 0.6065A Bs s   ，设2A 和2B 分别为所测量的数据总体（设为正态总体）的方差，求方差比2 2/A B  的 0 . 95 的置信区间。

　7、某种标准类型电池的容量（以安-时计）的标准差 66 . 1   ，随机地取 10 只新类型的电池测得它们的容量如下 146，141，135，142，140，143，138，137，142，136 设样本来自正态总体 ) , (2  N ，2,   均未知，问标准差是否有变动，即需检验假设（取 05 . 0   ）：2 212 2066 . 1 : , 66 . 1 :     H H 。

　8、某地调查了 3000 名失业人员，按性别文化程度分类如下：

　文化程度 性别 大专以上中专技校高中初中及以下 合计 男 女 401386201043 2072442625 1841 1159 合计 6021010621668 3000 试在 α=0.05 水平上检验失业人员的性别与文化程度是否有关。（  20.953 7.815   ）

　第五次 1、设某商店 100 天销售电视机的情况有如下统计资料：

　日售出台数 23456 合计 天数 2030102515 100

　求样本容量 n，样本均值和样本方差。

　2、设1 7, , X X L 为总体 X 服从   0,0.25 N 的一个样本，求7214iiP X   .（  20.9757 16.0128   ）

　3、设总体 X 具有分布律 X 1 2 3 P k θ 2 2θ(1－θ) (1－θ) 2

　其中 θ(0<θ<1)为未知参数。已知取得了样本值 x 1 =1，x 2 =2，x 3 =1，试求 θ 的最大似然估计值。

　4、求均匀分布 ] , [2 1  U 中参数2 1 ,  的极大似然估计． 5、为比较两个学校同一年级学生数学课程的成绩，随机地抽取学校 A 的 9 个学生，得分数的平均值为31 . 81 Ax ，方差为 76 . 602As ；随机地抽取学校B的15个学生，得分数的平均值为 61 . 78 Bx ，方差为 24 . 482Bs 。设样本均来自正态总体且方差相等，参数均未知，两样本独立。求均值差B A   的置信水平为 0.95 的置信区间。（  0.97522 7.266 t  ）

　6、设 A，B 二化验员独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了 10 次测定，其测量值的修正方差分别为2 20.5419, 0.6065A Bs s   ，设2A 和2B 分别为所测量的数据总体（设为正态总体）的方差，求方差比2 2/A B  的 0 . 95 的置信区间。

　7、某种标准类型电池的容量（以安-时计）的标准差 66 . 1   ，随机地取 10 只新类型的电池测得它们的容量如下 146，141，135，142，140，143，138，137，142，136 设样本来自正态总体 ) , (2  N ，2,   均未知，问标准差是否有变动，即需检验假设（取 05 . 0   ）：2 212 2066 . 1 : , 66 . 1 :     H H 。

　8、某地调查了 3000 名失业人员，按性别文化程度分类如下：

　文化程度 性别 大专以上中专技校高中初中及以下 合计 男 女 401386201043 2072442625 1841 1159 合计 6021010621668 3000 试在 α=0.05 水平上检验失业人员的性别与文化程度是否有关。（  20.953 7.815   ）

　1、解：样本容量为 n=100 样本均值，样本方差，样本修正方差分别为

　2、解：因每个iX 与总体 X 有相同分布，故020.5iiXX 服从   0,1 N ，则27 721 1040.5iii iXX      服从自由度 n=7 的2 -分布。因为7 7 72 2 21 1 14 4 16 1 4 16i i ii i iP X P X P X                        ，查表可知 20.9757 16.0128   ,故7214 0.025.iiP X     3、解：似然函数 } 1 { } 2 { } 1 { } { ) (3 2 131      X P X P X P x X P θ Lii i lnL(θ)=ln2+5lnθ+ln(1－θ) 求导 01165) ( ln θ θ dθ L d 得到唯一解为65ˆ θ

　4、解：由 X 服从[a，b]上的均匀分布，易知   2222,2 12 2b a a b a bEX EX DX EX         求 a ， b 的 矩 法 估 计 量 只 需 解 方 程 22ˆˆ ˆˆ,2 12nb aa bX S  ,得ˆˆ 3 , 3n na X S b X S    

　5、解：根据两个正态总体均值差的区间估计的标准结论，均值差B A   的置信水平为0.95的置信区间为 6、解：n=m=10,1-α=0.95，α=0.05,       1 /2 0.975 /21 /211, 1 9,9 4.03, 1, 1 0.24181, 1F n m F F n mF m n         , 从而    2 22 21 /2 /21 1 0.5419 1 0.5419 1, ,1, 1 1, 1 0.6065 4.03 0.6065 0.241[0.222 3.601]8A AB BS SS F n m S F n m            ， 故方差比2 2/A B  的 0.95 的置信区间为[0.222，3.601]。

　7、这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验问题。

　检验统计量为 22266 . 1) 1 ( S n   。

　代入本题中的具体数据得到22(10 1) 1239.1931.66    。

　检验的临界值为 022 . 19 ) 9 (2975 . 0  。

　因为239.193 19.022    ，所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设0H ，即认为电池容量的标准差发生了显着的变化，不再为 1.66。

　8、解：这是列联表的独立性检验问题。在本题中 r=2，c=4，在 α=0.05 下，       2 20.95 0.951 1 3 7.815 r c       ,因而拒绝域为：

　 27.815 W    .为了计算统计量(3.4)，可列成如下表格计算. ./i jn n n  ：

　大专以上中专技校高中初中及以下

　男 女 36.8128.9651.71023.6 23.281.1410.3644.4 1841 1159 合计 6021010621668 3000 从而得      2 2 2240 36.8 20 23.2 625 644.47.23636.8 23.2 644.4       L , 由于2 =7.326<7.815，样本落入接受域，从而在 α=0.05 水平上可认为失业人员的性别与文化程度无关。

　1设1 2, X X 是取自正态总体   ,1 N  的一个容量为2的样本，试证下列三个估计量都是μ的无偏估计量：1 2 1 2 1 22 1 3 1 1 1, ,3 3 4 4 2 2X X X X X X    ,并指出其中哪一个估计量更有效。

　可见第三个估计量更有效。

　2 设1 2, , ,nX X X L 是取自正态总体 2, N   的一个样本，试证  22111niiS X Xn 是2 的相合估计。

　证明：由于 服从自由度为 n-1 的 -分布，故 ， 从而根据车贝晓夫不等式有 ，所以 是 的相合估计。

　3 随 机 地 从 一 批 钉 子 中 抽 取 16 枚 ， 测 得 其 长 度 （ 以 厘 米 计 ）

　为2.142.102.132.152.132.122.132.102.152.122.142.102.132.112.142.11 设钉长服从正态分布，试求总体均值  的0 . 9 的置信区间。（1）若已知σ=0 . 01（厘米），（2）若σ未知。

　解：（1）? ，置信度 0.9，即 α=0.1，查正态分布数值表，知 ,即 ,从而 ，

　，所以总体均值 的 0.9 的置信区间为.

　（2）σ 未知 ,置信度 0.9，即 α=0.1，自由度 n-1=15，查 t-分布的临界值表 所以置信度为 0。9 的 μ 的置信区间是 4 某农场为了试验磷肥与氮肥是否提高水稻收获量，任选试验田 18 块，每块面积 1/20 亩进行试验，试验结果：不施肥的 10 块试验田的收获量分别为 8.6，7.9，9.3，10.7，11.2，11.4，9.8，9.5，10.1，8.5（单位：市斤），其余 8 块试验田在插种前施加磷肥，播种后又追施三次氮肥，其收获量分别为 12.6，10.2，11.7，12.3，11.1，10.5，10.6，12.2。假定施肥与不施肥的收获量都服从正态分布，且方差相等，试在置信概率 0 . 95 下，求每 1/20 亩的水稻平均收获量施肥比不施肥增产的幅度。

　答：

　设正态总体 分别表示施肥和不施肥的每 1/20 亩的水稻收获量，据题意，有 对 1-α=0.95，即α=0.05，查 t 分布表（自由度为 n+m-2=16），得 ，于是 所以在置信概率 0。95 下，求每 1/20 亩的水稻平均收获量施肥比不施肥增产 0.6 到 2.8 市斤。

　1 某厂用自动包装机装箱，在正常情况下，每箱重量服从正态分布 2100,1.15 N ，某日开工后，随机抽查 10 箱，重量如下（单位：斤）：99.3，98.9，100.5，100.1，99.9，99.7，100.0，100.2，99.5，100.9，问包装机工作是否正常，即该日每箱重量的数学期望与 100 有显着差异（给定水平α=0.05，并认为该日的0 仍为 1.15）？ 答：以该日每箱重量作为总体 ，它服从 ，问题就归结为根据所给的样本观察值对方差已知的正态总体检验 ，可采用 U-检验法。

　原假设 ，由所给样本观察值算得 ，于是 对于α=0.05，查标准正态分布表得 ，因为 ，所以接受 ，即可以认为该日每箱重量的数学期望与 100 无显着差异，包装机工作正常。

　2设某包装食盐的机器正常工作时每袋食盐的标准重量为500克，标准差不得超过10克，某天开工后从包装好的食盐中随机抽取 9 袋，测得其净重如下（单位：克）497,507,510,475,484,488,524,491,515.问此时包装机工作是否正常? ) 01 . 0 (  

　解：

　，

　选取检验统计量：

　? ，计算得 ，在 n=9,α=0.05 时，。拒绝域 ，因此此时包装机工作是正常的。

　3 由累积资料知道甲、乙两煤矿的含灰率分别服从    1 2,7.5 ,2.6 N N   .现从两矿各抽 n=5,m=4 个试件，分析其含灰率为(%)

　甲矿 24.3 20.8 23.7 21.3 17.4 乙矿 18.2 16.9 20.2 16.7

　问甲、乙两矿所采煤的含灰率的数学期望1 2,   有无显着差异（显着水平α=0.05）？ 答：分别以甲乙两矿所采煤的含灰率作为总体 和总体 ,问题归结为根据所给的样本观察值对方差已知的两个正态总体检验 ，可采用 U-检验法。

　原假设 ，由所给样本观察值算得 ，于是 对于α=0.10，查标准正态分布表得 ，因为 ，所以拒绝 ，即可以认为有显着差异。

　4 两台车床生产同一种滚珠（滚珠直径按正态分布见下表），从中分别抽取 8 个和 9 个产品，比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否相等（α=0.05）？

　甲床 15.014.515.215.514.815.115.214.8 乙床 15.215.014.815.215.015.014.815.114.8 答：已知 n=8，m=9，α=0.05，假设 ， α=0.05，α/2=0.025，第一自由度 n-1=7，第二自由度m-1=8，在 成立的条件下选取统计量 服从自由度分别为 7，8 的 F 分布 查表：

　，因为 F=3.69<4.53,所以接受假设 ，即可以认为两台车床生产的滚珠直径的方差相等。

　5 自某种铜溶液测得 9 个铜含量的百分比的观察值为 8.3，标准差为 0.025。设样本来自正态总体) , (2  N ，2,   均 未 知 。

　试 依 据 这 一 样 本 取 显 着 性 水 平 01 . 0   检 验 假 设 ：42 . 8 : , 42 . 8 :1 0    H H 。

　解 解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于左边检验问题， 检验统计量为 n sxt/42 . 8  。

　代入本题具体数据，得到 4 . 149 / 025 . 042 . 8 3 . 8  t 。

　检验的临界值为 8965 . 2 ) 8 (01 . 0  t 。

　1 从一批机器零件毛坯中随机抽取 8 件，测得其重量（单位：kg）为：230，243，185，240，228，196，246，200。

　（1）写出总体，样本，样本值，样本容量； （2）求样本的均值，方差及二阶原点距。

　答：（ 1）总体为该批机器零件重量ξ，样本为 ，样本值为 230，243，185，240，228，196，246，200，样本容量为 n=8；

　（2）

　2 设总体 X 服从正态分布 2, N   ，其中  已知，2 未知，1 2 3, , X X X 是来自总体的简单随机样本。

　（1）写出样本1 2 3, , X X X 的联合密度函数； （2）指出  2 2 21 2 3 1 2 312,max ,1 3 , 2 ,3iX X X X X XX i X       之中哪些是统计量，哪些不是统计量。

　：

　答：（1）因为X服从正态分布 ，而 是取自总体X的样本，所以有X i 服从 ，即

　 故样本的联合密度函数为

　。

　 （2）

　都是统计量，因为它们均不包含任何未知参数， 而 不是统计量。

　3 设总体 X 服从两点分布 B（1，p），其中 p 是未知参数，1 5, , X X L 是来自总体的简单随机样本。指出    21 2 5 5 1,max ,1 5 , 2 ,iX X X i X p X X      之中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？ 答：1 521 2 5 1max, ,( )iiX X X X X   都是统计量，52 , X p  不是统计量，因 p 是未知参数。

　4 设总体服从参数为  的指数分布，分布密度为0 , 00 ,) ; (xx ex px　　

　求 X D X E , 和2ES . 解：由于 ，所以 ； ； 。

　5 设总体 X 服从   0,1 N ，样本1 6, , X X L 来自总体 X,令    2 21 2 3 4 5 6Y X X X X X X       ,求常数 C，使 CY 服从2 -分布。

　解：因为样本? 独立同分布 ，所以 服从 ， 服从 ，同理 服从 ,因此 服从 ， 服从 ，且两者相互独立，由 -分布的可加性，知 Y/3 服从 ，所以取 C=1/3。

　6 设总体 X 服从 2, N   ，1 ,,nX X L 是取自总体 X 的简单随机样本， X 为样本均值，2 2,nS S 分别是样本方差和样本修正方差，问下列统计量 2212 2, ,/nin iXnS XS n 各服从什么分布。

　答：

　由定理知 服从自由度为n-1的 -分布，由定理的系得 服从自由度为n-1的t-分布，由 服从 ，可得 服从 ， 服从，由于 相互独立因此由 -分布的可加性，得 服从自由度为 n 的 -分布。

　7 设总体 X 服从 2, N   ， X 和2S 为样本均值和样本修正方差，又有1 nX服从 2, N   ，且与1 ,,nX X L 相互独立，试求统计量 2112, 1//11nnnX XX XnnSSnn服从什么分布。

　答：

　由 X 服从 ， 服从 ， 服从 ， 服从，又由 服从自由度为 n-1 的 -分布，注意 t 分布的定义服从自由度为 n-1 的 t-分布。由 服从 ，

　服从 ，又由 服从自由度为 n-1 的 -分布，注意 F 分布的定义服从自由度为（1，n-1）的 F-分布。

　（不好意思，X 都写成了 ，让教师费心了！！）

　1 随机地取 8 只活塞环，测得它们的直径为（以 mm 计）

　74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ 2 的矩估计，并求样本方差 S 2 。

　解：μ，σ 2 的矩估计是 612 210 6 ) (1ˆ , 002 . 74 ˆ     niix XnX  

　6 210 86 . 6  S 。

　2 总体 X 的概率密度为    1 ,0 1,0,

　0, , 1x xp xx or x     ，其中 1   为未知参数，样本1 2, , ,nX X X L来自总体 X，求未知参数  的矩法估计与极大似然估计。

　答：首先求数学期望

　从而解方程

　得 的矩法估计为 。

　似然函数为 令

　解得 的极大似然估计为 。

　3 求均匀分布 ] , [2 1  U 中参数2 1 ,  的极大似然估计．

　解先写出似然函数 该似然函数不连续，不能用似然方程求解方法，只有回到极大似然估计原始定义，注意最大值只能发生在 4 设连续型总体 X 的概率密度为    22, 0, 00,

　0xxe xp xx    ,1 2, , ,nX X X L 来自总体 X 的一个样本，求未知参数  的极大似然估计量ˆ ，并讨论ˆ 的无偏性。

　答：

　似然函数为

　其中

　因此 的极大似然估计量 是 的无偏估计量。

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