专题一：概率与统计
复习提纲
一、三大公式
1．独立性检验公式：22( )( )( )( )( )n ad bcKa b c d a c b d ，其中 n a b c d 为样本容量。
2 ． 线 性 回 归 方 程^ ^ ^y bx a 中 系 数 计 算 公 式121( )( )( )ni iiniix x y ybx xa y b 或 者1221ni iiniix y nxybx nx，其中 x ， y 表示样本均值。
3．（1）样本数据1x ，2x ， ，nx 的标准差2 2 21 21( ) ( ) ( )ns x x x x x xn ； （2）样本数据1x ，2x ， ，nx 的方差2 2 2 21 21( ) ( ) ( )ns x x x x x xn 。
二 、 知识点与考点
三 、 高考模拟练习
1. 某工厂质检员每隔 10 分钟从传送带某一位置取一件产品进行检测，这种抽样方法是（
）
A．分层抽样
B．简单随机抽样
C．系统抽样
D．以上都不对 2．某学校 2009 年五四青年节举办十佳歌手赛，右图是七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为（
）
A．83，1.6 B．84, 0.4
C．85, 1.6
D．86, 1.5
3. 设 a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程22 0 x ax 有两个不相等的实数根的概率为（
）
A．
23
B．
13
C．
12
D．
125 4. 已知正方形的面积为 10，向正方形内随机地撒 200 颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114 颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为（
）
A．5.3 B．4.3
C．4.7 D．5.7
5. 在区间 [ , ]2 2 上随机取一个数 x ， cosx 的值介于 0 到21之间的概率为（
）
A.31
B.2
C.21
D.32
6．连续掷两次骰子，以先后得到的点数 n m, 作为点 ) , ( n m P 的坐标，那么点 P 落在圆172 2 y x 外部的概率为（
）
A．1811
B．1813 C．32
D．31 7. 从集合2 2{( , ) 4, R, R} x y x y x y 内任选一个元素 ( , ) x y ，则 , x y 满足 2 x y 的概率为
．
8． 用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图的规律拼成若干图形，则按此规律，将一粒豆子随机撒在第 100 个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是
．
9. 从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边，可以构成三角形的概率是___。
10. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36，则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 102 克的产品的净重的平均数约为
克。
11. 如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出 40 名，将其成绩（均为整数．．．．）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：
(1）
80~90 这一组的频数、频率分别是多少？ (2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数。（不要求写过程）
(3) 从成绩是 80 分以上（包括 80 分）的学生中
选两人，求他们在同一分数段的概率.
96 98 100 102 104 106
0.150
0.125
0.100
0.075
0.050
克
频率/组距
第 10 题图
第 1
第 2
第 3
0.035
0.025
0.015
0.005 频率组距分数 40
50
60
70
80
90
100
12.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50 （１）用分层抽样的方法在喜欢打篮球的学生中抽６人，其中男生抽多少人？ （２）在上述抽取的６人中选２人，求恰有一名女生的概率. （３）为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关，计算出28.333 K ，你有多大的把握认为是否喜欢打篮球与性别有关？ 下面的临界值表供参考：
2( ) P K k
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
13. 已知关于 x 的一元二次函数 . 1 4 ) (2 bx ax x f
（1）设集合 P={1，2， 3}和 Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b ，求函数 ) (x f y 在区间[ ) , 1 上是增函数的概率； （2）设点（ a ， b ）是区域 000 8yxy x内的随机点，求函数 ) , 1 [ ) ( 在区间 x f y 上是增函数的概率。
14. 一汽车厂生产 A、B、C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位:辆)：
轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. （1）求 z 的值； （2）用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本。将该样本看成一个总体，从中任取 2 辆，求至少有 1 辆舒适型轿车的概率； （3）用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆，经检测它们的得分如下：9.4、8.6、9.2、9.6、8.7、9.3、9.0、8.2，把这 8 辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率。
15. 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日
期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日 温差 x （°C）
10 11 13 12 8 发芽数 y （颗）
23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验． （1）求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率； （2）若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 y bx a ； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠?
参考答案 一、选择题
1.C
2.C
3.A
4.B
5.A
6.B 二、填空题
7．24
8．603503
9.34
10.100.2 三、解答题
11. 解：（1）依题意， 80~90 间的频率为：
1-（0.01+0.015+0.025+0.035+0.005）
10=0.1 频数为: 40×0.1=4 （2）这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数分别是：68.5、75、70 （3）因为 80~90 有 4 人，设为 a,b,c,d， 90～100 有 2 人，设为 A，B，从中任选 2人， 共有如下 15 个基本事件（a,b）,(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A), (c,B），（d,A），（d,B）,(A,B)。
设分在同组记为事件 M，分在同一组的有（a,b）,(a,c),(a,d), (b,c),(b,d), (c,d), (A,B)共 7 个，所以 ( ) MP =157。
12. 解：（１）在喜欢打蓝球的学生中抽６人，则抽取比例为6 130 5 ， ∴男生应该抽取120 45 人。
（２）在上述抽取的 6 名学生中, 女生的有 2 人，男生 4 人。女生 2 人记 , A B ；男生 4 人为 , , , c d e f ， 则从 6 名学生任取 2 名的所有情况为: ( , ) A B 、 ( , ) A c 、( , ) A d 、 ( , ) A e 、 ( , ) A f 、 ( , ) B c 、 ( , ) B d 、 ( , ) B e 、 ( , ) B f 、 ( , ) c d 、 ( , ) c e 、( , ) c f 、 ( , ) d e 、 ( , ) d f 、 ( , ) e f 共15种情况，其中恰有1名女生情况有：
( , ) A c 、( , ) A d 、 ( , ) A e 、 ( , ) A f 、 ( , ) B c 、 ( , ) B d 、 ( , ) B e 、 ( , ) B f ，共 8 种情况，
故上述抽取的６人中选２人，恰有一名女生的概率概率为8P15 . （３）∵28.333 K ，且2( 7.879) 0.005 0.5% P k ，
那么，我们有 99.5% 的把握认为是否喜欢打蓝球是与性别有关系的. 13. 解 ：（ 1 ）
∵ 函 数 1 4 ) (2 bx ax x f 的 图 象 的 对 称 轴 为 ,2abx 要 使1 4 ) (2 bx ax x f 在 区 间 ) , 1 [ 上 为 增 函 数 ， 当 且 仅 当 a >0 且a bab 2 , 12即 。
若 a =1 则 b =－1， 若 a =2 则 b =－1，1 若 a =3 则 b =－1，1； ∴事件包含基本事件的个数是 1+2+2=5 ∴所求事件的概率为5 115 3 。
（2）由（1）知当且仅当 a b 2 且 a >0 时，函数 ) , 1 [ 1 4 ) (2 在区是间 bx ax x f上 为 增 函 数 ， 依 条 件 可 知 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 为8 0( , ) 00a ba b ab ， 构成所求事件的区域为三角形部分。
由 ),38,316(20 8得交点坐标为 abb a ∴所求事件的概率为318 82138821 P 。
14. 解: (1)设该厂本月生产轿车为 n 辆，由题意得50 10100 300 n，所以 n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400 (2) 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车，因为用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本，所以4001000 5m ,解得 m=2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车，3 辆标准型轿车，分别记作 S 1 ,S 2 ;B 1, B 2 ,B 3 ，则从中任取 2 辆的所有基本事件为(S 1 , B 1 ), (S 1 , B 2 ) , (S 1 , B 3 ) (S 2
,B 1 ), (S 2
,B 2 ), (S 2
,B 3 ),( (S 1 , S 2 ),(B 1
,B 2 ), (B 2
,B 3 ) ,(B 1
,B 3 )共 10 个,其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本事件有 7 个基本
事件: (S 1 , B 1 ), (S 1 , B 2 ) , (S 1 , B 3 ) (S 2
,B 1 ), (S 2
,B 2 ), (S 2
,B 3 ),( (S 1 , S 2 ),所以从中任取 2 辆,至少有 1 辆舒适型轿车的概率为710. (3)样本的平均数为1(9.4 8.6 9.2 9.6 8.7 9.3 9.0 8.2) 98x ,那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的数为 9.4,
8.6,
9.2,
8.7,
9.3,
9.0 这 6 个数,总的个数为 8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为 75 . 086 . 15.解：（1）设抽到不相邻的两组数据为事件 A，因为从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况：（1，2）
（1，3）（1，4）（1，5）（2，3）（2，4）（2，5）（3，4）（3，5）（4，5），其中数据为 12 月 份的日期数。
每种情况都是可能出现的，事件 A 包括的基本事件有 6 种。
所以53106) ( A P 。所以选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率是53
（2）由数据，求得 . 27 , 12 y x
由公式，求得 3 ,25 x b y a b 。
所以 y 关于 x 的线性回归方程为 325ˆ x y 。
（3）当 x=10 时， ; 2 | 23 22 | , 22 3 1025ˆ y
同样，当 x=8 时， ; 2 | 16 17 | , 17 3 825ˆ y
所以，该研究所得到的回归方程是可靠的。
相关热词搜索： 提纲 概率 复习