题 专题 3 概率 与统计 【 【17 年高考】2.如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. 14
B. π8
C. 12
D. π4
【16 年高考】（4）某公司的班车在 7:00，8:00，8:30 发车，学.科网小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 （A）
12
（B）14
（C）15
（
D）34
1． ．（安徽卷）在正方体上任选 3 个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰．．三角形的概率为
A．17
B．27
C．37
D．47 2． ．（安徽卷）在正方体上任选 3 个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为
A．17
B．27
C．37
D．47 3． ．（福建卷）在一个口袋中装有 5 个白球和 3 个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出 3 个球，至少摸到 2 个黑球的概率等于 A.72
B.83
C.73
D.289 4． ．（江苏卷）某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为 10，方差为 2，则｜x－y｜的值为 （A）1
（B）2
（C）3
（D）4
5． ．（江苏卷）右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是 （A）454
（B）361
（C）154
（D）158 6． ．（江西卷）将 7 个人（含甲、乙）分成三个组，一组 3 人，另两组 2 人，不同的分组数为 a，甲、乙分到同一组的概率为 p，则 a、p 的值分别为 A．a=105
p=521
B.a=105
p=421
C.a=210
p=521
D.a=210
p=421 7． ．（江西卷）袋中有 40 个小球，其中红色球 16 个、蓝色球 12 个，白色球 8 个，黄色球 4个，从中随机抽取 10 个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为 Ａ．1 2 3 44 8 12 161040C C C CC
Ｂ．2 1 3 44 8 12 161040C C C CC
Ｃ．2 3 1 44 8 12 161040C C C CC
Ｄ．1 3 4 24 8 12 161040C C C CC 8． ．（四川卷）从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被 3 整除的概率为 （A）1954
（B）3554
（C）3854
（D）4160 9. （山东文 12）设集合 {12} {12 3} A B ，， ，， ，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b ，确定平面上 的一个点 ( ) P a b ， ，记“点 ( ) P a b ， 落在直线 x y n 上”为事件(2 5 )nC n nN ≤ ≤ ，，若事件nC 的 概率最大，则 n 的所有可能值为
A．3
B．4
C．2 和 5
D．3 和 4 10. （广东理8）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字 外完全 相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是
11.（山东理 12）
位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点 P 移动 5 次后位于点(2,3) 的概率为 （A）51( )2
（B）
2 551( )2C
（C）3 351( )2C
（D）
2 3 55 51( )2C C
信 号
12.（福建理 12）如图，三行三列的方阵有 9 个数 （i＝1，2，3；j＝1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是
A 73
B74
C 141
D 1413
13.（湖南理 5）设随机变量 服从标准正态分布 (01) N ， ，已知 ( 1.96) 0.025 ，则(| | 1.96) P = A．0.025
B．0.050
C．0.950
D．0.975 14.（江西理 10）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为 Ａ．19
Ｂ．112
Ｃ．115
Ｄ．118 15.（湖北理 9）连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ，记向量 ( ) m n ， a = 与向量(1 1) ， b 的夹角为
则 0 ， 的概率是 A．512
B．12
C．712
D．56 16.（湖北文 7）将 5 本不同的书全发给 4 名同学，每名同学至少有一本书的概率是
A.6415
B.12815
C. 12524
D. 12548 17. （浙江理 5）已知随机变量 服从正态分布2(2 ) N ，， ( 4) 0.84 P ≤ ，则 ( 0) P ≤
A． 0.16
B． 0.32
C． 0.68
D， 0.84
18.（浙江文8）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是
(A) 0．216
(B)0．36
(C)0．432
(D)0．648 19.（辽宁理 9 文 10）一个坛子里有编号为 1，2，…，12 的 12 个大小相同的球，其中 1 到6 号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号码是偶数的概率是 A．122
B．111
C．322
D．211 20.（四川理）已知一组抛物线2112y ax bx ，其中 a 为 2、4、6、8 中任取的一个数，b 为 1、3、5、7 中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 1 x 交点处的切线相互平行的概率是 （A）112
（B）760
（C）625
（D）516 21. (2009 山东卷理) 在区间[-1，1]上随机取一个数 x， 的值介于 0 到 之间的概率为 cos2x 21
0.00053000 35000.00030.00042000 15000.00020.00014000 2500 1000月收入（元）频率/组距A.
B.
C.
D.
22.（2009 安徽卷理）考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于
（A）
（B）
（C）
（D）
23.（2009 江西卷文）甲、乙、丙、丁 个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这 个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 A．
B．
C．
D．
24.（2009 江西卷理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了 种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐 种卡片可获奖，现购买该种食品 袋，能获奖的概率为 A．
B．
C．
D．
.
25.（2009 辽宁卷文）ABCD 为长方形，AB＝2，BC＝1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 （A）
（B）
（C）
（D）
26.（2009 年上海卷理）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”。根据过去 10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 （A）甲地：总体均值为 3，中位数为 4
（B）乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0
（C）丙地：中位数为 2，众数为 3
（D）丁地：总体均值为 2，总体方差为 3 二．填空题 1． ．（福建卷）一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数 0，两个面上标以数 1,一个面上标以数 2，将这个小正方体抛掷 2 次，则向上的数之积的数学期望是
. 2． ．（全国 II）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人，并根据所得数据画了样本的频率 分布直方图（如右图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、 职业等方面的关系，要从这 10 000 人中再用分层抽样方法 3122132175275375475441614131233 53181338148815081414818
抽出 100 人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月 收入段应抽出
.人． 4 ．(上海卷)两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷 1 本，共 8 本．将它们任意地排成一排，左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率是
.（结果用分数表示）． 5．（四川卷）设离散型随机变量 可能取的值为 1，2，3，4。
( ) P k ak b （ k 1，2，3，4）。
又 的数学期望 3 E ，则 a b
. 6.（全国 2 理 14）在某项测量中，测量结果服从正态分布 N（1， 2 ）（>0），若在（0，1）内取值的概率为 0.4，则在（0，2）内取值的概率为
. 7. (安徽文14) 在正方体上任意选择两条棱,则这两条棱相互平行的概率为
. 8. （福建理 15）两封信随机投入 A、B、C 三个空邮箱，则 A 邮箱的信件数 的数学期望＝
. 9. (2009 年广东卷文) 某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2，现要从中抽取 40 名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按 1－200 编号，并按编号顺序平均分为 40 组（1－5 号，6－10 号…，196－200 号）.若第 5 组抽出的号码为 22，则第 8 组抽出的号码应是
.若用分层抽样方法，则 40 岁以下年龄段应抽取
.人.
10.（2009 安徽卷文）从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是
. 11.（2009 江苏卷）现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为
. 12. (2009 湖南卷理) 一个总体分为 A，B 两层，其个体数之比为 4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本，已知 B 层中甲、乙都被抽到的概率为 ，则总体中的个数数位
. 13.（2009 福建卷文）点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为
. .c.o.m
14.（2009 上海卷文）若某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于 1 名的概率是
.（结果用最简分数表示）。
128
15． ．（2009 重庆卷文）从一堆苹果中任取 5 只，称得它们的质量如下（单位：克）125
124
121
123
127 则该样本标准差
.（克）（用数字作答）． 16.（2010 安徽文数）某地有居民 100 000 户，其中普通家庭 99 000 户,高收入家庭 1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取 990 户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取 l00 户进行调查，发现共有 120 户家庭拥有 3 套或 3 套以上住房，其中普通家庭 50 户，高收人家庭 70 户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭所占比例的合理估计是
.
15.已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%。现采用随机模拟的方法估计该运动 员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数， 指定 1，2，3，4 表示命中，5，6，，7，8，9，0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了 20 组随机数：
907
966
191
925
271
932
812
458
569
683
431
257
393
027
556
488
730
113
537
989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A．0.35
B 0.25
C 0.20
D 0.15 16.（13 分）
从集合 1,2,3,4,5 的所有非空子集．．．．中，等可能地取出一个。
（1）
记性质 r：集合中的所有元素之和为 10，求所取出的非空子集满足性质 r 的概率； （2）
记所取出的非空子集的元素个数为 ，求 的分布列和数学期望 E
2010 年福建（理科）
16．（本小题满分 13 分）
设 S 是不等式26 0 x x 的解集，整数．． mn S ， 。
（Ⅰ）记“使得 0 m n 成立的有序数组．．．． () m n ， ”为事件 A ，试列举 A 包含的基本事件； （Ⅱ）设2m ，求 的分布列及其数学期望 E 。
s
2011 年福建（理科）
13.何种装有形状、大小完全相同的 5 个球，其中红色球 3 个，黄色球 2 个。若从中随机取出 2 个球，则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于_______。
19.（本小题满分 13 分）
某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 X 依次为 1,2，……，8，其中 X≥5 为标准A，X≥3 为标准 B，已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准 （I）已知甲厂产品的等级系数 X 1 的概率分布列如下所示：
且 X 1 的数字期望 EX 1 =6，求 a，b 的值； （II）为分析乙厂产品的等级系数 X 2 ，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3
5
3
3
8
5
5
6
3
4
6
3
4
7
5
3
4
8
5
3 8
3
4
3
4
4
7
5
6
7 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X 2 的数学期望.
在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由. 注：（1）产品的“性价比”=产品的零售价期望 产品的等级系数的数学；
（2）“性价比”大的产品更具可购买性.
16.（本小题满分 13 分）
受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆，统计书数据如下：
将频率视为概率，解答下列问题：
（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； (II)若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 X 1 ，生产一辆乙品牌轿车的利润为 X 2 ，分别求 X 1 ，X 2 的分布列； （III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。
【16 年高考】（19）（本小题满分 12 分）
某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. （I）求 X 的分布列； （II）若要求 ( ) 0.5 P X n ，确定 n 的最小值； （III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 19 n 与 20 n 之中选其一，应选用哪个？
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