课题：等和数列与等积数列及其通项公式的求法 授课教师：奉贤区曙光中学
陶慰树 教学目标：1、知识目标
复习巩固等差数列，等比数列的递推公式、通项公式等知识，掌握由递推公式求一类数列通项公式的常用方法。
2、能力目标
使学生逐步领悟化归等数学思想，渗透联想、类比等研究策略，提高学生探究问题的能力，培养创新意识。
3、情感目标
培养学生勇于探索、锲而不舍的精神。通过问题的自我解决来增强学生的自信心。创设愉快、轻松的教学氛围，激发学生的学习兴趣和热情。
教学重 点：培养学生类比推广、探究创新的能力。
教学难点：渗透化归的数学思想方法将一类数列转化为等差等比数列。
教学方法：探究发现式教学方法。
学法指导：1、引导学生运用联想、类比的方式发现问题，并能探究解决问题的方法。
2、开放地对同一问题从不同角度去理解分析，并辨证地寻求质的统一。
教学过程：
一、引出问题 问题 1：“请说出等差数列的定义和它的递推公式与通项公式。” 问题 2：“请说出等比数列的定义和它的递推公式与通项公式。”（学生回答，教师板书）。
“我们是否发现这里等比数列的定义其实是将等差数列中后项与前项的差的运算替换为商的运算。那是否还可以替换为其他的运算呢？这样得到的又是怎样的数列呢？”（让学生类比、猜想，经过交流讨论，由学生讲出等和数列与等积数列的名称并举例验证其存在，让学生自己给出等和数列、等积数列的定义）。
二、类比创新 1、 等和数列：如果数列 } {na 从第 2 项起的每一项与前一项的和为定值，则此数列 } {na 为等和数列。它的递推公式为： c a aa an n 11 （ c 为常数）。
2、等积数列：如果数列 } {nb 从第 2 项起的每一项与前一项的积为定值，则此数列 } {nb 为等积数列。它的递推公式为： p b bb bn n 11 （ p 为常数）
问：“这样的数列是否存在？如存在的请举出具体的例子。”不妨设学生举的例子为：
（1） 2311n na aa 与（2） 2311n nb bb。
（具体课堂教学以学生的举例为例题）
讨论：“如果这里 c 、 p 的取一些特殊值，则等和数列与等积数列会有怎样的变化？” 教师问：“能否求出这两种新数列 } {na ， } {nb 的通项公式？” 三、探索研究 我们先一起研究等和数列。
例 1、已知数列 } {na 满足 2311n na aa，求数列 } {na 的通项公式。
学生可能会根据递推公式求出数列的前几项，寻找特殊规律，利用归纳、猜测的思想得到数列 } {na 的一个通项公式为 ）
为偶数 （）
为奇数N n nN n na n, 1, ( 3
。此时学生会沉浸在探索、创新“成功”的喜悦中，教师再问：“是否还有其他方法求此数列的这的通项公式呢？”一石激起千层浪，学生再一次陷入思索之中。
四、反思发散 在研究等和数列的通项公式过程中，类比等差数列与等比数列递推公式的特征，让学生探索“是否能通过构造一个与na 有关的新数列，使其具有等差数列或等比数列的递推公式形式进行求解”。
学生可能的思路有以下两种：
方法二： ) 1 ( 1311n na aa，即数列 } 1 { na 是以 2 为首项， 1 为公比的等比数列，1) 1 ( 2 1 nna ，所以 N n ann , 1 ) 1 ( 21。
方法三：
) 2 () (31 11 na a a aan n n n，即数列 } {1 n na a 是以 4 为首项， 1 为公比的等比数列，11) 1 ( 4 nn na a ，所以 N n ann , 1 ) 1 ( 21。
例 2、已知数列 } {nb 满足 2311n nb bb，求数列 } {nb 的通项公式。（让学生类比例 1 完成）
学生根据前面的解题经验，可能会有以下几种思路方法：
方法一：利用归纳、猜测的方法得）
为偶数 （）
为奇数N n nN n nb n,32, ( 3 。
方 法 二 ：
由 2311n nb bb知 0 nb ， 所 以 有 2 lg ) lg(1 n nb b ， 即2 lg lg lg1 n nb b ，数列 } {lgnb 为等和数列，利用上面的方法求解。
方法三：由 21 n nb b 可知 ) 2 ( 21 n b bn n两式相比得 111nnbb，即1 1 n nb b ，所以 ) 2 (1 1 n b b b bn n n n，数列 } {nb 也是一个等和数列，利用上
面的方法求解。
思考：1、等积数列能转化为等和数列，那么这四种数列之间存在着怎样的转化关系？
2、你能举出几种在求解数列的通项公式中构造新数列的方法吗？ （由学生讨论、交流后教师归纳小结）
五、推广发展 对于等差数列与等和数列的递推公式都可以写成：
) 0 (1 q p c qa pan n的 形 式 ， 而 等 比 数 列 与 等 积 数 列 的 递 推 公 式 都 可 以 写 成 ：) 0 0 (1 d q p d b bqnpn，且 的形式。让学生思考此类数列的通项公式求解策略。
六、课堂小结 针对学生落实情况，在教师的引导下让学生通过自己的理解从以下几个方面进行小结：
（1）
知识上——由数列的递推公式求通项公式常用的方法； （2）
数学思想上——渗透了化归思想、特殊到一般思想、辨证统一的思想； （3）
能力上——许多知识可以将结论进行推广，常用的策略有类比推广、特殊到一般的推广等。
七、布置作业 （一）必做题
1、根据下列数列的递推公式求数列的通项公式， ①2 32111nnnaaaa；② n na aa113；③ nn na aa2211（多种方法）；
2、某地仅有两种不同牌号的洗衣粉供应，经调查发现凡是购买甲洗衣粉的人下一次会有 20%改买乙洗衣粉，而购买乙洗衣粉的人下一次会有 30%改买甲洗衣粉。若用na ，nb 分别表示第 n 次购买甲、乙洗衣粉的比例。设第一次购买时比例恰好相等，即 5 . 01 1 b a ，试求na 与nb 的通项公式，并指出当购买次数越来越多时，这两种牌号洗衣粉的市场占有率将发生什么变化。
（二）选做题 已知数列 } {na 中 11 a ， 22 a ，且 61 2 n n na a a ， （1）求2002a 的值，并求数列 } {na 的通项公式；
（2）说出数列 } {na 所具有的性质。
(3)若将 61 2 n n na a a 变为 61 2 n n na a a ，求出相应的结论，并对其作一推广。
11/11/20 12:49:41 AM
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