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三角证明题
2025-09-01人已围观
三角证明题
公式表达式
乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理
判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根
b2-4ac>0 注：方程有一个实根
b2-4ac
三角函数公式
两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：
其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角
正切定理:
[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c"*h
正棱锥侧面积 S=1/2c*h" 正棱台侧面积 S=1/2(c+c")h"
圆台侧面积 S=1/2(c+c")l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2
圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r
锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积 V=S"L 注：其中,S"是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h
-----------------------三角函数积化和差 和差化积公式
记不住就自己推，用两角和差的正余弦：
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:
相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2
相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2
sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:
相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2
相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2
这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了
不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下
正加正 正在前
正减正 余在前
余加余 都是余
余减余 没有余还负
正余正加 余正正减
余余余加 正正余减还负
.
3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)
(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC
(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1
(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC
(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1
......
已知sinα=m sin(α+2β), |m|
解:sinα=m sin(α+2β)
sin(a+β-β)=msin(a+β+β)
sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)
tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ
3．10 三角形中三角等式证明
1．三角形中的相关定理：勾股定理、正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理；
2．灵活进行边角较换，恒等式证明.【典型例题】
例1．在ΔABC中
ABC（1）求证：sinA + sinB + sinC=4coscoscos.
222（2）求证：sinA + sinB + sinC=4 sinAsinBsinC.例2．在ΔABC中
ABBCCA （1）求证：tantan?tantan?tantan?1.
222222ABC （2）求证：tan2?tan2?tan2?1.问什么情况下取等号.222B?CC?AA?B例3．在ΔABC中，求证sin(B + 2C) + sin(C + 2A)+sin(A + 2B)=4sinsinsin.
222ABC例4．已知A、B、C是锐角,求证:cosA + cosB + cosC=1+ 4sinsinsin的充要条件
222是A+B+C=π.【基础训练】
1．ΔABC中，cosA?3?3sinA,则A的值为
（
）
?2 A．
B．
C．
D．或
2263672．若三角形的一个内角α满足sinα+cosα=，则这个三角形一定是
（
）
12 A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形 D．以上三种情况都可能 3．在ΔABC中，∠A>∠B，是sinA > sinB的
（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即非充分又非必要条件 4．在ΔABC中，∠C=60°，则cosAcosB的取值范围是
（
）
11311 A．(?,]
B．[0,]
C．[?,]
D．以上都不对
244445．在ΔABC中，C=90°，则sin(A－B)+cos2A=___________.【拓展练习】
1．ΔABC中，下述表达式：
A?BCB?CA（1）sin(A+B)+sinC；
（2）cos(B+C)+cosA；
（3）tantan；
（4）coec2222表示常数的是
（
）
A．（1）和（2）
B．（1）和（3）
C．（2）和（3）
D．（2）和（4）
12．半径为1的圆内接三角形，三边长为a、b、c面积为，则下列结论成立的是
（
）
4 A．abc > 1
B．abc
C．abc=1
D．以上都不正确 3．设α、β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是
（
）
A．tanαtanβ1
1
B．sinα+sinβ
?1D．tan(?)?tan()
224．在ΔABC中，化简sin2B + sin2C－2cosAsinBsinC=_______________.ABCABC5．在ΔABC中，化简sin2?sin2?sin2?2sinsinsin?______________.2223226．在ΔABC中，化简cos4A+cos4B+cos4C－4cos2Acos2Bcos2C=______________.1?cosA?cosB?cosCBC7．在ΔABC中，求证：?tancot.
1?cosA?cosB?cosC222228．在ΔABC中，求证：（1）sinA + sinB + sinC=2 +2cosAcosBcosC.
（2）求证：cos2A + cos2B + cos2C=1－2cosAcosBcosC.
9．已知a + b + c=abc.求证：
2a1?a2?2b1?b2?2c1?c2?8abc(1?a)(1?b)(1?c)222.
10．在ΔABC中，若cos3A + cos3B + cos3C=1，求证：ΔABC中必有一个内角为120°.
x?yy?zz?x11．已知任意角x，y，z满足关系式cosx + cosy－cosz=4cos， sinxsin222试求x + y + z的值.
12．锐角ΔABC中，O、G分别为此三角形的外心和重心，若OG//AC，
求证：tanA、tanB、tanC成A、P. 2
一．解答题（共10小题） 1．已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．
2．如图，已知∠1+∠C=180°，∠B=∠C，试说明：AD∥BC．
3．已知：如图，若∠B=35°，∠CDF=145°，问AB与CE是否平
行，请说明理由．
分值：显示解析
4．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2．试说明DF∥AE．请
你完成下列填空，把解答过程补充完整．
解：∵CD⊥DA，DA⊥AB，
∴∠CDA=90°，∠DAB=90°．（）
∴∠CDA=∠DAB．（等量代换）
又∠1=∠2，
从而∠CDA-∠1=∠DAB-
．（等式的性质）
即∠3=
．
∴DF∥AE．（
7．如图，
∠B=55°，∠EAC=110°，AD平分∠EAC，AD与BC平行吗？
为什么？根据下面的解答过程，在括号内填空或填写理由．
解：∵AD平分∠EAC，∠EAC=110°（已知）
∴∠EAD=
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|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理
判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根
b2-4ac>0 注：方程有一个实根
b2-4ac
三角函数公式
两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：
其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角
正切定理:
[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c"*h
正棱锥侧面积 S=1/2c*h" 正棱台侧面积 S=1/2(c+c")h"
圆台侧面积 S=1/2(c+c")l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2
圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r
锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积 V=S"L 注：其中,S"是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h
-----------------------三角函数积化和差 和差化积公式
记不住就自己推，用两角和差的正余弦：
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:
相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2
相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2
sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:
相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2
相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2
这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了
不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下
正加正 正在前
正减正 余在前
余加余 都是余
余减余 没有余还负
正余正加 余正正减
余余余加 正正余减还负
.
3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)
(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC
(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1
(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC
(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1
......
已知sinα=m sin(α+2β), |m|
解:sinα=m sin(α+2β)
sin(a+β-β)=msin(a+β+β)
sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)
tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ
3．10 三角形中三角等式证明
1．三角形中的相关定理：勾股定理、正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理；
2．灵活进行边角较换，恒等式证明.【典型例题】
例1．在ΔABC中
ABC（1）求证：sinA + sinB + sinC=4coscoscos.
222（2）求证：sinA + sinB + sinC=4 sinAsinBsinC.例2．在ΔABC中
ABBCCA （1）求证：tantan?tantan?tantan?1.
222222ABC （2）求证：tan2?tan2?tan2?1.问什么情况下取等号.222B?CC?AA?B例3．在ΔABC中，求证sin(B + 2C) + sin(C + 2A)+sin(A + 2B)=4sinsinsin.
222ABC例4．已知A、B、C是锐角,求证:cosA + cosB + cosC=1+ 4sinsinsin的充要条件
222是A+B+C=π.【基础训练】
1．ΔABC中，cosA?3?3sinA,则A的值为
（
）
?2 A．
B．
C．
D．或
2263672．若三角形的一个内角α满足sinα+cosα=，则这个三角形一定是
（
）
12 A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形 D．以上三种情况都可能 3．在ΔABC中，∠A>∠B，是sinA > sinB的
（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即非充分又非必要条件 4．在ΔABC中，∠C=60°，则cosAcosB的取值范围是
（
）
11311 A．(?,]
B．[0,]
C．[?,]
D．以上都不对
244445．在ΔABC中，C=90°，则sin(A－B)+cos2A=___________.【拓展练习】
1．ΔABC中，下述表达式：
A?BCB?CA（1）sin(A+B)+sinC；
（2）cos(B+C)+cosA；
（3）tantan；
（4）coec2222表示常数的是
（
）
A．（1）和（2）
B．（1）和（3）
C．（2）和（3）
D．（2）和（4）
12．半径为1的圆内接三角形，三边长为a、b、c面积为，则下列结论成立的是
（
）
4 A．abc > 1
B．abc
C．abc=1
D．以上都不正确 3．设α、β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是
（
）
A．tanαtanβ1
1
B．sinα+sinβ
?1D．tan(?)?tan()
224．在ΔABC中，化简sin2B + sin2C－2cosAsinBsinC=_______________.ABCABC5．在ΔABC中，化简sin2?sin2?sin2?2sinsinsin?______________.2223226．在ΔABC中，化简cos4A+cos4B+cos4C－4cos2Acos2Bcos2C=______________.1?cosA?cosB?cosCBC7．在ΔABC中，求证：?tancot.
1?cosA?cosB?cosC222228．在ΔABC中，求证：（1）sinA + sinB + sinC=2 +2cosAcosBcosC.
（2）求证：cos2A + cos2B + cos2C=1－2cosAcosBcosC.
9．已知a + b + c=abc.求证：
2a1?a2?2b1?b2?2c1?c2?8abc(1?a)(1?b)(1?c)222.
10．在ΔABC中，若cos3A + cos3B + cos3C=1，求证：ΔABC中必有一个内角为120°.
x?yy?zz?x11．已知任意角x，y，z满足关系式cosx + cosy－cosz=4cos， sinxsin222试求x + y + z的值.
12．锐角ΔABC中，O、G分别为此三角形的外心和重心，若OG//AC，
求证：tanA、tanB、tanC成A、P. 2
一．解答题（共10小题） 1．已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．
2．如图，已知∠1+∠C=180°，∠B=∠C，试说明：AD∥BC．
3．已知：如图，若∠B=35°，∠CDF=145°，问AB与CE是否平
行，请说明理由．
分值：显示解析
4．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2．试说明DF∥AE．请
你完成下列填空，把解答过程补充完整．
解：∵CD⊥DA，DA⊥AB，
∴∠CDA=90°，∠DAB=90°．（）
∴∠CDA=∠DAB．（等量代换）
又∠1=∠2，
从而∠CDA-∠1=∠DAB-
．（等式的性质）
即∠3=
．
∴DF∥AE．（
7．如图，
∠B=55°，∠EAC=110°，AD平分∠EAC，AD与BC平行吗？
为什么？根据下面的解答过程，在括号内填空或填写理由．
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∴∠EAD=
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