摘要 本文从以直代曲的思想、导数的物理意义以及结合数学演绎法出发，对函数逼近理论进行探讨，从感性认识出发，进而的到理性的结论. 从而让读者加深用多项式来逼近函数的思想.
关键词 加加速度；广义直；以直代曲；函数逼近
中图分类号：G4
一、广义直
曲线的性态描述中，直线f（x）=kx+b是最容易理解的，在图象上表现为几何形态上是直的. 而其数学分析的意义却表现为f′（x）=k，即曲线上任意一点的增长率是恒定的，是均匀的，表现为某种常态. 如若视之为时间-位移问题，那么其表现为，速度是保持不变的，也通常被称为匀速运动，这也可以看成是一种常态，因为合力大小为0.
在经典物理力学中，还有一类直线运动：匀加速直线运动，其位移-时间函数为
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这之中也包含着一种均匀，即合力是恒定的，其数学分析意义在于s″（t）=a是常数. 在工程技术上，尤其是对动力系统的研究中，还会提及加加速度的概念. 而加加速度所描述的是单位时间内加速度的变化率，其应用价值也十分广泛.
定义1.1 加加速度[4] 在直线运动中，设质点的加速度方程为a（t），t∈U（t0），如果极限
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存在，那么记为，称j（t0）为质点在t=t0时刻的加加速度.
从数学分析的角度看加加速度，实则是位移-时间函数的三阶导数，即
或者，在任意时刻有形式.
引起加加速度的主要原因是合力随时间的变化而发生了变化. 如果质点在任意时刻的加加速度是恒定的，即三阶导函数是一常数. 说明在单位时间内，合力的变化也就是恒定的.
纵观以上所提及的概念，总可以看到"恒定、均匀"等描述的某种不变性，同时，在提及这类特性的时候，其数学分析的意义总也很清晰，即：函数的某阶导函数是常数，或
f（k）（t）=c这里k是非负整数，c≠0为某个常数.
正因为如此，本文将对此类问题进行凝练，给出关于直的广义定义.
定义1.2 如果函数y=f（t）在区间（a，b）内有定义，具有k导数，并且t∈（a，b）
f（k）（t）=c这里k是非负整数，c≠0为某个常数.
则称曲线y=f（t）在区间（a，b）内是k阶广义直的.
定理1 如果曲线y=f（t）在区间（a，b）内是k阶广义直的. 那么
y=f（t）=a0+a1t+a2t2+...+aktk.
其中，系数ak≠0. 即，k阶广义直的函数是一个k次多项式.
证明：由定义1.2，曲线y=f（t）在区间（a，b）内是k阶广义直的，那么
f（k）（t）=c这里k是非负整数，c≠0为某个常数.
该微分方程的通解为：（两边同时积分，进行k次即可）
y=f（t）=a0+a1t+a2t2+...+aktk.
其中系数，而系数an，n=0，1，2，...，k-1是任意常数.
推论1 除多项式外的一切初等函数都不是k阶广义直的.
证明：由反证法，立得结论.
广义直刻画了函数的某种属性，即某种变化率是恒定的. 换言之，它的某阶导函数是一个定值，影响其变化的某个因素是固定不变的，有种相对静止的状态. 从计算效果看，这种广义直的函数的相关计算是十分方便的，其所涉及的只有整数幂和加法、乘法结构.
从质点的直线运动看，具体来说：
0阶广义直，表明该质点呈静止状态；
1阶广义直，表明该质点作匀速直线运动，它受到外力为0；
2阶广义直，表明该质点作匀加速直线运动，它所受到的外力为恒定的（不等于0）.
3阶广义直，（假设在其他因素不变的情况下）表明该质点所受外力的变化率也是恒定的.
例 设质点的质量为m，受到外力大小为F（t）=kt（k>0为常数其量纲为M·L·S-3，方向恒定沿质点的运动方向）. 设初始时间为0，初始位移大小为0，初始速度大小为0. 则该质点的位移-时间函数为：
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二、微分学以直代曲思想[3]
微分学的精髓在于以直代曲这一思想的提出，从极限与导数定义出发，给出了一种对工程问题的近似计算方法.
设函数f（t）在t=t0处可微（可导），当|t-t0|很小时，有近似结果：
f（t）≈f（t0）+f′（t0）（t-t0）.
这里采用的是用直线方式（1阶广义直）的近似法来计算的. 从质点作直线运动的状态看，即，知道某处的速度，去了解之后的运动状态. 这种局限性是显然的，这同时也就意味着这样的近似效果是不佳的. 或者说，从中了解到的信息是不够的，如果能够进一步了解到，该质点的加速度呢，进一步也了解了加加速度呢...，那么信息量的增多，势必近似出来的效果也将更佳.
三、广义以直代曲
本段将提及广义以直代曲的思想. 显然，仅用直线方式去逼近函数，在很大程度上是不能满足实际要求的，这就要设计出更好的方案，以满足不同的需求.
广义以直代曲思想 设函数f（t）在t=t0处具有n阶导数且f（n）（t0）≠0，当|t-t0|很小时，可以利用近似结果：
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这里采用阶广义直函数作为逼近.
为了对上述结论提供更多的理论依据，本段将从结合高阶导数的物理意义和数学演绎法，得到本文中心思想，即广义意义下以直代曲思想.
首先，假定函数f（t）（已知的）在t=t0处具有n+1阶导数，认为f（t）是质点A的位移-时间函数，而广义直函数Pn（t）=a0+a1（t-t0）+a2（t-t0）2+...+an（t-t0）n（待定的，即系数是未知的）视为质点B的位移-时间函数，为了用Pn（t）来逼近函数f（t），那么，Pn（t）中所含的各项系数其次，为了更方便地去估计误差，这里给出泰勒中值定理.
定理2 （泰勒（Taylor）中值定理）[3] 如果函数f（t）在含有t0的某个开区间（a，b）内具有直到阶的导数，则对任一t∈（a，b）有
其中是位于与之间的某个值.
那么对于本文用以直代曲的思想，所得到的近似计算结果中，其误差分析也可以得到相应的结果[3]. 即.
显然，当t→t0时，余项是（t-t0）n的高阶无穷小. 因此，当很小时，可以利用近似结果：.
其误差不超过.
参考文献
[1]Adedigbo A. Fasanmade and Anthony F. Fell， Determination of chlorpromazine and its sulphoxide in pharmaceutical dosage forms by third-order derivative ultraviolet spectroscopy， Analyst， 1985，110， 1117-1124
[2]李艷会，王高雄，周之铭，朱思铭，等《常微分方程》（第三版），高等教育出版社
[3]同济大学数学系，《高等数学（上）》（第六版），高等教育出版社
[4]谭淑梅，杨景芳.质点运动的加加速度《高师理科学刊》2004年第02期 中国知网
[5]叶柏年，点的加加速度，力学与实践，1988， 10，51-53
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