鸡兔同笼
【学习内容】
人教版小学数学四年级下册第九单元第 103、104 页例 1 【课程标准描述】
结合实际情景，体验发现和提出问题、分析问题和解决问题的过程。感受针对具体问题提出设计思路、制定简单的方案解决问题的过程。
[ [ 学习目标] ]
1.由数量较小的鸡兔同笼问题，了解解决“鸡兔同笼”问题的方法一——列表法。
2.由数量较大的鸡兔同笼问题，理解解决“鸡兔同笼”问题的方法二——假设法。
3.由数学书上的“阅读资料”，探究解决“鸡兔同笼”问题的方法三——砍脚法。
4.会分析鸡兔同笼变式练习的数字特点和结构，灵活运用不同的解题方法。
【学习重点】
尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，体会用假设法和抬脚法解决问题的优越性。
【学习难点】
理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的算理。
【评价活动方案】
1．通过填写 113 页的表格，评价目标 1。
2．通过议一议、写一写、画一画、想一想等活动，评价目标 2。
3．通过“阅读资料”启发多角度思考，评价目标 3 。
【学习活动方案】
一、创设情境、激趣引入
1．游戏：数脚
一只鸡一只兔，两个头，六个足；
两只鸡两只兔，四个头，十二个足；
三只鸡三只兔，三个头，十八个足；
四只鸡四只兔，四个头，二十四个足……
2.介绍古书《孙子算经》中一道趣题
同学们数得很准确。原来在动物身上有许多数学信息是值得研究的数学问题。我们国家有着几千年的悠久文化，在我国古代更是产生了许多位数学家和许多部数学著作，《孙子算经》就是其中一部，大约产生于一千五百年前，书中记载着这样一道有名的数学趣题
（课件出示《孙子算经》中的原题）：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
你明白这道题的意思吗？
学生试着说一说题目：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有 35 个头，从下面数，有94 只脚。鸡和兔各有几只？
这就是著名的“鸡兔同笼”问题，也正是这节课要研究的问题。
（板书：鸡兔同笼）
二、 展开研究
引出问题：这道问题中的数据比较大，为了便于研究,我们把它改小一点好吗？
适时出示：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有 8 个头，从下面数有 26 只脚。鸡和兔各有几只？
思考一下：
从上面数，有 8 个头是什么意思？（指谁的头？）
从下面数，有 26 只脚是什么意思？问题是什么？这里还隐藏了什么条件？
（目的是引导学生说出鸡两只脚，兔四只脚。）
鸡和兔各有几只呢？我们不妨猜想看看。（随着学生的猜想板书）
刚才我们是随意猜的，其实我们还可以有顺序的猜。
列表法 （对应目标 1 1 ）
课件出示 113 页的表格 鸡 8 7 6
兔
脚
1.教师引导学生有序的思考，出示表格。
问题：怎样确定鸡和兔的只数？
确定猜想范围：鸡的只数最多 8 只，有 0 只兔。鸡的只数最少 0 只，有 8 只兔。
按规律填写，每一列都是依次少一只鸡多一只兔，所以填表后会发现正确的答案。
2.尝试。老师给每个同位也发了一张同样的表格，请同位两人先进行分工，再共同完成表格。
学生同桌合作，填表。
请同学们仔细观察，从表格中你能发现什么？把你的发现和同桌同学说一说。
4 种情况：
（1）鸡在减少，兔在增加。
（2）每减少一只鸡，增加一只兔，脚的总只数增加两只。
（3）每减少一只兔，增加一只鸡，脚的总只数减少两只。
（4）鸡和兔的总只数没有变。
3.学生汇报结果。得到正确答案：3 只鸡 5 只兔。
4.老师小结：这种依次尝试所有可能的方法就是列举法也叫列表法。
（板书：列表法）
5.导语：虽然列表法可以解决问题，但是数据较大时就会麻烦，我们有必要研究更快更便捷的解决方法。
假设法 （对应目标 2 2 ）
小组合作研究，教师巡视。
1.议一议：根据题中的信息，你们组打算怎样研究这个问题？
可以适当启发学生：“假设笼子里都是鸡或者都是兔，脚数会发生什么变化呢？” 2.画一画：用你们喜欢的图形画出问题,更加直观的记录解决问题过程。
假设全是 （提示：可以用
表示头，用
表示脚）
假设全是 （提示：可以用
表示头，用
表示脚）
先画出 8 个小圆圈就代表 8 只小动物，假设全是鸡，每只鸡有两只脚，这样就先画 16只脚，而题目中说共有 26 只脚，还少 10 只脚，用一只兔子换一只鸡可以多两只脚，用 5只兔子换 5 只鸡可以多 10 只脚。
3.写一写：用你们喜欢的方法解决问题,并在纸上记录解决问题的过程。
4.想一想：你们组还有其他解决问题的方法吗?如果有，请记录下来。
假设都是鸡时，8 个头一共有脚 2×8=16（只），脚数比实际少了 26-16=10（只），把一只兔看成一只鸡少 2 只脚，10÷2=5（只）那么 5 只兔看成鸡时会少 10 只脚。推算出有 5只兔 3 只鸡。
综合算式为：
兔的只数：（ 26 － 2×8 ）
÷ （4 4 －2 2 ）
= = （ 26 － 16 ）
÷2
= 10÷2
= 5 （只）
鸡的只数：8 8 － 5= 3 （只）
假设都是兔，8 个头一共有脚 4×8=32（只），脚数比实际多了 32-26=6（只），把一只鸡看成兔会多 2 只脚，6÷2=3（只）那么 3 只鸡看成兔会多 6 只脚呢？推算出有 3 只鸡，5 只兔。
综合算式为：
鸡的只数：（4×8－26）÷（4－2）
=（32－26）÷2
= 6÷2
= 3（只）
兔的只数：8－3=5（只）
4.小结：这两种方法一种假设的全是鸡，一种假设的全是兔。像这样的方法，我们可以称它“假设法”。
（板书：假设法）
三、方法延伸
砍脚法 （对应目标 3 3 ）
阅读数学书第 105 页“阅读资料”，了解古人是怎样解决“鸡兔同笼”问题的。
你能根据古人解决“鸡兔同笼”问题的抬脚法，想出其他的解决方法吗？
解法 1：把兔脚砍去一半，那么鸡脚和兔脚一样多，都有 2 条，8 个头就一共有脚2×8=16（只），其实一共有脚 26 只，由此可以知道一共砍去了 26—16 =10（只）脚，每一只兔被砍去了 4－2=2（条）脚，所以，兔一共有 10÷2=5（只），鸡有 8－5= 3（只）。
综合算式为：
兔的只数：（ 26 － 2×8 ）
÷ （4 4 －2 2 ）
= = （ 26 － 16 ）
÷2
= 10÷2
= 5 （只）
鸡的只数：8 8 － 5= 3 （只）
解法 2：把鸡脚全部砍去，那么只有兔有脚，8 个头全按兔腿算，一共有脚 4×8=32（条），其实一共只有 26 只脚，多算了 32－26=6（只）腿，每砍一只鸡就会多算 4－2=2（条）腿，所以一共有鸡 6÷2=3（只），有兔 8－3=5（只）。
综合算式为：
鸡的只数：（4×8－26）÷（4－2）
=（32－26）÷2
= 6÷2
= 3（只）
兔的只数：8－3=5（只）
解法 3：把每只鸡和每只兔一半的脚砍去，那么每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”，这样，“独腿鸡”和“双腿兔”的腿就有 26÷2=13（只）。这时的每只“鸡”有 1 头 1 脚，头和脚一样多；每只“兔”有 1 头 2 脚，脚的数量比头的数量多 1，所以“独脚鸡”和“双脚兔”的脚的数量与它们的头的数量之差，就是兔的只数，是 13－8=5（只），鸡的只数是 8－5=3（只）。
综合算式为：
兔的只数：26÷2－8
= 13－8
= 5（只）
鸡的只数：8－5=3（只）
解法 4：把每只鸡和每只兔砍去两只脚，那么每只鸡就变成了“无脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”，一共砍去脚 2×8=16（只），其实一共有脚 26 只，由此可以知道还剩下只是兔子的 26—16 =10（只）脚，所以，兔一共有 10÷2=5（只），鸡有 8－5= 3（只）。
综合算式为：
兔的只数：（ 26 － 2×8 ）
÷ （4 4 －2 2 ）
= = （ 26 － 16 ）
÷2
= 10÷2
= 5 （只）
鸡的只数：8 8 － 5= 3 （只）
四、 小结
比较这些不同的方法，你比较喜欢哪种方法？能说说你的理由吗？
回顾研究鸡兔同笼问题解决方法的过程：
猜测
乱、不科学
有序的思考
列表法。
数据较大不适用
寻找更简捷的一般方法
假设法。
解题方法不唯一
从不同角度思考
砍脚法。
（板书重点）
五、学以致用
1.用自己喜欢的方法解决《孙子算经》中鸡兔同笼的原题。
（评价目标 2 2 、3 3 ）
今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
2.生活中的数学 （评价目标 2 2 、3 3 ）
其实我们的鸡兔同笼问题不仅包括 4 只脚的兔子，还可以是 5 只脚的怪兔。生活中类似于鸡兔同笼的问题有很多，这些问题都可以用不同的数学方法来解决，下面就让我们带上一双“数学的眼睛”到我们身边去看一看。
（1）小明的储蓄罐里有 1 角和 5 角的硬币共 7 枚，价值 1.9 元。问 1 角和 5 角的硬币各几枚？
（2）44 名学生去划船，一共乘坐 10 只船。其中大船坐 6 人，小船坐 4 人。问大船小船各几只？
（3）鸡兔同笼，共有 70 只眼睛，94 个爪子，问谁多，多几只？
3.古代趣题 （评价目标 2 2 、3 3 ）
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？
4.勇攀高峰：
（评价目标 2 2 、3 3 ）
（鬼子和狗）
一队鬼子一队狗，
二队并着一队走，
数头共有三百六，
数腿一共八百九，
多少鬼子多少狗？ 五、课堂延伸通过本课的学习，你有什么收获？你有什么体会？
生 1：知道了数学是一门古老的学科，我们的祖先能用浅显的数学知识解决一些实际问题，说明他们勤劳而聪明……在我国悠久的历史中，数学在古代曾文明于世界，作为炎黄子孙应感到骄傲，也激发我们为祖国的日益强大而努力学习。
生 2：掌握列方程组解古代数学问题时的一般步骤和方法。
师：同学们，这节课我们研究了鸡兔同笼问题，大家积极动脑、大胆发言，用不同方法解答了同一个问题，表现得非常的优秀 数学学习是很有意义的，只要有一双数学的慧眼，你就会发现在我们的身边有很多类似的鸡兔同笼问题。回家后，同学们可以找一找生活中的这些鸡兔同笼问题，并用今天学习的方法来探究解决。
【学习目标检测】
方法延伸——砍脚法 （评价目标 3 3 ）
阅读数学书第 105 页“阅读资料”，运用抬脚法（砍脚法）列式解答 这节课上完后，自我感觉不够理想，有些设计不够好，更有一些细节未加重视，还有就是教师的基本功太弱。但在设计上还是有一定优势的，主要体现在以下几点：
一、在 课始，我开门见山的引出本节课要研究的主题 “ 鸡兔同笼 ” 问题；然后以一个数据比较小的鸡兔同笼问题，来引导学生，经历列表法，探讨假设法和方程法等多种解题策略和方法，并加以多媒体课件的展示，帮助学生比较直观形象的理解解题方法，从而更好的突出本节课的重点。
二、由于 “ 鸡兔同笼 ” 问题在小学五年级时出现过，也有小部分学生可能在数奥书上见过，会做。大部分学生不是很会做，因此在备课时我充分考虑到这个情况，所以在教学本课的重难点用假设法解答 “ 鸡兔同笼 ” 问题的第一部分假设全是鸡时以老师引导进学生行分析，加以课件演示，帮助学生理 解这种方法。然后学习假设全是兔时，以学生根据刚才的学习和理解自己独立完成并说明对每步理解，再加以课件演示。通过这两步的学习，大部分学生应该基本能利用假设法来解答 “ 鸡兔同笼 ” 问题。在此基础上教学方程法，主要教给学生找等量关系式，列方程从而让大部分学生能用方程法解决＂鸡兔同笼＂问题。估计教学时间有些问题。根据教学实际情况进行调整。
三、在这节课上我没有讲古人用的 “ 抬脚法 ” 的方法。这主要是依据学生的接受能力和时间上的考虑，本来这节课讲的方法就很多，特别是假设法学生理解就有困难，再将 “ 抬脚法 ” 讲了，可能学生消化不 了，以其都没弄清楚，还不如分成两节课来讲，别外就是时间问题，如果把 “ 抬脚法 ” 讲了，可能学生练习的时间就少了，没办法有效的进行课堂巩固。因此，这节课我没有讲古人用的 “ 抬脚法 ” 。
四、我认为本节课的重难点都应该是在用假设法来解决 “ 鸡兔同笼 ” 问题上，在这部分的设计上，我看了很多资料和课例。都用 说得较为简单，并有不同的说法。在假设全部都是鸡这里，用 26- -0 16=10 条腿，这里应该说是 “多 多 0 10 条腿 ” 还是 “少 少 0 10 条腿 ” 呢，教材上只是简单的说 “ 这样就多出了 0 10 只脚 ” ，通过我和我们年级组其他教师的讨论，并看了很多教案和课例，我 觉得以假设后的腿与实际比学生较容易理解，当说到这个问题时可以直接说 “了 比实际少了 0 10 条腿，为什么少呢？是把兔当成鸡算了， ” 这里是把兔假设成了鸡，肯定应该是少算 0 10 条腿。如果说成 “多 多 10条腿，为什么多呢？ ” 就不好给学生解释了。这样也便于同前面的把一只兔当成一只鸡算就少 2 2 条腿联系起来。
本节课欠缺的地方：
一、在列表观察腿数变化时，在全是兔或全是鸡时，腿与实际相比为什么会有这样的变化，学生似乎不能很好的说出。反思了下，也是我设计时的一个弊端，没有给学生一个阶梯，跳跃太大，导致后面学生对为什么除以 2 2 一知半解
学以致用——用自己喜欢的方法解决《孙子算经》中鸡兔同笼的原题。标 （评价目标 2 2 、3 3）
今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
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