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证明平行四边形
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证明平行四边形
1、已知:如图BD是平行四边形ABCD的对角线，E、F在BD上，且BE=DF．求证:四边形AECF是平行四边形．
2、已知：如图，ABCD中，AC是对角线，AE=CF，AM=CN.求证：MFNE是平行四边形
.3、已知：如图，四边形ACED是平行四边形，B是EC延长线上一点，且BC=CE，求证：四边形ABCD是平形四边形．
4、已知：如图，平形四边形ABCD中，AC是对角线，E，F是AC上的点，且AE=CF，点M、N在AB、CD上，且AM=CN，求证：MFNE是平行四边形．
5、已知:如图DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC，
求证:四边形ABCD是平行四边形．
6.在□ABCD中，点M、N在对角线AC上，且AM=CN，四边形BMDN是平行四边形吗？为什么？
7.如图，□ABCD中，E、F分别在BA、DC的延长线上，且AE=AB，CF=CD，AF和CE的关系如何？说明理由
.
121
28.如图，D、E是△ABC的边AB和AC中点，延长DE到F，使EF=DE，连结CF.四边形BCFD是平行四边形吗？为什么？
9、.如图，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明理由
.10.如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么？
11、如图，BD是ABCD的对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，求证：四边形AECF为平行四边形.12、如图，在ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、BL=DN，则四边形KLMN为平行四边形吗？
14、已知如图：在ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，则线段AC与EF是否互相平分？说明理由
.
证明
（三）平行四边形导纲
一、引入：
平行四边形的定义：
A
平行四边形定义的应用：B⑴∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是⑵∵四边形ABCD是平行四边形 ∴
二、自主探究：
证明：平行四边形的对边相等，对角相等。已知：
□ABCD（如图）
求证:AB=CD,BC=DA;∠B=∠D,∠BAD=∠DCB 证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴
D
AB
D
三、性质应用：
1 .在□ABCD中，已知∠A=32。，求其余三个角的度数 解：∵四边形ABCD是平行四边形∴
D
2.已知在□ ABCD中AB=6cm,BC=4cm,求□ ABCD 的周长。解：∵四边形ABCD是平行四边形∴
3.连结AC，已知□ABCD的周长等于20 cm， AC=7 cm，求△ABC的周长。
C
B
A
四、小组合作探究：
证明：平行四边形的对角线互相平分
五．总结性质：
A D
D
B
C
六、巩固练习：
1.已知O是□ ABCD的对角线交点，AC=10cm，BD=18cm
，AD=?12cm，则△BOC?的周长是_______
2.如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于O点，且AB≠BC，过O点作OE⊥AC，交BC于E，如果△ABE的周长为b，则平行四边形ABCD的周长是（）。
A.b B.1.5bC.2bD.3b
AD
BEC
七、学以致用：
证明:夹在两条平行线间的平行线段相等。
八、巩固练习：
1、已知：如图平行四边形ABCD，E,F是直线BD上的两点，且∠E=∠F。求证：AE=CFC
2、已知：如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O,过点O的直线与AD,BC分别相交
于点E,F.D 求证:OE=OF.B
F
九、自我检测：
1.在□ABCD中，∠A=50 ?，则∠°
2.如果□ABCD中，∠A+∠C=240°，则∠°
3.如果□ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么，cm， cm，．
3、已知:如图,AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,
求证:AE=CF.B
十、能力提高：
4、已知:在□ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AF=CE.
D
线段BE与DF之间有什么关系?请证明你的结论.
A
若去掉题设中的AF=CE,请添加一个条件使BE与DF有以上同样的性质.B
证明平行四边形
如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。已知∠BAC=30o，EF⊥AB，垂足为F，连结DF。
求证：四边形ADFE是平行四边形。
设BC=a,则依题意可得：AB=2a,AC=√3a,
等边△ABE,EF⊥AB=>AF=1/2AB=a,AE=2a,EF=√3a
∵∠DAF=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°,AD=AC=√3a,∴DF=√(AD2+AF2)=2a
∴AE=DF=2a,EF=AD=√3a=>四边形ADFE是平行四边形
1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4、对角线互相平分的四边形是平行四边形
21.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。)(第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形)编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)(6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。(7)对称中心是两对角线的交点。
性质9(8)矩形菱形是轴对称图形。(9)平行四边形ABCD中(如图)E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。*注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形。(10)平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。(11)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。(12)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。(13)平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。(14)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。编辑本段平行四边形中常用辅助线的添法
一、连接对角线或平移对角线。
二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。
三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。
四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。
五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。编辑本段面积与周长
1、(1)平行四边形的面积公式：底×高(推导方法如图);如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边=ah(2)平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值;如用“a”“b”表示两组邻边长，@表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=ab*sin@
2、平行四边形周长可以二乘(底1+底2);如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b)底×1X高
平行四边形证明练习题
一．解答题
1．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．
2．在?ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：AE=CF．
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC．AD上的点，∠1=∠2 求证：△ABE≌△CDF．
4．如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于F点．求证：BC=DF．
5．如图，在?ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论．
6．已知：如图，?ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．求证：△ABE≌△CDF．
.7．如图，已知在?ABCD中，过AC中点的直线交CD，AB于点E，F．求证：DE=BF．
8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AE．四边形AECD是平行四边形吗？为什么？
9．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：DE=BF．
10．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F，AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
11．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF． 求证：四边形AFBD是平行四边形．
12．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，AD+DC=BC． 求证：（1）DE=DC；
（2）△DEC是等边三角形．
13．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF． 求证：（1）△ADF≌△CBE；
;.
.（2）连接DE、BF，试判断四边形DEBF的形状，并说明理由．
14．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF． 求证：四边形EFGH是平行四边形．
15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF． （1）猜想探究：BE与DF之间的关系：
_________
（2）请证明你的猜想．
16．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：∠1=∠2．
17．如图，已知E，F分别是?ABCD的边AB，CD的中点．求证：ED=BF．
18．如图，BD是?ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：四边形DEBF为平行四边形．
19．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，证明：四边形BFDE是平行四边形．
;.
.
20．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，为什么？说明理由．
21．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点． 求证：EF=DG且EF∥DG．
22．已知如图所示，?ABCD的对角线AC、BD交于O，GH过点O，分别交AD、BC于G、H，E、F在AC上且AE=CF，求证：四边形EHFG是平行四边形．
;.
.
平行四边形证明练习题
参考答案与试题解析
一．解答题（共22小题）
1．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．
考点：
平行四边形的性质；
平行线的性质；
全等三角形的判定与性质．
分析：
根据平行四边形性质求出AD∥BC，且AD=BC，推出∠ADE=∠CBF，求出DE=BF，证△ADE≌△CBF，推出∠DAE=∠BCF即可．
解答：
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC， ∴∠ADE=∠CBF
又∵BE=DF， ∴BF=DE，
∵在△ADE和△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF， ∴∠DAE=∠BCF．
点评：
本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出证出△ADE和△CBF全等的三个条件，主要考查学生的推理能力．
2．在?ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：AE=CF．
考点：
平行四边形的性质；
全等三角形的判定与性质．
分析：
根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，根据SAS证出△ABE≌△CDF即可推出答案． 解答：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D， ∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF， ∴AE=CF．
点评：
本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质证出△ABE≌△CDF是证此题的关键．
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC．AD上的点，∠1=∠2 ;.
.求证：△ABE≌△CDF．
考点：
平行四边形的性质；
全等三角形的判定．
分析：
利用平行四边形的性质和题目提供的相等的角可以为证明三角形全等提供足够的条件． 解答：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，
∴在：△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）
点评：
本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，根据平行四边形找到证明全等三角形足够的条件是解决本题的关键．
4．如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于F点．求证：BC=DF．
考点：
平行四边形的性质；
全等三角形的判定与性质．
分析：
由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，根据平行线的性质即可求得∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，又由E是CD边的中点，根据AAS即可求得△EBC≌△EFD，则问题得证．
解答：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EBC=∠F，∠C=∠EDF， 又∵EC=ED，
∴△EBC≌△EFD（AAS）， ∴BC=DF．
点评：
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
5．（2013?莒南县二模）如图，在?ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论．
考点：
平行四边形的性质；
全等三角形的判定与性质．
;.
.分析：
根据平行四边形的性质对角线互相平分得出OA=OC，OB=OD，利用中点的意义得出OE=OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE=DF，BE∥DF．
解答：
解：由题意得：BE=DF，BE∥DF．理由如下：
连接DE、BF．
∵ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD，
∵E，F分别是OA，OC的中点， ∴OE=OF，
∴BFDE是平行四边形， ∴BE=DF，BE∥DF．
点评：
本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．性质：①平行四边形两组对边分别平行；
②平行四边形的两组对边分别相等；
③平行四边形的两组对角分别相等；
④平行四边形的对角线互相平分．判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
6．已知：如图，?ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF． 求证：△ABE≌△CDF．
考点：
平行四边形的性质；
平行线的性质；
全等三角形的判定．
分析：
根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AB=CD，根据平行线的性质推出∠BAC=∠DCF，根据SAS证出即可．
解答：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD， ∴∠BAC=∠DCF， ∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF．
点评：
本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出证△ABE≌△CDF的三个条件是解此题的关键．
7．如图，已知在?ABCD中，过AC中点的直线交CD，AB于点E，F．求证：DE=BF．
考点：
平行四边形的性质；
平行线的性质；
全等三角形的判定与性质．
;.
.分析：
根据平行四边形的性质得到DC=AB，DC∥AB，根据平行线的性质得到∠ECA=∠BAC，∠CEO=∠AFO，能推出△AOF≌△COE，得到CE=AF，即可证出答案．
解答：
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DC=AB，DC∥AB，
∴∠ECA=∠BAC，∠CEO=∠AFO， ∵OA=OC，
∴△AOF≌△COE， ∴CE=AF， ∵DC=AB， ∴DE=BF．
点评：
本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，解此题的关键是根据平行四边形的性质证出△AOF和△COE全等．
8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AE．四边形AECD是平行四边形吗？为什么？
考点：
等腰梯形的性质；
平行线的判定与性质；
等腰三角形的性质；
平行四边形的判定．
分析：
根据等腰三角形性质求出∠B=∠C，根据等腰三角形性质推出∠AEC=∠B=∠C，推出AE∥CD，根据平行四边形的判定推出即可．
解答：
解：是平行四边形，
理由：∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC， ∴AB=DC，∠B=∠C， ∵AB=AE， ∴∠AEB=∠B， ∴∠AEB=∠C， ∴AE∥DC， 又∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质，等腰梯形的性质，平行线的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的应用，关键是根据题意推出AE∥CD，培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目较好，综合性比较强．
9．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：DE=BF．
考点：
平行四边形的性质；
全等三角形的判定与性质；
平行四边形的判定．
分析：
连接BE，DF，BD，BD交AC于O，根据平行四边形性质求出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，根据平行四边形的判定推出四边形BEDF是平行四边形即可．
解答：
证明：连接BE，DF，BD，BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OD=OB，
;.
.∵AE=CF， ∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形， ∴DE=BF．
点评：
本题考查了平行四边形的性质和判定等应用，关键是能熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理，此题的证明方法二是证△AED≌△CFB，推出DE=BF．
10．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F，AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
考点：
平行四边形的判定；
平行线的性质；
全等三角形的判定与性质．
分析：
求出∠AED=∠CFB=90°，根据HL证Rt△AED≌Rt△CFB，推出∠ADE=∠CBD，得到AD∥BC，根据平行四边形的判定判断即可．
解答：
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°， 在Rt△AED和Rt△CFB中
，
∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL）， ∴∠ADE=∠CBD， ∴AD∥BC， ∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
点评：
本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出AD∥BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
11．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF． 求证：四边形AFBD是平行四边形．
考点：
平行四边形的判定；
全等三角形的判定与性质． 专题：
证明题．
分析：
求出AE=DE，∠AFE=∠DCE，证△AEF≌△CED，推出AF=DC，得出AF∥BD，AF=BD，根据平行四边形的判定推出即可．
;.
.解答：
证明：∵E为AD中点，
∴AE=DE， ∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE， 在△AEF和△CED中
∵，
∴△AEF≌△CED（AAS）， ∴AF=DC，
∵AD是△ABC的中线， ∴BD=DC， ∴AF=BD，
即AF∥BD，AF=BD，
故四边形AFBD是平行四边形．
点评：
本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，关键是推出AF=DC=BD．
12．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，AD+DC=BC． 求证：（1）DE=DC；
（2）△DEC是等边三角形．
考点：
等腰梯形的性质；
等边三角形的判定；
平行四边形的判定与性质． 分析：
（1）证出平行四边形ABED，推出DE=AB，即可推出答案；
（2）根据BE=AD，AD+DC=BC，BE+EC=BC，推出DC=EC即可证出答案．
解答：
证明：（1）∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形， ∴DE=AB， ∵AB=DC， ∴DE=DC．
（2）证明：∵BE=AD，AD+DC=BC，BE+EC=BC， ∴DC=EC，
由（1）知：DE=DC， ∴DE=DC=EC，
∴△DEC是等边三角形．
点评：
本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的判定等知识点的理解和掌握，证出平行四边形ABED和DC=EC是解此题的关键．
13．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF． 求证：（1）△ADF≌△CBE；
（2）连接DE、BF，试判断四边形DEBF的形状，并说明理由．
;.
.
考点：
平行四边形的判定与性质；
全等三角形的判定与性质． 分析：
（1）根据平行四边形的性质对边平行且相等得到AD与BC平行且相等，由AD与BC平行得到内错角∠DAF与∠BCA相等，再由已知的AE=CF，根据“SAS”得到△ADF与△CBE全等；
（2）由（1）证出的全等，根据全等三角形的性质得到DF与EB相等且∠DFA与∠BEC相等，由内错角相等两直线平行得到DF与BE平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得到四边形DEBF的形状．
解答：
证明：（1）∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC（1分） ∴∠DAF=∠BCA（2分），∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE（3分） ∴△ADF≌△CBE（4分）
（2）四边形DEBF是平行四边形（5分） ∵△ADF≌△CBE，
∴∠DFA=∠BEC，DF=BE， ∴DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形（6分）
点评：
本题综合考查了全等三角形的判断与性质，以及平行四边形的判断与性质．其中第2问是一道先试验猜想，再探索证明的新型题，其目的是考查学生提出问题，解决问题的能力，这类几何试题将成为今后中考的热点试题．
14．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF． 求证：四边形EFGH是平行四边形．
考点：
平行四边形的判定与性质；
全等三角形的判定与性质．
分析：
易证得△AEH≌△CGF，从而证得对应边BE=DG、DH=BF．故有△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．
解答：
证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C（平行四边形的对边相等）；
又∵AE=CG，AH=CF（已知）， ∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH=GF（全等三角形的对应边相等）；
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等）， ∴AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF， 即BE=DG，DH=BF．
又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D， ∴△BEF≌△DGH；
∴GH=EF（全等三角形的对应边相等）；
∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
点评：
本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用;.
.时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF． （1）猜想探究：BE与DF之间的关系：
平行且相等
（2）请证明你的猜想．
考点：
平行四边形的判定与性质． 分析：
（1）BE平行且等于DF；
（2）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF即可．
解答：
（1）解：BE和DF的关系是：BE=DF，BE∥DF，
故答案为：平行且相等．
（2）证明：连接BD交AC于O， ∵ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵AE=CF， ∴OE=OF，
∴BFDE是平行四边形， ∴BE=DF，BE∥DF．
点评：
本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，主要检查学生能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．
16．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：∠1=∠2．
考点：
平行四边形的判定与性质；
全等三角形的判定与性质．
分析：
由三角形全等（△ABE≌△CDF）得到BE=DF，所以四边形BFDE是平行四边形，根据对角相等即可得证． 解答：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AB=CD，AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等）， ∴∠BAE=∠DCF（两直线平行，内错角相等）；
;.
.∵BE∥DF（已知），
∴∠BEF=∠DFE（两直线平行，内错角相等）， ∴∠AEB=∠CFD（等量代换）， ∴△ABE≌△CDF（AAS）；
∴BE=DF（全等三角形的对应边相等）， ∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴∠1=∠2（平行四边形的对角相等）．
点评：
本题主要考查平行四边形的性质和三角形全等的判定，需要熟练掌握并灵活运用．平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形．
17．如图，已知E，F分别是?ABCD的边AB，CD的中点．求证：ED=BF．
考点：
平行四边形的判定与性质． 分析：
根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，根据线段的中点的定义得到EB=AB，DF=CD，即BE=DF，BE∥DF，得到平行四边形EBFD，根据平行四边形的性质即可得到答案．
解答：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E，F分别是?ABCD的边AB，CD的中点，
∴EB=AB，DF=CD，
∴BE=DF， ∵BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形， ∴ED=BF．
点评：
本题主要考查对平行四边形的性质和判定的理解和掌握，能灵活运用平行四边形的性质和判定进行证明是解此题的关键．
18．如图，BD是?ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：四边形DEBF为平行四边形．
考点：
平行四边形的判定与性质；
角平分线的定义．
分析：
根据平行四边形性质和角平分线定义求出∠FDB=∠EBD，推出DF∥BE，根据平行四边形的判定判断即可． 解答：
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠CDB=∠ABD，
∵DF平分∠CDB，BE平分∠ABD，
∴∠FDB=∠CDB，∠EBD=∠ABD，
;.
.∴∠FDB=∠EBD， ∴DF∥BE，
∵AD∥BC，即ED∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
点评：
本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质和判定等的应用，关键是推出DF∥BE，主要检查学生能否运用定理进行推理，题型较好，难度适中．
19．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，证明：四边形BFDE是平行四边形．
考点：
平行四边形的判定与性质；
全等三角形的判定与性质．
分析：
利用“平行四边形的对角线互相平分”的性质推知OA=OC，OB=OD；
然后由已知条件“点E、F分别为AO、OC的中点”可以证得OE=OF；
最后根据平行四边形的判定定理“对角线相互平分的四边形为平行四边形”即可证得结论．
解答：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）． 又∵点E、F分别为AO、OC的中点， ∴OE=OF．
∴四边形BFDE是平行四边形（对角线相互平分的四边形为平行四边形）．
点评：
本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
20．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，为什么？说明理由．
考点：
全等三角形的判定与性质；
垂线；
直角三角形全等的判定；
平行四边形的判定与性质．
分析：
求出∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，推出AF=CE，连接BE、DF，根据HL证Rt△ABF≌Rt△CDE，推出DE=BF，得出平行四边形DEBF，根据平行四边形的性质推出即可．
解答：
解：BD平分EF，理由是：
证法一、连接BE、DF． ∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF， ∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF， 即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中
;.
.，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE， ∴DE=BF， ∵DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形， ∴BD平分EF；
证法二、∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF， ∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF， 即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE， ∴DE=BF，
∵在△BFG和△DEG中
，
∴△BFG≌△DEG（AAS）， ∴EG=FG，
即BD平分EF．
点评：
本题考查了平行四边形的性质和判定，垂线，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，关键是得出平行四边形DEBF，题目比较好，难度适中．
21．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点． 求证：EF=DG且EF∥DG．
考点：
三角形中位线定理；
三角形的角平分线、中线和高；
平行四边形的判定与性质． 分析：
根据三角形的中位线推出DE∥BC，DE=BC，GF∥BC，GF=BC，推出GF=DE，GF∥DE，得出平行四边形DEFG，根据平行四边形的性推出即可．
;.
.解答：
证明：∵BD、CE是△ABC的中线，
∴DE∥BC，DE=BC， 同理：GF∥BC，GF=BC，
∴GF=DE，GF∥DE，
∴四边形DEFG是平行四边形， ∴EF=DG，EF∥DG．
点评：
本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的中位线，三角形的中线等知识点，主要检查学生能否熟练的运用性质进行推理，题目比较典型，难度适中，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力．
22．已知如图所示，?ABCD的对角线AC、BD交于O，GH过点O，分别交AD、BC于G、H，E、F在AC上且AE=CF，求证：四边形EHFG是平行四边形．
考点：
平行四边形的判定与性质．
分析：
根据平行四边形性质得出OA=OC，AD∥BC，推出OE=OF，∠GAO=∠HCO，∠AGO=∠CHO，根据AAS证△AGO≌△CHO，推出OG=OH，根据平行四边形的判定推出即可．
解答：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC， ∵AE=CF， ∴OE=OF， ∵AD∥BC，
∴∠GAO=∠HCO，∠AGO=∠CHO， 在△AGO和△CHO中
，
∴△AGO≌△CHO（AAS）， ∴OG=OH， ∵OE=OF，
∴四边形EHFG是平行四边形．
点评：
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的性质和判定等知识点，注意：平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
;.
怎么证明平行四边形在平行四边形ABCD中，AE，CF，分别是∠DAB、∠BCD的平分线，E、F点分别在DC、AB上，求证：四边形AFCE是平行四边形 证明：∵四边形ABCD为平行四边形; ∴DC‖AB; ∴∠EAF=∠DEA ∵AE，CF，分别是∠DAB、∠BCD的平分线; ∴∠DAE=∠EAF;∠ECF=∠BCF; ∴∠EAF=∠CFB; ∴AE‖CF; ∵EC‖AF ∴四边形AFCE是平行四边形
1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形 2 1.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; (3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形; (4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 (5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形 (注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。) (第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形) 编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。) (1)平行四边形对边平行且相等。
(2)平行四边形两条对角线互相平分。
(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。
(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论) (5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形) (6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
(7)对称中心是两对角线的交点。
怎么证明平行四边形
第一篇：怎么证明平行四边形
怎么证明平行四边形在平行四边形abcd中，ae，cf，分别是∠dab、∠bcd的平分线，e、f点分别在dc、ab上，求证：四边形afce是平行四边形
证明：∵四边形abcd为平行四边形; ∴dc‖ab; ∴∠eaf=∠dea ∵ae，cf，分别是∠dab、∠bcd的平分线; ∴∠dae=∠eaf;∠ecf=∠bcf; ∴∠eaf=∠cfb; ∴ae‖cf; ∵ec‖af
∴四边形afce是平行四边形
1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形 2 1.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。)(第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形)编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)(6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。(7)对称中心是两对角线的交点。
1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形 第二篇：证明平行四边形
证明平行四边形如图，分别以rt△abc的直角边ac及斜边ab向外作等边△acd、等边△abe。已知∠bac=30o，ef⊥ab，垂足为f，连结df。
求证：四边形adfe是平行四边形。
设bc=a,则依题意可得：ab=2a,ac=√3a, 等边△abe,ef⊥ab=>af=1/2ab=a,ae=2a,ef=√3a
∵∠daf=∠dac+∠cab=60°+30°=90°,ad=ac=√3a,∴df=√(ad2+af2)=2a ∴ae=df=2a,ef=ad=√3a=>四边形adfe是平行四边形
1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形 2 1.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。)(第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形)编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)(6)过平行四(收藏好 范 文，请便下次访问)边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。(7)对称中心是两对角线的交点。
性质9(8)矩形菱形是轴对称图形。(9)平行四边形abcd中(如图)e为ab的中点，则ac和de互相三等分，一般地，若e为ab上靠近a的n等分点，则ac和de互相(n+1)等分。*注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形。(10)平行四边形abcd中，ac、bd是平行四边形abcd的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。(11)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。(12)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。(13)平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。(14)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。编辑本段平行四边形中常用辅助线的添法一、连接对角线或平移对角线。二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。编辑本段面积与周长1、(1)平行四边形的面积公式：底×高(推导方法如图);如用“h”表示高，“a”表示底，“s”表示平行四边形面积，则s平行四边=ah(2)平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值;如用“a”“b”表示两组邻边长，@表示两边的夹角，“s”表示平行四边形的面积，则s平行四边形=ab*sin@2、平行四边形周长可以二乘(底1+底2);如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b)底×1x高 第三篇：证明平行四边形 证明（三）平行四边形导纲 一、引入：
平行四边形的定义：
a 平行四边形定义的应用：b⑴∵ab∥cd，ad∥bc ∴四边形abcd是⑵∵四边形abcd是平行四边形 ∴二、自主探究：
证明：平行四边形的对边相等，对角相等。已知：
□abcd（如图） 求证:ab=cd,bc=da;∠b=∠d,∠bad=∠dcb 证明：∵四边形abcd是平行四边形 ∴ d ab d 三、性质应用：
1 .在□abcd中，已知∠a=32。，求其余三个角的度数 解：∵四边形abcd是平行四边形∴ d 2.已知在□ abcd中ab=6cm,bc=4cm,求□ abcd 的周长。解：∵四边形abcd是平行四边形∴
3.连结ac，已知□abcd的周长等于20 cm， ac=7 cm，求△abc的周长。
c b a 四、小组合作探究：
证明：平行四边形的对角线互相平分 五．总结性质：
a d d b c 六、巩固练习：
1.已知o是□ abcd的对角线交点，ac=10cm，bd=18cm ，ad=?12cm，则△boc?的周长是_______ 2.如图所示，平行四边形abcd的对角线相交于o点，且ab≠bc，过o点作oe⊥ac，交bc于e，如果△abe的周长为b，则平行四边形abcd的周长是。
a.b b.1.5bc.2bd.3b ad bec 七、学以致用：
证明:夹在两条平行线间的平行线段相等。
八、巩固练习：
1、已知：如图平行四边形abcd，e,f是直线bd上的两点，且∠e=∠f。求证：ae=cfc 2、已知：如图，□abcd的对角线ac，bd相交于点o,过点o的直线与ad,bc分别相交 于点e,f.d 求证:oe=of.b f 九、自我检测：
1.在□abcd中，∠a=50 ?，则∠° 2.如果□abcd中，∠a+∠c=240°，则∠°
3.如果□abcd的周长为28cm，且ab：bc=2∶5，那么，cm， cm，． 3、已知:如图,ac,bd是□abcd的两条对角线,且ae⊥bd,cf⊥bd,垂足分别为e,f, 求证:ae=cf.b 十、能力提高：
4、已知:在□abcd中,点e,f在对角线ac上,且af=ce.d 线段be与df之间有什么关系?请证明你的结论.a 若去掉题设中的af=ce,请添加一个条件使be与df有以上同样的性质.b 第四篇：命题与证明 平行四边形 教案 《命题与证明》
1、定义（一般地，能清楚地规定某一名称或术语意义的句子叫做该名称或术语的定义）
2、命题（一般地，判断一件事情的句子叫做命题）命题是一个“判断句”，判断“是”或“非”．其中正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，如“对顶角相等”是真命题，“相等的角是对顶角”是假命题.注意：(1)命题是语句，而且必须是能判断正确和错误的句子． (2)错误的命题也是命题．
过直线外一点做一条直线与已知直线垂直。
过直线外一点做一条直线，要么与已知直线相交，要么与已知直线平行。
3、每个命题是由条件（题设）和结论（题断）两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常写成“如果……那么……”的形式．一般形式是“如果p，那么q”，其中用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论．（判断清楚哪些是条件，哪些是结论）
写成“如果，那么”的形式 ①在同一个三角形中 等角对等边 ②角平分线上的点到角两边的距离相等 ③同角的余角相等 3、公理、定理、推论
人们在长期实践中检验所得的真命题，并作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做公理．如“过两点有且只有一条直线”；
“两点之间，线段最短”等等．有些命题的正确性是通过推理证实的，并被选定作为判定其它命题真假的依据，这样的真命题叫定理．由公理、定理直接得出的真命题叫做推论． 如 三角形内角和定理三角形的内角和等于180°．
推论1 直角三角形的两锐角互余．
推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 推论3 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角． 4、证明真命题的方法 根据题设、定义、公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫证明.证明一个真命题一般按以下步骤进行：
（1）审题，分清命题的条件与结论.（2）画图，依题意画出图形，画图时应做到图形正确且具有一般性，切忌将图形特殊化.（3）写“已知”“求证”，按照图形，分析、探求解题思路，然后写出证明过程，证明的每一步都要做到叙述清楚，而且要有理有据.5、证明假命题的方法
证明一个命题是假命题，只需举一个“反例”即可，也就是举出一个符合命题的条件而不符合结论的例子.用反证证明下列命题是假命题 有一条边、两个角相等的两个三角形全等 任何三条线段都能组成三角形 6、重难点及归纳
①命题的理解：本节的一个难点是找出一个命题的题设和结论，它是后面证明中，书写已知求证的基础，对那些条件结论不明显的命题．应在学习中多练，必要时结合图形来区分．例如命题“如果两条直线和 第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，其中“两条直线和第三条直线平行”是条件，“这两条直线也平行”是结论．再如命题，“对顶角相等”，它的条件和结论不明显，应将它改成“如果两个角为对顶角，那么这两个角相等”，再指出条件和结论． ②定义、命题、公理和定理之间的联系与区别 这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据． ③证明真命题的方法和步骤，难点是分析证明思路，有条理地写出推理过程．
④三角形内角和定理的三个推论常用来求角的大小和进行角的比较． 7、证明的思路：
①从已知出发，推出可能的结果，并与要证明的结论比较，直至推出最后的结果。②从
要证明的结论出发，探索要使结论成立，需要什么条件，并与已知条件对照，直到找到所需要的并且是已知的条件。
探索证明：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60度 9、用反证法（证明的思路如何，苦李子的故事） 用反证法证明命题，一般有三个步骤：
反设 假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立） 归谬 推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾，或者与假设所推出的任何一个已知相矛盾） 结论 从而得出命题结论正确。
例如用反证法证明：
在同一个平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60度
例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行 已知：如图∠1＝∠2a1b 求证：ab∥cd 证明：设ab与cd不平行c2d 那么它们必相交，设交点为md 这时，∠1是△ghm的外角a1 ∴∠1＞∠2g这与已知条件相矛盾2 ∴ab与cd不平行的假设不能成立h ∴ab∥cdc 例2.求证两条直线相交只有一个交点
证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。
（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。
例3.已知：m2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数 例4.求证：2不是有理数 《平行四边形》 1、四边形的定义
2、定理：四边形的内角和等于360度 推论：四边形的外角和等于360度 n边形的内角和外角和（为什么） 正五边形能镶嵌平面吗（为什么） 单独和镶嵌平面的正多边形有哪几种？为什么只有这几种？ （2014浙江省，8，3分）如图，在五边形abcde中，∠bae=120°, ∠b=∠e=90°，ab=bc，ae=de，在bc，de上分别找一点m,n，使得△amn的周长最小时，则∠amn+∠anm的度数为（如何作辅助线，培养感觉）
a.100°b．110°c.120°d.130° 3、平行四边形的定义性质 定理：平行四边形的对角相等
定理1：平行四边形的两组对边分别相等。
推论1：夹在两条平行线间的平行线段相等。
推论1：夹在两条平行线间的垂线段相等。
定理2：平行四边形的对角线互相平分。
4、中心对称图形定义 对称中心
性质：对称中心平分两个对称点的线段。（在平面直角坐标系中，点（x，y）关于原点对称的点的坐标是多少？为什么？） 5、平行四边形的判定
①定义②定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形③定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
6、三角形的中位线定理（如何证明？） 7、逆命题与逆定理
两个命题，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
每个命题都有逆命题。每个定理都有逆命题。如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。
因此，每个命题有逆命题；
每个定理有逆命题，但不一定有逆定理。
1.（2014浙江金华，15，4分）如图，在□abcd中，ab＝3，ad＝4，∠abc＝60°，过bc的中点e作ef⊥ab，垂足为点f，与dc的延长线相交于点h，则△def的面积是 .3.（2014四川成都，20,10分） 如图，已知线段ab∥cd，ad与bc相交于点k，e是线段ad上一动点.5cd1 (1)若bk=2kc，求ab的值；
(2)连接be，若be平分∠abc，则当ae=2ad时，猜想线段ab、
bc、cd三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当ae=nad (n?2)，而其余条件不变时，线段ab、bc、cd三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明． 6、如图，已知△abc中，?abc?45， f是高ad和be的交点，cd?4，则线段df的长度为.a ．b． 4c ．d ． ? 第：命题与证明 平行四边形练习 典型例题剖析
例1、将下列各句改写成“如果……，那么……”的形式． （1）对顶角相等；
（2）等角的余角相等；
（3）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
（4）同旁内角互补，两直线平行；
分析：
省略掉词语的命题通常采取仔细分析，把省略掉的词语重新补上，或根据命题画出准确图形，再根据图形，把命题完整写出来，根据这些方法研究，我们便可着手改写了． 解：
（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
（2）如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等；
（3）如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；
（4）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；
例2、指出下列命题的条件部分和结论部分 （1）直角都相等；
（2）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；
（3）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；
（4）大于90°而小于180°的角是钝角；
（5）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角． 分析：
解答这类问题，必须弄清命题由哪两部分组成，进一步弄明白条件与结论所表示的意思．便可找出条件与结论．对省略掉词语的命题应先设法补上，再着手找题设与结论．命题的条件与结论不好用文字叙述时，要用符号写出条件和结论，但必须说明符号所表示的意义． 解：（1）条件：两个角都是直角；
结论：这两个角相等．
（2）条件：互为邻补角的两个角的两条平分线；
结论：这两条角平分线互相垂直．
（3）条件：直线外一点与直线上各点连结的所有线段；
结论：垂线段最短． （4）条件：90°＜∠ 结论：∠＜180°；
是钝角． （5）条件：两个角的和等于平角；
结论：这两个角互补．
例3、判断下列命题的真假，如果是假命题，请说明理由． （1）两点之间，线段最短．
（2）如果一个数的平方是9，那么这个数是3． （3）同旁内角互补．
（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． （5）如果a＋b=0，那么a=0，b=0． （6）两个锐角的和是锐角． 分析：
要判定一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例）即可．于是以上各题真假便眉目分明了． 解：
（1）真命题，这是关于线段的一个公理．
（2）假命题，因为一个数的平方是9，这个数也可能是－3． （3）假命题，任意二条直线被第三条直线所截，都有同旁内角产生，只有两条平行线被第三直线所截，才有同旁内角互补的结论． （4）假命题，如果这个点在已知直线上，就无法作出一条直线与已知直线平行．
（5）假命题，如果a=2，b=－2，2＋(－2)=0，但a＝2≠0，b=－2≠0． （6）假命题，如60°和50°的角都是锐角，但它们的和是钝角． 例4、区分下列语句中，哪些是定义，哪些是公理，哪些是定理：
（1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线；
（2）两点之间，线段最短；
（3）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；
（4）对顶角相等；
（5）垂线段最短． 分析：
只要理解定义，公理，定理的意义，便可一一区分谁是定义，谁是公理，谁是定理．
解：(1)、(2)是公理；
(3)是定义；
(4)、(5)是定理． 例5、完成以下证明，并在括号内填写理由：
已知：如图所示，∠1=∠2，∠a=∠3.求证：ac∥de.例6、如下图，∠acd是△abc的外角，be平分∠abc，ce平分∠acd，且be、ce交于点e ．求证：
．
例7、如图，ce是△abc的外角∠acm的平分线，ce交ba的延长线于点e，试说明∠bac＞∠b成立的理由 .例8、已知：如图ad为∠abc的角平分线 e为bc的中点过e作ef∥ ad，交ab于m，交ca延长线于f。
cn∥ ab交fe的延长线于n。
求证：
bm=cf 例9、求证：没有一个有理数的平方等于3 例10、求证：三角形的三条边的垂直平分线交于一点 例11、求证：等腰三角形的底角是锐角
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平行
证明
1、已知:如图BD是平行四边形ABCD的对角线，E、F在BD上，且BE=DF．求证:四边形AECF是平行四边形．
2、已知：如图，ABCD中，AC是对角线，AE=CF，AM=CN.求证：MFNE是平行四边形
.3、已知：如图，四边形ACED是平行四边形，B是EC延长线上一点，且BC=CE，求证：四边形ABCD是平形四边形．
4、已知：如图，平形四边形ABCD中，AC是对角线，E，F是AC上的点，且AE=CF，点M、N在AB、CD上，且AM=CN，求证：MFNE是平行四边形．
5、已知:如图DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC，
求证:四边形ABCD是平行四边形．
6.在□ABCD中，点M、N在对角线AC上，且AM=CN，四边形BMDN是平行四边形吗？为什么？
7.如图，□ABCD中，E、F分别在BA、DC的延长线上，且AE=AB，CF=CD，AF和CE的关系如何？说明理由
.
121
28.如图，D、E是△ABC的边AB和AC中点，延长DE到F，使EF=DE，连结CF.四边形BCFD是平行四边形吗？为什么？
9、.如图，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明理由
.10.如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么？
11、如图，BD是ABCD的对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，求证：四边形AECF为平行四边形.12、如图，在ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、BL=DN，则四边形KLMN为平行四边形吗？
14、已知如图：在ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，则线段AC与EF是否互相平分？说明理由
.
证明
（三）平行四边形导纲
一、引入：
平行四边形的定义：
A
平行四边形定义的应用：B⑴∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是⑵∵四边形ABCD是平行四边形 ∴
二、自主探究：
证明：平行四边形的对边相等，对角相等。已知：
□ABCD（如图）
求证:AB=CD,BC=DA;∠B=∠D,∠BAD=∠DCB 证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴
D
AB
D
三、性质应用：
1 .在□ABCD中，已知∠A=32。，求其余三个角的度数 解：∵四边形ABCD是平行四边形∴
D
2.已知在□ ABCD中AB=6cm,BC=4cm,求□ ABCD 的周长。解：∵四边形ABCD是平行四边形∴
3.连结AC，已知□ABCD的周长等于20 cm， AC=7 cm，求△ABC的周长。
C
B
A
四、小组合作探究：
证明：平行四边形的对角线互相平分
五．总结性质：
A D
D
B
C
六、巩固练习：
1.已知O是□ ABCD的对角线交点，AC=10cm，BD=18cm
，AD=?12cm，则△BOC?的周长是_______
2.如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于O点，且AB≠BC，过O点作OE⊥AC，交BC于E，如果△ABE的周长为b，则平行四边形ABCD的周长是（）。
A.b B.1.5bC.2bD.3b
AD
BEC
七、学以致用：
证明:夹在两条平行线间的平行线段相等。
八、巩固练习：
1、已知：如图平行四边形ABCD，E,F是直线BD上的两点，且∠E=∠F。求证：AE=CFC
2、已知：如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O,过点O的直线与AD,BC分别相交
于点E,F.D 求证:OE=OF.B
F
九、自我检测：
1.在□ABCD中，∠A=50 ?，则∠°
2.如果□ABCD中，∠A+∠C=240°，则∠°
3.如果□ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么，cm， cm，．
3、已知:如图,AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,
求证:AE=CF.B
十、能力提高：
4、已知:在□ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AF=CE.
D
线段BE与DF之间有什么关系?请证明你的结论.
A
若去掉题设中的AF=CE,请添加一个条件使BE与DF有以上同样的性质.B
证明平行四边形
如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。已知∠BAC=30o，EF⊥AB，垂足为F，连结DF。
求证：四边形ADFE是平行四边形。
设BC=a,则依题意可得：AB=2a,AC=√3a,
等边△ABE,EF⊥AB=>AF=1/2AB=a,AE=2a,EF=√3a
∵∠DAF=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°,AD=AC=√3a,∴DF=√(AD2+AF2)=2a
∴AE=DF=2a,EF=AD=√3a=>四边形ADFE是平行四边形
1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4、对角线互相平分的四边形是平行四边形
21.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。)(第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形)编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)(6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。(7)对称中心是两对角线的交点。
性质9(8)矩形菱形是轴对称图形。(9)平行四边形ABCD中(如图)E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。*注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形。(10)平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。(11)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。(12)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。(13)平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。(14)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。编辑本段平行四边形中常用辅助线的添法
一、连接对角线或平移对角线。
二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。
三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。
四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。
五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。编辑本段面积与周长
1、(1)平行四边形的面积公式：底×高(推导方法如图);如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边=ah(2)平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值;如用“a”“b”表示两组邻边长，@表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=ab*sin@
2、平行四边形周长可以二乘(底1+底2);如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b)底×1X高
平行四边形证明练习题
一．解答题
1．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．
2．在?ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：AE=CF．
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC．AD上的点，∠1=∠2 求证：△ABE≌△CDF．
4．如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于F点．求证：BC=DF．
5．如图，在?ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论．
6．已知：如图，?ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．求证：△ABE≌△CDF．
.7．如图，已知在?ABCD中，过AC中点的直线交CD，AB于点E，F．求证：DE=BF．
8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AE．四边形AECD是平行四边形吗？为什么？
9．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：DE=BF．
10．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F，AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
11．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF． 求证：四边形AFBD是平行四边形．
12．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，AD+DC=BC． 求证：（1）DE=DC；
（2）△DEC是等边三角形．
13．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF． 求证：（1）△ADF≌△CBE；
;.
.（2）连接DE、BF，试判断四边形DEBF的形状，并说明理由．
14．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF． 求证：四边形EFGH是平行四边形．
15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF． （1）猜想探究：BE与DF之间的关系：
_________
（2）请证明你的猜想．
16．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：∠1=∠2．
17．如图，已知E，F分别是?ABCD的边AB，CD的中点．求证：ED=BF．
18．如图，BD是?ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：四边形DEBF为平行四边形．
19．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，证明：四边形BFDE是平行四边形．
;.
.
20．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，为什么？说明理由．
21．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点． 求证：EF=DG且EF∥DG．
22．已知如图所示，?ABCD的对角线AC、BD交于O，GH过点O，分别交AD、BC于G、H，E、F在AC上且AE=CF，求证：四边形EHFG是平行四边形．
;.
.
平行四边形证明练习题
参考答案与试题解析
一．解答题（共22小题）
1．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．
考点：
平行四边形的性质；
平行线的性质；
全等三角形的判定与性质．
分析：
根据平行四边形性质求出AD∥BC，且AD=BC，推出∠ADE=∠CBF，求出DE=BF，证△ADE≌△CBF，推出∠DAE=∠BCF即可．
解答：
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC， ∴∠ADE=∠CBF
又∵BE=DF， ∴BF=DE，
∵在△ADE和△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF， ∴∠DAE=∠BCF．
点评：
本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出证出△ADE和△CBF全等的三个条件，主要考查学生的推理能力．
2．在?ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：AE=CF．
考点：
平行四边形的性质；
全等三角形的判定与性质．
分析：
根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，根据SAS证出△ABE≌△CDF即可推出答案． 解答：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D， ∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF， ∴AE=CF．
点评：
本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质证出△ABE≌△CDF是证此题的关键．
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC．AD上的点，∠1=∠2 ;.
.求证：△ABE≌△CDF．
考点：
平行四边形的性质；
全等三角形的判定．
分析：
利用平行四边形的性质和题目提供的相等的角可以为证明三角形全等提供足够的条件． 解答：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，
∴在：△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）
点评：
本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，根据平行四边形找到证明全等三角形足够的条件是解决本题的关键．
4．如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于F点．求证：BC=DF．
考点：
平行四边形的性质；
全等三角形的判定与性质．
分析：
由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，根据平行线的性质即可求得∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，又由E是CD边的中点，根据AAS即可求得△EBC≌△EFD，则问题得证．
解答：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EBC=∠F，∠C=∠EDF， 又∵EC=ED，
∴△EBC≌△EFD（AAS）， ∴BC=DF．
点评：
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
5．（2013?莒南县二模）如图，在?ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论．
考点：
平行四边形的性质；
全等三角形的判定与性质．
;.
.分析：
根据平行四边形的性质对角线互相平分得出OA=OC，OB=OD，利用中点的意义得出OE=OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE=DF，BE∥DF．
解答：
解：由题意得：BE=DF，BE∥DF．理由如下：
连接DE、BF．
∵ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD，
∵E，F分别是OA，OC的中点， ∴OE=OF，
∴BFDE是平行四边形， ∴BE=DF，BE∥DF．
点评：
本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．性质：①平行四边形两组对边分别平行；
②平行四边形的两组对边分别相等；
③平行四边形的两组对角分别相等；
④平行四边形的对角线互相平分．判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
6．已知：如图，?ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF． 求证：△ABE≌△CDF．
考点：
平行四边形的性质；
平行线的性质；
全等三角形的判定．
分析：
根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AB=CD，根据平行线的性质推出∠BAC=∠DCF，根据SAS证出即可．
解答：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD， ∴∠BAC=∠DCF， ∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF．
点评：
本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出证△ABE≌△CDF的三个条件是解此题的关键．
7．如图，已知在?ABCD中，过AC中点的直线交CD，AB于点E，F．求证：DE=BF．
考点：
平行四边形的性质；
平行线的性质；
全等三角形的判定与性质．
;.
.分析：
根据平行四边形的性质得到DC=AB，DC∥AB，根据平行线的性质得到∠ECA=∠BAC，∠CEO=∠AFO，能推出△AOF≌△COE，得到CE=AF，即可证出答案．
解答：
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DC=AB，DC∥AB，
∴∠ECA=∠BAC，∠CEO=∠AFO， ∵OA=OC，
∴△AOF≌△COE， ∴CE=AF， ∵DC=AB， ∴DE=BF．
点评：
本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，解此题的关键是根据平行四边形的性质证出△AOF和△COE全等．
8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AE．四边形AECD是平行四边形吗？为什么？
考点：
等腰梯形的性质；
平行线的判定与性质；
等腰三角形的性质；
平行四边形的判定．
分析：
根据等腰三角形性质求出∠B=∠C，根据等腰三角形性质推出∠AEC=∠B=∠C，推出AE∥CD，根据平行四边形的判定推出即可．
解答：
解：是平行四边形，
理由：∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC， ∴AB=DC，∠B=∠C， ∵AB=AE， ∴∠AEB=∠B， ∴∠AEB=∠C， ∴AE∥DC， 又∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质，等腰梯形的性质，平行线的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的应用，关键是根据题意推出AE∥CD，培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目较好，综合性比较强．
9．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：DE=BF．
考点：
平行四边形的性质；
全等三角形的判定与性质；
平行四边形的判定．
分析：
连接BE，DF，BD，BD交AC于O，根据平行四边形性质求出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，根据平行四边形的判定推出四边形BEDF是平行四边形即可．
解答：
证明：连接BE，DF，BD，BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OD=OB，
;.
.∵AE=CF， ∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形， ∴DE=BF．
点评：
本题考查了平行四边形的性质和判定等应用，关键是能熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理，此题的证明方法二是证△AED≌△CFB，推出DE=BF．
10．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F，AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
考点：
平行四边形的判定；
平行线的性质；
全等三角形的判定与性质．
分析：
求出∠AED=∠CFB=90°，根据HL证Rt△AED≌Rt△CFB，推出∠ADE=∠CBD，得到AD∥BC，根据平行四边形的判定判断即可．
解答：
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°， 在Rt△AED和Rt△CFB中
，
∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL）， ∴∠ADE=∠CBD， ∴AD∥BC， ∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
点评：
本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出AD∥BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
11．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF． 求证：四边形AFBD是平行四边形．
考点：
平行四边形的判定；
全等三角形的判定与性质． 专题：
证明题．
分析：
求出AE=DE，∠AFE=∠DCE，证△AEF≌△CED，推出AF=DC，得出AF∥BD，AF=BD，根据平行四边形的判定推出即可．
;.
.解答：
证明：∵E为AD中点，
∴AE=DE， ∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE， 在△AEF和△CED中
∵，
∴△AEF≌△CED（AAS）， ∴AF=DC，
∵AD是△ABC的中线， ∴BD=DC， ∴AF=BD，
即AF∥BD，AF=BD，
故四边形AFBD是平行四边形．
点评：
本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，关键是推出AF=DC=BD．
12．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，AD+DC=BC． 求证：（1）DE=DC；
（2）△DEC是等边三角形．
考点：
等腰梯形的性质；
等边三角形的判定；
平行四边形的判定与性质． 分析：
（1）证出平行四边形ABED，推出DE=AB，即可推出答案；
（2）根据BE=AD，AD+DC=BC，BE+EC=BC，推出DC=EC即可证出答案．
解答：
证明：（1）∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形， ∴DE=AB， ∵AB=DC， ∴DE=DC．
（2）证明：∵BE=AD，AD+DC=BC，BE+EC=BC， ∴DC=EC，
由（1）知：DE=DC， ∴DE=DC=EC，
∴△DEC是等边三角形．
点评：
本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的判定等知识点的理解和掌握，证出平行四边形ABED和DC=EC是解此题的关键．
13．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF． 求证：（1）△ADF≌△CBE；
（2）连接DE、BF，试判断四边形DEBF的形状，并说明理由．
;.
.
考点：
平行四边形的判定与性质；
全等三角形的判定与性质． 分析：
（1）根据平行四边形的性质对边平行且相等得到AD与BC平行且相等，由AD与BC平行得到内错角∠DAF与∠BCA相等，再由已知的AE=CF，根据“SAS”得到△ADF与△CBE全等；
（2）由（1）证出的全等，根据全等三角形的性质得到DF与EB相等且∠DFA与∠BEC相等，由内错角相等两直线平行得到DF与BE平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得到四边形DEBF的形状．
解答：
证明：（1）∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC（1分） ∴∠DAF=∠BCA（2分），∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE（3分） ∴△ADF≌△CBE（4分）
（2）四边形DEBF是平行四边形（5分） ∵△ADF≌△CBE，
∴∠DFA=∠BEC，DF=BE， ∴DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形（6分）
点评：
本题综合考查了全等三角形的判断与性质，以及平行四边形的判断与性质．其中第2问是一道先试验猜想，再探索证明的新型题，其目的是考查学生提出问题，解决问题的能力，这类几何试题将成为今后中考的热点试题．
14．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF． 求证：四边形EFGH是平行四边形．
考点：
平行四边形的判定与性质；
全等三角形的判定与性质．
分析：
易证得△AEH≌△CGF，从而证得对应边BE=DG、DH=BF．故有△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．
解答：
证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C（平行四边形的对边相等）；
又∵AE=CG，AH=CF（已知）， ∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH=GF（全等三角形的对应边相等）；
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等）， ∴AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF， 即BE=DG，DH=BF．
又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D， ∴△BEF≌△DGH；
∴GH=EF（全等三角形的对应边相等）；
∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
点评：
本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用;.
.时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF． （1）猜想探究：BE与DF之间的关系：
平行且相等
（2）请证明你的猜想．
考点：
平行四边形的判定与性质． 分析：
（1）BE平行且等于DF；
（2）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF即可．
解答：
（1）解：BE和DF的关系是：BE=DF，BE∥DF，
故答案为：平行且相等．
（2）证明：连接BD交AC于O， ∵ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵AE=CF， ∴OE=OF，
∴BFDE是平行四边形， ∴BE=DF，BE∥DF．
点评：
本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，主要检查学生能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．
16．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：∠1=∠2．
考点：
平行四边形的判定与性质；
全等三角形的判定与性质．
分析：
由三角形全等（△ABE≌△CDF）得到BE=DF，所以四边形BFDE是平行四边形，根据对角相等即可得证． 解答：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AB=CD，AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等）， ∴∠BAE=∠DCF（两直线平行，内错角相等）；
;.
.∵BE∥DF（已知），
∴∠BEF=∠DFE（两直线平行，内错角相等）， ∴∠AEB=∠CFD（等量代换）， ∴△ABE≌△CDF（AAS）；
∴BE=DF（全等三角形的对应边相等）， ∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴∠1=∠2（平行四边形的对角相等）．
点评：
本题主要考查平行四边形的性质和三角形全等的判定，需要熟练掌握并灵活运用．平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形．
17．如图，已知E，F分别是?ABCD的边AB，CD的中点．求证：ED=BF．
考点：
平行四边形的判定与性质． 分析：
根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，根据线段的中点的定义得到EB=AB，DF=CD，即BE=DF，BE∥DF，得到平行四边形EBFD，根据平行四边形的性质即可得到答案．
解答：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E，F分别是?ABCD的边AB，CD的中点，
∴EB=AB，DF=CD，
∴BE=DF， ∵BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形， ∴ED=BF．
点评：
本题主要考查对平行四边形的性质和判定的理解和掌握，能灵活运用平行四边形的性质和判定进行证明是解此题的关键．
18．如图，BD是?ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：四边形DEBF为平行四边形．
考点：
平行四边形的判定与性质；
角平分线的定义．
分析：
根据平行四边形性质和角平分线定义求出∠FDB=∠EBD，推出DF∥BE，根据平行四边形的判定判断即可． 解答：
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠CDB=∠ABD，
∵DF平分∠CDB，BE平分∠ABD，
∴∠FDB=∠CDB，∠EBD=∠ABD，
;.
.∴∠FDB=∠EBD， ∴DF∥BE，
∵AD∥BC，即ED∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
点评：
本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质和判定等的应用，关键是推出DF∥BE，主要检查学生能否运用定理进行推理，题型较好，难度适中．
19．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，证明：四边形BFDE是平行四边形．
考点：
平行四边形的判定与性质；
全等三角形的判定与性质．
分析：
利用“平行四边形的对角线互相平分”的性质推知OA=OC，OB=OD；
然后由已知条件“点E、F分别为AO、OC的中点”可以证得OE=OF；
最后根据平行四边形的判定定理“对角线相互平分的四边形为平行四边形”即可证得结论．
解答：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）． 又∵点E、F分别为AO、OC的中点， ∴OE=OF．
∴四边形BFDE是平行四边形（对角线相互平分的四边形为平行四边形）．
点评：
本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
20．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，为什么？说明理由．
考点：
全等三角形的判定与性质；
垂线；
直角三角形全等的判定；
平行四边形的判定与性质．
分析：
求出∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，推出AF=CE，连接BE、DF，根据HL证Rt△ABF≌Rt△CDE，推出DE=BF，得出平行四边形DEBF，根据平行四边形的性质推出即可．
解答：
解：BD平分EF，理由是：
证法一、连接BE、DF． ∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF， ∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF， 即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中
;.
.，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE， ∴DE=BF， ∵DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形， ∴BD平分EF；
证法二、∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF， ∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF， 即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE， ∴DE=BF，
∵在△BFG和△DEG中
，
∴△BFG≌△DEG（AAS）， ∴EG=FG，
即BD平分EF．
点评：
本题考查了平行四边形的性质和判定，垂线，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，关键是得出平行四边形DEBF，题目比较好，难度适中．
21．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点． 求证：EF=DG且EF∥DG．
考点：
三角形中位线定理；
三角形的角平分线、中线和高；
平行四边形的判定与性质． 分析：
根据三角形的中位线推出DE∥BC，DE=BC，GF∥BC，GF=BC，推出GF=DE，GF∥DE，得出平行四边形DEFG，根据平行四边形的性推出即可．
;.
.解答：
证明：∵BD、CE是△ABC的中线，
∴DE∥BC，DE=BC， 同理：GF∥BC，GF=BC，
∴GF=DE，GF∥DE，
∴四边形DEFG是平行四边形， ∴EF=DG，EF∥DG．
点评：
本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的中位线，三角形的中线等知识点，主要检查学生能否熟练的运用性质进行推理，题目比较典型，难度适中，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力．
22．已知如图所示，?ABCD的对角线AC、BD交于O，GH过点O，分别交AD、BC于G、H，E、F在AC上且AE=CF，求证：四边形EHFG是平行四边形．
考点：
平行四边形的判定与性质．
分析：
根据平行四边形性质得出OA=OC，AD∥BC，推出OE=OF，∠GAO=∠HCO，∠AGO=∠CHO，根据AAS证△AGO≌△CHO，推出OG=OH，根据平行四边形的判定推出即可．
解答：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC， ∵AE=CF， ∴OE=OF， ∵AD∥BC，
∴∠GAO=∠HCO，∠AGO=∠CHO， 在△AGO和△CHO中
，
∴△AGO≌△CHO（AAS）， ∴OG=OH， ∵OE=OF，
∴四边形EHFG是平行四边形．
点评：
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的性质和判定等知识点，注意：平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
;.
怎么证明平行四边形在平行四边形ABCD中，AE，CF，分别是∠DAB、∠BCD的平分线，E、F点分别在DC、AB上，求证：四边形AFCE是平行四边形 证明：∵四边形ABCD为平行四边形; ∴DC‖AB; ∴∠EAF=∠DEA ∵AE，CF，分别是∠DAB、∠BCD的平分线; ∴∠DAE=∠EAF;∠ECF=∠BCF; ∴∠EAF=∠CFB; ∴AE‖CF; ∵EC‖AF ∴四边形AFCE是平行四边形
1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形 2 1.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; (3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形; (4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 (5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形 (注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。) (第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形) 编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。) (1)平行四边形对边平行且相等。
(2)平行四边形两条对角线互相平分。
(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。
(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论) (5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形) (6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
(7)对称中心是两对角线的交点。
怎么证明平行四边形
第一篇：怎么证明平行四边形
怎么证明平行四边形在平行四边形abcd中，ae，cf，分别是∠dab、∠bcd的平分线，e、f点分别在dc、ab上，求证：四边形afce是平行四边形
证明：∵四边形abcd为平行四边形; ∴dc‖ab; ∴∠eaf=∠dea ∵ae，cf，分别是∠dab、∠bcd的平分线; ∴∠dae=∠eaf;∠ecf=∠bcf; ∴∠eaf=∠cfb; ∴ae‖cf; ∵ec‖af
∴四边形afce是平行四边形
1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形 2 1.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。)(第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形)编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)(6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。(7)对称中心是两对角线的交点。
1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形 第二篇：证明平行四边形
证明平行四边形如图，分别以rt△abc的直角边ac及斜边ab向外作等边△acd、等边△abe。已知∠bac=30o，ef⊥ab，垂足为f，连结df。
求证：四边形adfe是平行四边形。
设bc=a,则依题意可得：ab=2a,ac=√3a, 等边△abe,ef⊥ab=>af=1/2ab=a,ae=2a,ef=√3a
∵∠daf=∠dac+∠cab=60°+30°=90°,ad=ac=√3a,∴df=√(ad2+af2)=2a ∴ae=df=2a,ef=ad=√3a=>四边形adfe是平行四边形
1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形 2 1.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。)(第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形)编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)(6)过平行四(收藏好 范 文，请便下次访问)边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。(7)对称中心是两对角线的交点。
性质9(8)矩形菱形是轴对称图形。(9)平行四边形abcd中(如图)e为ab的中点，则ac和de互相三等分，一般地，若e为ab上靠近a的n等分点，则ac和de互相(n+1)等分。*注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形。(10)平行四边形abcd中，ac、bd是平行四边形abcd的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。(11)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。(12)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。(13)平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。(14)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。编辑本段平行四边形中常用辅助线的添法一、连接对角线或平移对角线。二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。编辑本段面积与周长1、(1)平行四边形的面积公式：底×高(推导方法如图);如用“h”表示高，“a”表示底，“s”表示平行四边形面积，则s平行四边=ah(2)平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值;如用“a”“b”表示两组邻边长，@表示两边的夹角，“s”表示平行四边形的面积，则s平行四边形=ab*sin@2、平行四边形周长可以二乘(底1+底2);如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b)底×1x高 第三篇：证明平行四边形 证明（三）平行四边形导纲 一、引入：
平行四边形的定义：
a 平行四边形定义的应用：b⑴∵ab∥cd，ad∥bc ∴四边形abcd是⑵∵四边形abcd是平行四边形 ∴二、自主探究：
证明：平行四边形的对边相等，对角相等。已知：
□abcd（如图） 求证:ab=cd,bc=da;∠b=∠d,∠bad=∠dcb 证明：∵四边形abcd是平行四边形 ∴ d ab d 三、性质应用：
1 .在□abcd中，已知∠a=32。，求其余三个角的度数 解：∵四边形abcd是平行四边形∴ d 2.已知在□ abcd中ab=6cm,bc=4cm,求□ abcd 的周长。解：∵四边形abcd是平行四边形∴
3.连结ac，已知□abcd的周长等于20 cm， ac=7 cm，求△abc的周长。
c b a 四、小组合作探究：
证明：平行四边形的对角线互相平分 五．总结性质：
a d d b c 六、巩固练习：
1.已知o是□ abcd的对角线交点，ac=10cm，bd=18cm ，ad=?12cm，则△boc?的周长是_______ 2.如图所示，平行四边形abcd的对角线相交于o点，且ab≠bc，过o点作oe⊥ac，交bc于e，如果△abe的周长为b，则平行四边形abcd的周长是。
a.b b.1.5bc.2bd.3b ad bec 七、学以致用：
证明:夹在两条平行线间的平行线段相等。
八、巩固练习：
1、已知：如图平行四边形abcd，e,f是直线bd上的两点，且∠e=∠f。求证：ae=cfc 2、已知：如图，□abcd的对角线ac，bd相交于点o,过点o的直线与ad,bc分别相交 于点e,f.d 求证:oe=of.b f 九、自我检测：
1.在□abcd中，∠a=50 ?，则∠° 2.如果□abcd中，∠a+∠c=240°，则∠°
3.如果□abcd的周长为28cm，且ab：bc=2∶5，那么，cm， cm，． 3、已知:如图,ac,bd是□abcd的两条对角线,且ae⊥bd,cf⊥bd,垂足分别为e,f, 求证:ae=cf.b 十、能力提高：
4、已知:在□abcd中,点e,f在对角线ac上,且af=ce.d 线段be与df之间有什么关系?请证明你的结论.a 若去掉题设中的af=ce,请添加一个条件使be与df有以上同样的性质.b 第四篇：命题与证明 平行四边形 教案 《命题与证明》
1、定义（一般地，能清楚地规定某一名称或术语意义的句子叫做该名称或术语的定义）
2、命题（一般地，判断一件事情的句子叫做命题）命题是一个“判断句”，判断“是”或“非”．其中正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，如“对顶角相等”是真命题，“相等的角是对顶角”是假命题.注意：(1)命题是语句，而且必须是能判断正确和错误的句子． (2)错误的命题也是命题．
过直线外一点做一条直线与已知直线垂直。
过直线外一点做一条直线，要么与已知直线相交，要么与已知直线平行。
3、每个命题是由条件（题设）和结论（题断）两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常写成“如果……那么……”的形式．一般形式是“如果p，那么q”，其中用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论．（判断清楚哪些是条件，哪些是结论）
写成“如果，那么”的形式 ①在同一个三角形中 等角对等边 ②角平分线上的点到角两边的距离相等 ③同角的余角相等 3、公理、定理、推论
人们在长期实践中检验所得的真命题，并作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做公理．如“过两点有且只有一条直线”；
“两点之间，线段最短”等等．有些命题的正确性是通过推理证实的，并被选定作为判定其它命题真假的依据，这样的真命题叫定理．由公理、定理直接得出的真命题叫做推论． 如 三角形内角和定理三角形的内角和等于180°．
推论1 直角三角形的两锐角互余．
推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 推论3 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角． 4、证明真命题的方法 根据题设、定义、公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫证明.证明一个真命题一般按以下步骤进行：
（1）审题，分清命题的条件与结论.（2）画图，依题意画出图形，画图时应做到图形正确且具有一般性，切忌将图形特殊化.（3）写“已知”“求证”，按照图形，分析、探求解题思路，然后写出证明过程，证明的每一步都要做到叙述清楚，而且要有理有据.5、证明假命题的方法
证明一个命题是假命题，只需举一个“反例”即可，也就是举出一个符合命题的条件而不符合结论的例子.用反证证明下列命题是假命题 有一条边、两个角相等的两个三角形全等 任何三条线段都能组成三角形 6、重难点及归纳
①命题的理解：本节的一个难点是找出一个命题的题设和结论，它是后面证明中，书写已知求证的基础，对那些条件结论不明显的命题．应在学习中多练，必要时结合图形来区分．例如命题“如果两条直线和 第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，其中“两条直线和第三条直线平行”是条件，“这两条直线也平行”是结论．再如命题，“对顶角相等”，它的条件和结论不明显，应将它改成“如果两个角为对顶角，那么这两个角相等”，再指出条件和结论． ②定义、命题、公理和定理之间的联系与区别 这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据． ③证明真命题的方法和步骤，难点是分析证明思路，有条理地写出推理过程．
④三角形内角和定理的三个推论常用来求角的大小和进行角的比较． 7、证明的思路：
①从已知出发，推出可能的结果，并与要证明的结论比较，直至推出最后的结果。②从
要证明的结论出发，探索要使结论成立，需要什么条件，并与已知条件对照，直到找到所需要的并且是已知的条件。
探索证明：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60度 9、用反证法（证明的思路如何，苦李子的故事） 用反证法证明命题，一般有三个步骤：
反设 假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立） 归谬 推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾，或者与假设所推出的任何一个已知相矛盾） 结论 从而得出命题结论正确。
例如用反证法证明：
在同一个平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60度
例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行 已知：如图∠1＝∠2a1b 求证：ab∥cd 证明：设ab与cd不平行c2d 那么它们必相交，设交点为md 这时，∠1是△ghm的外角a1 ∴∠1＞∠2g这与已知条件相矛盾2 ∴ab与cd不平行的假设不能成立h ∴ab∥cdc 例2.求证两条直线相交只有一个交点
证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。
（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。
例3.已知：m2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数 例4.求证：2不是有理数 《平行四边形》 1、四边形的定义
2、定理：四边形的内角和等于360度 推论：四边形的外角和等于360度 n边形的内角和外角和（为什么） 正五边形能镶嵌平面吗（为什么） 单独和镶嵌平面的正多边形有哪几种？为什么只有这几种？ （2014浙江省，8，3分）如图，在五边形abcde中，∠bae=120°, ∠b=∠e=90°，ab=bc，ae=de，在bc，de上分别找一点m,n，使得△amn的周长最小时，则∠amn+∠anm的度数为（如何作辅助线，培养感觉）
a.100°b．110°c.120°d.130° 3、平行四边形的定义性质 定理：平行四边形的对角相等
定理1：平行四边形的两组对边分别相等。
推论1：夹在两条平行线间的平行线段相等。
推论1：夹在两条平行线间的垂线段相等。
定理2：平行四边形的对角线互相平分。
4、中心对称图形定义 对称中心
性质：对称中心平分两个对称点的线段。（在平面直角坐标系中，点（x，y）关于原点对称的点的坐标是多少？为什么？） 5、平行四边形的判定
①定义②定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形③定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
6、三角形的中位线定理（如何证明？） 7、逆命题与逆定理
两个命题，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
每个命题都有逆命题。每个定理都有逆命题。如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。
因此，每个命题有逆命题；
每个定理有逆命题，但不一定有逆定理。
1.（2014浙江金华，15，4分）如图，在□abcd中，ab＝3，ad＝4，∠abc＝60°，过bc的中点e作ef⊥ab，垂足为点f，与dc的延长线相交于点h，则△def的面积是 .3.（2014四川成都，20,10分） 如图，已知线段ab∥cd，ad与bc相交于点k，e是线段ad上一动点.5cd1 (1)若bk=2kc，求ab的值；
(2)连接be，若be平分∠abc，则当ae=2ad时，猜想线段ab、
bc、cd三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当ae=nad (n?2)，而其余条件不变时，线段ab、bc、cd三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明． 6、如图，已知△abc中，?abc?45， f是高ad和be的交点，cd?4，则线段df的长度为.a ．b． 4c ．d ． ? 第：命题与证明 平行四边形练习 典型例题剖析
例1、将下列各句改写成“如果……，那么……”的形式． （1）对顶角相等；
（2）等角的余角相等；
（3）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
（4）同旁内角互补，两直线平行；
分析：
省略掉词语的命题通常采取仔细分析，把省略掉的词语重新补上，或根据命题画出准确图形，再根据图形，把命题完整写出来，根据这些方法研究，我们便可着手改写了． 解：
（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
（2）如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等；
（3）如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；
（4）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；
例2、指出下列命题的条件部分和结论部分 （1）直角都相等；
（2）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；
（3）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；
（4）大于90°而小于180°的角是钝角；
（5）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角． 分析：
解答这类问题，必须弄清命题由哪两部分组成，进一步弄明白条件与结论所表示的意思．便可找出条件与结论．对省略掉词语的命题应先设法补上，再着手找题设与结论．命题的条件与结论不好用文字叙述时，要用符号写出条件和结论，但必须说明符号所表示的意义． 解：（1）条件：两个角都是直角；
结论：这两个角相等．
（2）条件：互为邻补角的两个角的两条平分线；
结论：这两条角平分线互相垂直．
（3）条件：直线外一点与直线上各点连结的所有线段；
结论：垂线段最短． （4）条件：90°＜∠ 结论：∠＜180°；
是钝角． （5）条件：两个角的和等于平角；
结论：这两个角互补．
例3、判断下列命题的真假，如果是假命题，请说明理由． （1）两点之间，线段最短．
（2）如果一个数的平方是9，那么这个数是3． （3）同旁内角互补．
（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． （5）如果a＋b=0，那么a=0，b=0． （6）两个锐角的和是锐角． 分析：
要判定一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例）即可．于是以上各题真假便眉目分明了． 解：
（1）真命题，这是关于线段的一个公理．
（2）假命题，因为一个数的平方是9，这个数也可能是－3． （3）假命题，任意二条直线被第三条直线所截，都有同旁内角产生，只有两条平行线被第三直线所截，才有同旁内角互补的结论． （4）假命题，如果这个点在已知直线上，就无法作出一条直线与已知直线平行．
（5）假命题，如果a=2，b=－2，2＋(－2)=0，但a＝2≠0，b=－2≠0． （6）假命题，如60°和50°的角都是锐角，但它们的和是钝角． 例4、区分下列语句中，哪些是定义，哪些是公理，哪些是定理：
（1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线；
（2）两点之间，线段最短；
（3）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；
（4）对顶角相等；
（5）垂线段最短． 分析：
只要理解定义，公理，定理的意义，便可一一区分谁是定义，谁是公理，谁是定理．
解：(1)、(2)是公理；
(3)是定义；
(4)、(5)是定理． 例5、完成以下证明，并在括号内填写理由：
已知：如图所示，∠1=∠2，∠a=∠3.求证：ac∥de.例6、如下图，∠acd是△abc的外角，be平分∠abc，ce平分∠acd，且be、ce交于点e ．求证：
．
例7、如图，ce是△abc的外角∠acm的平分线，ce交ba的延长线于点e，试说明∠bac＞∠b成立的理由 .例8、已知：如图ad为∠abc的角平分线 e为bc的中点过e作ef∥ ad，交ab于m，交ca延长线于f。
cn∥ ab交fe的延长线于n。
求证：
bm=cf 例9、求证：没有一个有理数的平方等于3 例10、求证：三角形的三条边的垂直平分线交于一点 例11、求证：等腰三角形的底角是锐角
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