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一元二次方程解法课堂练习题
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一元二次方程解法课堂练习题
下面是小编为大家整理的一元二次方程解法课堂练习题,供大家参考。
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一元二次方程课堂练习题
23．1 一元二次方程
1． 下列方程：①
y2
?
1 y2
?
3；② 3x2
? 5x ? 2 ? 0 ；③ 3x(x ?1) ? 6x
?7
? 3x2 ；
④ 3x2
? 5xy
? 2y2
? 0 ；⑤ x2
? 3x ?
2 x2
?0
；⑥
x2
?
2 ? 3x
；⑦ 3x2 ?1 ? 2
x?2 3
；
是一元二次方程的是
。
2． 把下列一元二次方程化成一般形式，并写出相应的二次项系数、一次项系数、常数项：
方程
一般形式
二次项系数 一次项系数 常数项
3x2 ? 5x ?1
(x ? 2)(x ?1) ? 6
4 ? 7x2 ? 0
x(2x ?1) ? 3x(x ? 2) ? 0
3．当 a
时，关于 x 的方程 (a ? 3)x2 ? 2x ?1 ? 0 是一元二次方程。
4．下列关于 x 的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A. (m ? 2)x2 ? 2x ?1 ? 0
B. k2x ? 5k ? 3 ? 0
C. 3x2 ? 1 x ? 2 ? 0 3
D. 3x2 ? 2 ? 4 ? 0 x
5．若 ( p ? 2)x2 ? 3x ? p2 ? p ? 0 是关于 x 的一元二次方程，则 p
。
6．方程 (m2 ? 4)x2 ? (m ? 2)x ? 3m ?1 ? 0 ，当 m ?
当m
时，为一元二次方程。
时，为一元一次方程；
7．已知关于 x 的一元二次方程 (m ? 2)x2 ? 3x ? m2 ? 4 ? 0 有一个解是 0，则 m ?
。
8、已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ? (2a ?1)x ? a ? 5的一个解为 1，则 a=
。
.
.
23．2 一元二次方程的解法（直接开平方法）
1．4 的平方是 ，－4 的平方是
，若 x2 ?16 ，则 x ＝
。
2．若 x2 ? 0 ，则 x
。
3．若 x2 ? ?3 ，则 x
。
4．若 (x ?1)(x ?1) ? 8 ，如何解这个方程求出 x 的值？
解：整理得：
x2 ?1 ? 8
x2 ? 9
两边开平方，得 x ? ? 9
x ? ?3
∴ x1 ? 3 ， x2 ? ?3 。
下面请跟同伴交流这种做法的思想，并利用它完成下列一元二次方程的解答
（1） x2 ? 2 ? 0
（2） 2x2 ? 1
（3） 9x2 ? 25
（4）16x2 ? 81 ? 0
（5） (x ?1)2 ? 1
（6） 4(x ? 3)2 ? 25 ? 0
小结：当一元二次方程为：
x2 ? a ，即没有一次项时可用直接开平方法。
步骤：先移项，再将二次项系数化一，最后直接开平方。
.
.
23．2 一元二次方程的解法（1）直接开平方法：
x2 ? a(a ? 0), x ? ? a,? x1 ? a,x2 ? ? a
运用直接开平方法解下列一元二次方程
（1） x2 ? 256
（2） x2 ? 9 ? 0 4
（3） 4 y2 ?12 ? 0
（4） 2x2 ? 72 ? 0
（5） (2x ? 3)2 ? 5
（6） 4(1 ? x)2 ? 25
（7） 1 (x ? 3)2 ? 2 2
（8） (x ?1)2 ?12 ? 0
（9） 4(x ?1)2 ? 9 ? 0
小结：利用
的定义直接开平方求一元二次方程的
它是一元二次方程最基础的解法。
（1） x2 ? a ，解得 x=
（2） (x ? a)2 ? b ,解得 x=
的方法叫做直接开平方法。
.
.
23．2 一元二次方程的解法（2）因式分解法 一、提公因式法
1、把下列多项式进行因式分解：（1） 3x2 ? 5x ＝
（2） x(x ? 5) ? 3x ?
, (x ? 2) ? x(x ? 2) ＝
， 4x2 ? 2x ? ， 3x(x ?1) ? (x ?1)=
2、运用提公因式法解下列方程
（t－2）（t+1）=0；
(x ? 5)(x ? 2) ? 0
3x2 ? 5x ? 0
x2 ? 5x ? 0
3x2 ? 6 ? 0
3x2 ? 4x
x（x＋1）－5x＝0.
(x ? 2) ? x(x ? 2) ? 0
5x(x ? 2) ? 3(2 ? x) ? 0
3(x ? 3)2 ? 2(3 ? x)
( 2? 3x )x(? 4?) x( ?3 2?) (x1 5 )(x ? 5)2 ? 4x ? 20
小结：当一元二次方程为：
ax2 ? bx ? 0 ，即没有常数项时可用提公因式法。
因式分解法其理论依据是：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式中至少有一个
等于
，即若 a ? b ? 0 ，则
或
。
.
.
二、平方差公式法
1、把下列多项式进行因式分解：（1） x2 ?1 ?
（3）16 x2 ? 25 ?
，（4） (x ? 1)2 ? 4 ?
，（2） x2 ? 2=
2、用两种方法解一元二次方程
（1） x2 ? 900
方法一：直接开平方
方法二：平方差
（2）16 x2 ? 25 ? 0
（3） (x ? 1)2 ? 4 ? 0
（3） (2x ?1)2 ? x2 ? 0
（4） (3x ? 2)2 ? x 2
.
.
三、完全平方公式法
1、把下列多项式进行因式分解：
x2 ? 4x ? 4 ? 9x2 ?6x ?1 ?
， x2 ? 6x ? 9 ? ， y2 ? 2 3y ? 3 ?
2、用完全平方法解一元二次方程
（1） x2 ? 4x ? 4 ? 0
（2） x2 ? 6x ? 9 ? 0
（3） 9x2 ?6x ?1 ? 0
（4） y 2 ? 2 3y ? 3 ?
.
.
23．2 一元二次方程的解法（3）配方法 1、把下列多项式配成完全平方公式：
x2 ? 8x ? ＝ (x ＋ )2 ；
x2－7x＋（ ）＝（x－ ）2 x2＋ 3 x＋（ ）＝（x＋ ）2
x2 ? 5x ? ＝ (x － )2 ；
x2 ? 1 x ＋ 2
x2 ? mx ＋
＝(x ＋ ＝(x ＋
)2 ；
)2 ；
把多项式配成完全平方公式方法为：
用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）移项——把方程的常数项移到等号的右边；
（2）配方——等式两边都加上
一半的平方；
（3）化成 (x ? m)2 ? n 的形式
（4）若 n 为非负数，则用 若 n 为负数，则方程
法解一元二次方程；
。
例题 1：用配方法解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0 解: x2－6x＝7 x2－2·x·3＋32＝7＋( )2
（x－3）2＝
x－3＝
? x1＝7，x2＝
（2）x2＋3x＋1＝0. x2＋3x＝－1
x2＋2·x·3 ＋（ 3 ）2＝－1＋( )2 22
（x＋
）2＝ 5 4
x＋ 3 ＝ 2
?x1＝－ 3 ＋ 2
，x2＝－ 3 ___ 2
2、用配方法解一元二次方程 （1） x2 ? 4x ? 3 ? 0
（2） x2 ? 6x ?1 ? 0
.
（3） x2 ? 8x ? 9=0
.
（4） x2 ? 5x ? 6 ? 0
（5） x2 ? 3x ?1 ? 0
（6） x2 ? 7x ? 2 ? 0
例 2：填写以下用配方法解方程 2x2 ? 7x ? 4 ? 0 的过程：
解：将方程的各项除以 2 ，得到 x2 － x － ＝ 0 ，
移项得 x2 － x ＝
配方 x2 －
x＋(
)2 ＝
＋
得 (x ?
)2 ＝
。
解得
x1 ＝
， x2 ＝
。
步骤：（1）先将方程化为一般形式 （2）再将二次项系数化一 （3）移项 （4）配方 （5）直接开平方
.
.
3、用配方法解下列一元二次方程
(1) 4x2－12x－1＝0; 解：
x2－3x－ 1 ＝0（方程两边同时除以 4）
4 x2－3x＝
x2－2·x·3
＋
? ?
＝7＋(
)2
2 ?2?
（x－ ）2＝
x－ ＝
(2) 3x2＋2x－3＝0 x2＋ x－ ＝0
x2＋ 2 x＝ 3
x2＋2·x· +( )2＝1＋( )2
（x＋
）2＝ 10 9
x＋
＝ ? 10
? x1＝
，x2＝
? x1＝
＋ 10 ，x2＝ 3
－ 10 3
（3） 2x2 ? 7x ? 3 ? 0
（4） 2t2 ? 7t ? 4 ? 0
（5） 3x2 ?1 ? 4x
（6） 3x2 ? 5(2x ?1) ? 0
.
.
23．2
一元一次方程的解法（4）公式法：
x ? ?b ?
b2 ? 4ac 2a
用公式法解下列一元二次方程 （1） 2 x2＋x－6＝0
解：
a＝2，b＝1，c＝-6， ∵b2－4ac＝ 2－4× ×
∴x＝ ? b ? b2 ? 4ac ＝ ?1 ?
2a
2?2
＝＝
＝ ?1? 4
∴原方程的解是 x1＝
，x2＝
.
(2) x2＋4x＝2 解 将方程化为一般式，得 x2＋4x－2＝0
∵ b2－4ac＝
∴ x＝ ? 4 ? 2
＝-2±
∴原方程的解是 x1＝-2＋
，x 2 ＝-2-
(3)5x2－4x－12＝0；
解：∵b2－4ac＝
∴ x＝ ? (?4) ? 2?5
＝4?
＝
∴原方程的解是
x1＝-
6 5
，x2＝
（5） 3x2 ? 4x ? 2 ? 0
解：∵b2－4ac＝
∴原方程的解是
。
(4) 4x2＋4x＋10＝1－8x. 解 整理，得
∵ b2－4ac＝0，
∴x＝ ? (?12) ? 2?4
∴x1＝x2＝-
3 2
.
练习
（1）x2－6x＋1＝0
.
(2) 2x2－x＝6
(3) x2 ? 2 2x ? 2 ? 0
(4) 3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1)
解：4x2－ x+1＝0 x2－ x+2＝0
（5) 4x2－3x－1＝x－2
（6） x（x＋5）＝24
.
.
用配方法求二次三项式的最大最小值
例 1：用配方法求 x2 –4x+5 的最小值。
例 2：用配方法求 ? 2x2 ? 8x ? 9 的最大值
解：x2 –4x+5=x2 –4x+ 22 +1=( x –2)2 +1
所以，当 x ? 2 时 x2 –4x+5 的最小值是 1。
练习：
1)用配方法求 x2 –8x+5 的最小值。
解：- 2x2 ? 8x ? 9=? 2(x2 ? 4x ? 9) 2=? 2(x2 ? 4x ? 4 ? 4 ? 9) 2
=? 2? (x ? 2)2 ? 17 ?
2=? 2(x ? 2)2 ? 17 所以，当 x ? ?2 时 ? 2x2 ? 8x ? 9 有最大值是 17。
3）用配方法求 3x2 –6x+1 的最小值
2)用配方法求-x2 +4x+5 的最大值。
.
.
23．2 一元一次方程的解法（综合） 用适当的方法解下列一元二次方程 （1） 3x2 ? 54
（2） 6x2 ? 4 ? 3x
（3） 4(x ? 5)2 ? 16
（4） x(x ? 8) ? 609
（5） 3x2 ? 2x ? 3 ? 0
（6） x2 ? 7x ?12 ? 0
（7） 3x2 ?1 ? 2x
（8） x2 ?12x ? 28 ? 0
（9） (x ?1)(x ? 3) ? 15
（10） (2x ? 3)2 ? 3(4x ? 3)
.
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解法
练习题
课堂
2022/1027/94555
下面是小编为大家整理的一元二次方程解法课堂练习题,供大家参考。
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一元二次方程课堂练习题
23．1 一元二次方程
1． 下列方程：①
y2
?
1 y2
?
3；② 3x2
? 5x ? 2 ? 0 ；③ 3x(x ?1) ? 6x
?7
? 3x2 ；
④ 3x2
? 5xy
? 2y2
? 0 ；⑤ x2
? 3x ?
2 x2
?0
；⑥
x2
?
2 ? 3x
；⑦ 3x2 ?1 ? 2
x?2 3
；
是一元二次方程的是
。
2． 把下列一元二次方程化成一般形式，并写出相应的二次项系数、一次项系数、常数项：
方程
一般形式
二次项系数 一次项系数 常数项
3x2 ? 5x ?1
(x ? 2)(x ?1) ? 6
4 ? 7x2 ? 0
x(2x ?1) ? 3x(x ? 2) ? 0
3．当 a
时，关于 x 的方程 (a ? 3)x2 ? 2x ?1 ? 0 是一元二次方程。
4．下列关于 x 的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A. (m ? 2)x2 ? 2x ?1 ? 0
B. k2x ? 5k ? 3 ? 0
C. 3x2 ? 1 x ? 2 ? 0 3
D. 3x2 ? 2 ? 4 ? 0 x
5．若 ( p ? 2)x2 ? 3x ? p2 ? p ? 0 是关于 x 的一元二次方程，则 p
。
6．方程 (m2 ? 4)x2 ? (m ? 2)x ? 3m ?1 ? 0 ，当 m ?
当m
时，为一元二次方程。
时，为一元一次方程；
7．已知关于 x 的一元二次方程 (m ? 2)x2 ? 3x ? m2 ? 4 ? 0 有一个解是 0，则 m ?
。
8、已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ? (2a ?1)x ? a ? 5的一个解为 1，则 a=
。
.
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23．2 一元二次方程的解法（直接开平方法）
1．4 的平方是 ，－4 的平方是
，若 x2 ?16 ，则 x ＝
。
2．若 x2 ? 0 ，则 x
。
3．若 x2 ? ?3 ，则 x
。
4．若 (x ?1)(x ?1) ? 8 ，如何解这个方程求出 x 的值？
解：整理得：
x2 ?1 ? 8
x2 ? 9
两边开平方，得 x ? ? 9
x ? ?3
∴ x1 ? 3 ， x2 ? ?3 。
下面请跟同伴交流这种做法的思想，并利用它完成下列一元二次方程的解答
（1） x2 ? 2 ? 0
（2） 2x2 ? 1
（3） 9x2 ? 25
（4）16x2 ? 81 ? 0
（5） (x ?1)2 ? 1
（6） 4(x ? 3)2 ? 25 ? 0
小结：当一元二次方程为：
x2 ? a ，即没有一次项时可用直接开平方法。
步骤：先移项，再将二次项系数化一，最后直接开平方。
.
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23．2 一元二次方程的解法（1）直接开平方法：
x2 ? a(a ? 0), x ? ? a,? x1 ? a,x2 ? ? a
运用直接开平方法解下列一元二次方程
（1） x2 ? 256
（2） x2 ? 9 ? 0 4
（3） 4 y2 ?12 ? 0
（4） 2x2 ? 72 ? 0
（5） (2x ? 3)2 ? 5
（6） 4(1 ? x)2 ? 25
（7） 1 (x ? 3)2 ? 2 2
（8） (x ?1)2 ?12 ? 0
（9） 4(x ?1)2 ? 9 ? 0
小结：利用
的定义直接开平方求一元二次方程的
它是一元二次方程最基础的解法。
（1） x2 ? a ，解得 x=
（2） (x ? a)2 ? b ,解得 x=
的方法叫做直接开平方法。
.
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23．2 一元二次方程的解法（2）因式分解法 一、提公因式法
1、把下列多项式进行因式分解：（1） 3x2 ? 5x ＝
（2） x(x ? 5) ? 3x ?
, (x ? 2) ? x(x ? 2) ＝
， 4x2 ? 2x ? ， 3x(x ?1) ? (x ?1)=
2、运用提公因式法解下列方程
（t－2）（t+1）=0；
(x ? 5)(x ? 2) ? 0
3x2 ? 5x ? 0
x2 ? 5x ? 0
3x2 ? 6 ? 0
3x2 ? 4x
x（x＋1）－5x＝0.
(x ? 2) ? x(x ? 2) ? 0
5x(x ? 2) ? 3(2 ? x) ? 0
3(x ? 3)2 ? 2(3 ? x)
( 2? 3x )x(? 4?) x( ?3 2?) (x1 5 )(x ? 5)2 ? 4x ? 20
小结：当一元二次方程为：
ax2 ? bx ? 0 ，即没有常数项时可用提公因式法。
因式分解法其理论依据是：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式中至少有一个
等于
，即若 a ? b ? 0 ，则
或
。
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二、平方差公式法
1、把下列多项式进行因式分解：（1） x2 ?1 ?
（3）16 x2 ? 25 ?
，（4） (x ? 1)2 ? 4 ?
，（2） x2 ? 2=
2、用两种方法解一元二次方程
（1） x2 ? 900
方法一：直接开平方
方法二：平方差
（2）16 x2 ? 25 ? 0
（3） (x ? 1)2 ? 4 ? 0
（3） (2x ?1)2 ? x2 ? 0
（4） (3x ? 2)2 ? x 2
.
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三、完全平方公式法
1、把下列多项式进行因式分解：
x2 ? 4x ? 4 ? 9x2 ?6x ?1 ?
， x2 ? 6x ? 9 ? ， y2 ? 2 3y ? 3 ?
2、用完全平方法解一元二次方程
（1） x2 ? 4x ? 4 ? 0
（2） x2 ? 6x ? 9 ? 0
（3） 9x2 ?6x ?1 ? 0
（4） y 2 ? 2 3y ? 3 ?
.
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23．2 一元二次方程的解法（3）配方法 1、把下列多项式配成完全平方公式：
x2 ? 8x ? ＝ (x ＋ )2 ；
x2－7x＋（ ）＝（x－ ）2 x2＋ 3 x＋（ ）＝（x＋ ）2
x2 ? 5x ? ＝ (x － )2 ；
x2 ? 1 x ＋ 2
x2 ? mx ＋
＝(x ＋ ＝(x ＋
)2 ；
)2 ；
把多项式配成完全平方公式方法为：
用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）移项——把方程的常数项移到等号的右边；
（2）配方——等式两边都加上
一半的平方；
（3）化成 (x ? m)2 ? n 的形式
（4）若 n 为非负数，则用 若 n 为负数，则方程
法解一元二次方程；
。
例题 1：用配方法解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0 解: x2－6x＝7 x2－2·x·3＋32＝7＋( )2
（x－3）2＝
x－3＝
? x1＝7，x2＝
（2）x2＋3x＋1＝0. x2＋3x＝－1
x2＋2·x·3 ＋（ 3 ）2＝－1＋( )2 22
（x＋
）2＝ 5 4
x＋ 3 ＝ 2
?x1＝－ 3 ＋ 2
，x2＝－ 3 ___ 2
2、用配方法解一元二次方程 （1） x2 ? 4x ? 3 ? 0
（2） x2 ? 6x ?1 ? 0
.
（3） x2 ? 8x ? 9=0
.
（4） x2 ? 5x ? 6 ? 0
（5） x2 ? 3x ?1 ? 0
（6） x2 ? 7x ? 2 ? 0
例 2：填写以下用配方法解方程 2x2 ? 7x ? 4 ? 0 的过程：
解：将方程的各项除以 2 ，得到 x2 － x － ＝ 0 ，
移项得 x2 － x ＝
配方 x2 －
x＋(
)2 ＝
＋
得 (x ?
)2 ＝
。
解得
x1 ＝
， x2 ＝
。
步骤：（1）先将方程化为一般形式 （2）再将二次项系数化一 （3）移项 （4）配方 （5）直接开平方
.
.
3、用配方法解下列一元二次方程
(1) 4x2－12x－1＝0; 解：
x2－3x－ 1 ＝0（方程两边同时除以 4）
4 x2－3x＝
x2－2·x·3
＋
? ?
＝7＋(
)2
2 ?2?
（x－ ）2＝
x－ ＝
(2) 3x2＋2x－3＝0 x2＋ x－ ＝0
x2＋ 2 x＝ 3
x2＋2·x· +( )2＝1＋( )2
（x＋
）2＝ 10 9
x＋
＝ ? 10
? x1＝
，x2＝
? x1＝
＋ 10 ，x2＝ 3
－ 10 3
（3） 2x2 ? 7x ? 3 ? 0
（4） 2t2 ? 7t ? 4 ? 0
（5） 3x2 ?1 ? 4x
（6） 3x2 ? 5(2x ?1) ? 0
.
.
23．2
一元一次方程的解法（4）公式法：
x ? ?b ?
b2 ? 4ac 2a
用公式法解下列一元二次方程 （1） 2 x2＋x－6＝0
解：
a＝2，b＝1，c＝-6， ∵b2－4ac＝ 2－4× ×
∴x＝ ? b ? b2 ? 4ac ＝ ?1 ?
2a
2?2
＝＝
＝ ?1? 4
∴原方程的解是 x1＝
，x2＝
.
(2) x2＋4x＝2 解 将方程化为一般式，得 x2＋4x－2＝0
∵ b2－4ac＝
∴ x＝ ? 4 ? 2
＝-2±
∴原方程的解是 x1＝-2＋
，x 2 ＝-2-
(3)5x2－4x－12＝0；
解：∵b2－4ac＝
∴ x＝ ? (?4) ? 2?5
＝4?
＝
∴原方程的解是
x1＝-
6 5
，x2＝
（5） 3x2 ? 4x ? 2 ? 0
解：∵b2－4ac＝
∴原方程的解是
。
(4) 4x2＋4x＋10＝1－8x. 解 整理，得
∵ b2－4ac＝0，
∴x＝ ? (?12) ? 2?4
∴x1＝x2＝-
3 2
.
练习
（1）x2－6x＋1＝0
.
(2) 2x2－x＝6
(3) x2 ? 2 2x ? 2 ? 0
(4) 3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1)
解：4x2－ x+1＝0 x2－ x+2＝0
（5) 4x2－3x－1＝x－2
（6） x（x＋5）＝24
.
.
用配方法求二次三项式的最大最小值
例 1：用配方法求 x2 –4x+5 的最小值。
例 2：用配方法求 ? 2x2 ? 8x ? 9 的最大值
解：x2 –4x+5=x2 –4x+ 22 +1=( x –2)2 +1
所以，当 x ? 2 时 x2 –4x+5 的最小值是 1。
练习：
1)用配方法求 x2 –8x+5 的最小值。
解：- 2x2 ? 8x ? 9=? 2(x2 ? 4x ? 9) 2=? 2(x2 ? 4x ? 4 ? 4 ? 9) 2
=? 2? (x ? 2)2 ? 17 ?
2=? 2(x ? 2)2 ? 17 所以，当 x ? ?2 时 ? 2x2 ? 8x ? 9 有最大值是 17。
3）用配方法求 3x2 –6x+1 的最小值
2)用配方法求-x2 +4x+5 的最大值。
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23．2 一元一次方程的解法（综合） 用适当的方法解下列一元二次方程 （1） 3x2 ? 54
（2） 6x2 ? 4 ? 3x
（3） 4(x ? 5)2 ? 16
（4） x(x ? 8) ? 609
（5） 3x2 ? 2x ? 3 ? 0
（6） x2 ? 7x ?12 ? 0
（7） 3x2 ?1 ? 2x
（8） x2 ?12x ? 28 ? 0
（9） (x ?1)(x ? 3) ? 15
（10） (2x ? 3)2 ? 3(4x ? 3)
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