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[初三数学培优题]
第一讲（三角形、四边形及多边形）
第二讲：（三角形、四边形及多边形）
第三讲与圆有关的性质
第四讲直线与圆的位置关系
第五讲：与圆有关的比例线段+圆内接四边形第六讲:圆的综合运用
第七讲:函数图像、性质的应用
第八讲：二次函数-特殊三角形
第九讲：二次函数-平行四边形
第十讲二次函数（面积与计算）
第十一讲:三角函数及综合
第十二讲一次函数与反比例函数
第一讲（三角形、四边形及多边形）
★ 你了解直线型问题的中考方向吗？
所谓直线型问题，包括了直线、角、三角形、四边形及其多边形，这部分内容知识点多，题型变化多样，是中考重点考察内容之一。成都市历年中考题中，这部分知识点约占25分。
分析近三年成都和全国其他省市的中考题，我们发现：这部分知识的考题一般设置为中档题，在A 卷出现比较多些，有填空、选择、解答或证明，在B 卷中出现的题量和分值配备相对少些。但是，当这部分知识与圆相结合或与函数图象结合，常常成为压轴题的重要组成部分。
★ 你必须记住的考点
1、平行线的性质与判定；
2、三角形的内角和定理；
3、三角形三边之间的关系定理； ★
4、三角形全等（相似）的性质与判定；
5、三角形（梯形）的中位线定理；
6、三角形的“五心”；★
7、特殊三角形（等腰三角形、直角三角形等）的性质与判定；★
8、平行四边形（包括正方形、菱形、矩形）的性质与判定；
9、多边形的内角和定理；★10、三角形中的重要线段（角平分线，中线，垂线，高）★ 你必须掌握的方法
解决直线型问题最基本的方法就是 法：面对复杂几何图形时，要从不同的角度去观察，学会辨认图形。即要善于从复杂图形中寻找、分离出我们最熟悉的图形，从而利用熟悉图形的性质给予解答。同时思考问题一定要快速、准确、全面，还要综合运用分类讨论法、方程等思想方法。 ★ 全等、相似常见模型
全等模型有：旋转型、对称型、叠合型、平移型； 相似常见模型： （1）平行型：（A 型，X 型） （2）交错型 （3）旋转型 （4）母子三角形
★ 中考考点分析、典例解析 ◆ 题型一------概念型
【例1】如图：直线a,b,c 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站P ，要求它到三条公路的距离相等，则(1)可供选择的地址有（ ） A 、一处 B 、二处 C 、三处 D 、四处 （2）、若∠ABC=0
70,则∠APC=
【例2】若三角形的三个角满足关系式：C B A ∠=∠=
∠3
1
21，则这个三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、等腰三角形
◎ 目标训练1
1、等腰三角形一边长为5，另一边长为11，则其周长为（ ） A 、21 B 、27 C 、21或27 D 、16
2、如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC ?相
A B
C D
D A B C A B C D
E A B C D E
似的是（ ）
◆ 题型二------计算、证明型
【例3】已知关于x 的一元二次方程（a +c ）x 2+2bx +（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．
（1）如果x =﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【例4】如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6cm ，BC =8cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ． （1）若△BPQ 与△ABC 相似，求t 的值； （2）连接AQ ，CP ，若AQ ⊥CP ，求t 的值； （3）试证明：PQ 的中点在△ABC 的一条中位线上．
【例5】已知矩形ABCD 的一条边AD =8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．
（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、O A ． ①求证：△OCP ∽△PDA ；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；
（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP
上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB
于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
【例6】例如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥A C．（1）求证：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．
【例7】如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，OP交AC于点Q．（1）求证：△APQ∽△CDQ；
（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．
①当t为何值时，DP⊥AC？
②设S△APQ+S△DCQ=y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值．
【例8】如图，已知直线l1∥l2，线段AB在直线l1上，BC垂直于l1交l2于点C，且AB=BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l2、l1于点D、E（点A、E位于点B 的两侧），满足BP=BE，连接AP、CE．
（1）求证：△ABP≌△CBE；
（2）连结AD、BD，BD与AP相交于点F．如图2．
①当=2时，求证：AP⊥BD；
②当=n（n＞1）时，设△PAD的面积为S1，△PCE的面积为S2，求的值．
第二讲：（三角形、四边形及多边形）2
一：知识点回顾
1四边形性质
2特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形）的性质及差异
3特殊四边形的判定方法
4四边形中常见的辅助线
二：例题分析
例1：如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2C D．（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；
（2）求证：BD=MN．
例2：如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F．
（1）证明：FD=AB；
（2）当平行四边形ABCD的面积为8时，求△FED的面积．
例3：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P 到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；
（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．
例4：如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连结EF与边CD相交于点G，连结BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．
（1）求证：EF∥AC；
（2）求∠BEF大小；
（3）求证：=．
例5：如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．
（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；
（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．
例6：如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP 交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，
（1）的值为；
（2）求证：AE=EP；
（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
第三讲与圆有关的性质
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠P=3
5
，求⊙O的直径．
2.如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD 交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．
（1）求证：CG是⊙O的切线．
（2）求证：AF=CF．
（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．
3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC 于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求tan∠ABE的值；
（3）若OA=2，求线段AP的长．
4.(2014年天津市，第21题10分)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB 的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
5.如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．
（1）求证：点F是AD的中点；
（2）求cos∠AED的值；
（3）如果BD=10，求半径CD的长．
6.（2014?襄阳，第25题10分）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．
（1）求证：△ADP∽△BDA；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．
7.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．
（1）求⊙O的半径OD；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图中两部分阴影面积的和．
?
A B C
D
E O
F
P
8.已知：如图，?ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交 ⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连结AD ． （1）求证：∠DAC ＝∠DBA ； （2）求证：P 是线段AF 的中点；
（3）若⊙O 的半径为5，AF ＝ 2
15
，求tan ∠ABF 的值．
9.已知：如图，以矩形ABCD 的对角线AC 的中点O 为圆心，OA 长为半径作⊙0，⊙O 经过B 、D 两点，过点B 作BK ⊥AC ，垂足为K ．过D 作DH ∥KB ，DH 分别与AC 、AB 、⊙O 及CB 的延长线相交于点E 、F 、G 、H ．
(1)求证：AE =CK ； (2)如果AB =a ，AD =13
a (a 为大于零的常数)，求BK 的长；
(3)若F 是EG 的中点，且DE =6，求⊙O 的半径和GH 的长．
第四讲 直线与圆的位置关系
【知识点】
※1. 直线和圆相交、相切相离的定义:
E
F
G
A
O B
C
D
K
(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.
(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共
点做切点.
(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
※2. 直线与圆的位置关系的数量特征:
设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；
①d
②d=r <===> 直线L和⊙O相切.
③d>r <===> 直线L和⊙O相离.
※3. 切线的总判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.
※4. 切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径.
※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.
①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.
※5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.
※6. 三角形内心的性质:
(1)三角形的内心到三边的距离相等.
(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.
由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.
【例题分析】
1.（2014?德州，第22题10分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
2. 如图，直线与⊙O相切于点D，过圆心O作EF∥交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线于B、C两点；
（1）求证：∠ABC+∠ACB=90°；
（2）若⊙O 的半径5=R ，BD=12，求tan ∠ACB 的值．
3.如图，AB 为的直径，点C 在⊙O 上，点P 是直径AB 上的一点（不与A ，B 重合），过点P 作AB 的垂线交BC 的延长线于点Q 。
（1）在线段PQ 上取一点D ，使DQ=DC ，连接DC ，试判断CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由。 （2）若cosB=3
5
，BP=6，AP=1，求QC 的长。
4.如图，AB 为O ⊙的直径，点C 为O ⊙上一点，若BAC CAM ??，过点C 作直线垂直
于射线AM ，垂足为点D ．
（1）试判断CD 与O ⊙的位置关系，并说明理由；
（2）若直线与AB 的延长线相交于点E ，O ⊙的半径为3，并且30CAB °=. 求CE 的长．
5.（ 2014?广东，第24题9分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，延长DO 交⊙O 于点P ，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作射线DE 交BC 的延长线于F 点，连接PF ．
O E
F
A
O
B
D
C
l
M
E
（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求证：OD=OE；
（3）求证：PF是⊙O的切线．
6.如如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C 作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=2，求⊙O的半径．
7.如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．
（1）求证：BC平分∠PDB；
（2）求证：BC2=AB?BD；
（3）若PA=6，PC=6，求BD的长．
8.如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且
∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD2=CA?CB；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=2\3，
求BE的长．
9.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙0，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙0的切线．
（2）如果⊙0的半径为5，sin∠ADE=4\5，求BF的长．
10.如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）OC=CP，AB=6，求CD的长．
11.如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD 交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．
（1）求证：CG是⊙O的切线．
（2）求证：AF=CF．
（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．
第五讲：与圆有关的比例线段+圆内接四边形
[知识点]
注意：（1）相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆幂定理，圆幂定理是圆和相似三角形结合的产物。这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于切线可看作是两条交点重合的割线）。使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点；
（2）见圆中有两条相交想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割线定理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形
【例题分析】
例1：如图所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI 交圆O于点D，连接BD、DC．
（1）求证：BD=DC=DI；
（2）若圆O的半径为10cm，∠BAC=120°，求△BDC的面积．
例2：如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的
延长线于点D，延长DA交AABC的外接圆于点F，连接FB、FC．
（1）求证：FB=FC；
（2）求证：FB2=FA?FD；
（3）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长．
例3：如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B
作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，
连接BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；
（3）若BC=6，tan∠F=1\2，求cos∠ACB的值和线段PE的长．
例6：在Rt△ABC中，
BC=9，CA=12，∠ABC
的平分线BD交AC与点D，DE⊥DB交AB于点E，OD为⊙O的半径.
⑴设⊙O是△BDE的外接圆，求证: AC
OD
⑵求⊙O的半径OD的长.
⑶设⊙O交BC于点F，连结EF，求EF
AC的值．A B
C
D
E
F
H P
例7：（2014?泸州24题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE?CA．
（1）求证：BC=CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．
例8：如图，已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C且，弦CD交AB于E，BF⊥l，垂足为F，BF交⊙O于G．
（1）求证：CE2=FG?FB；（2）若tan∠CBF=，AE=3，求⊙O的直径．
例9：如图，已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C已知：在ABC中，AD为∠BAC 的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．
（1）求证：AF=DF；
（2）求∠AED的余弦值；
（3）如果BD=10，求△ABC的面积．
第6讲:圆的综合运用
★ 重要考点梳理
1、垂径定理的有关计算；（转化到核心直角三角形中）
2、切线的性质与判定的运用；
3、垂径定理、圆心角定理、圆周角定理及其推论的综合运用
★ 基本思想方法归纳
◆1、要善于从复杂图形中抽象出基本模型—图形分离法
全等中常见的模型有：旋转型、翻折型； 相似中的常见模型：“A 型”、“X 型”、斜射影； ◆2、注意体会方程手段解决几何问题； ◆3、对常见辅助线的添加归类
（1）与垂径定理有关：遇弦作弦心距；遇弧、弦的中点作半径； （2）与圆心角、圆周角有关：遇直径想直角； （3）与切线有关：
①、切线的性质：遇切点，作半径；
②、切线的判定：知切点时连半径，证垂直；不知切点时作距离，证半径； ◆4、圆与圆的位置关系的判定：设两圆的半径分别为R 、r （R r >），圆心距为d （1）外离： ；（2）外切： ；（3）相交： ； 内切： ；内含： ；
◆5、两圆相交、相切的性质：
（1）相交两圆的连心线垂直平分公共弦（两圆相交公共弦） （2）相切两圆的连心线必过切点（两圆相切公切线） ◆6、弧长、扇形面积的计算公式 （1）弧长：180
n R
π=
l ； （2）扇形面积：21
3602
n R S R π=
=l （R 为弧、扇形所在圆的半径，n 为圆心角的度数） ◆7、圆柱、圆锥的侧面展开图面积的计算
（1）圆柱的侧面积：2S rh π=圆柱侧 （2）圆锥的侧面积：S r π=l 圆锥侧
1.如图，O e 的半径r=25,四边形ABCD 内接于O e ，AC BD ⊥于点H ，P 为CA 延长线上的一点，且PDA ABD ∠=∠。 （1）试判断PD 与O e 的位置关系，并说明理由；
r
h
2r πl
O r h
2r
π
（2）若3
tan =
4
ADB ∠，433PA AH -=
,求BD 的长； （3）在（2）的条件下，求四边形ABCD 的面积。
2.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=54°，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，
E ，过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点
F 。 （1）求证：BE=CE ； （2）求∠CBF 的度数； （3）若AB=6，求
的长。
3.如图，在平面直角坐标系中，已知A （8，0），B （0，6），⊙M 经过原点O 及点A 、B ． （1）求⊙M 的半径及圆心M 的坐标；
（2）过点B 作⊙M 的切线l ，求直线l 的解析式；
（3）∠BOA 的平分线交AB 于点N ，交⊙M 于点E ，求点N 的坐标和线段OE 的长．
4.如图14，直线AB 经过O e 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，O e 交直线OB 于E D ，，连接EC CD ，．
（1）求证：直线AB 是O e 的切线；
（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）若
1
tan
2
CED
∠=，O
e的半径为3，求OA的长．
5.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．
（1）求证：PB与⊙O相切；
（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；
（3）若AC=12，tan∠F=1\2，求cos∠ACB的值．
7.如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD 是⊙O的直径，且交BP于点E．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG?AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及
sin∠ACE的值．
第七讲:函数图像、性质的应用
二次函数+三角形
★★试题结构特征
1、以函数为模型，解决实际问题中的极值与最优方案问题
2、以纯几何图形为基础，探求其位置和数量的变化规律；
3、将几何图形置于直角坐标系中，探求其位置和数量的变化规律；
4、以直角坐标系中的函数（或函数图象）为基础，探求几何图形的变化规律；
★你必须记住的考点
1、与函数有关的极值和面积问题
2、函数与直线型结合
3、函数与三角函数、方程结合
★你必须掌握的方法
数形结合思想、分类讨论思想、方程思想。
【例题分析】
（2014?益阳，第21题，12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．
（1）求AD的长；
（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．
（2013?黔西南州压轴题）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．
（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2013?莱芜压轴题）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第八讲：二次函数-特殊三角形
[构成等腰三角形]
2（2013?宁夏）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，
与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为
（0，3）它的对称轴是直线x=
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三
角形时，求M点的坐标．
3（2013安顺压轴题）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．
【直角三角形】
4(2014?德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
5（2013鞍山压轴题）如图，已知一次函数y=+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c 的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）设一次函数y=+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．
6（2014?毕节地区）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（﹣1，﹣1），与x轴交点M（1，0）．C为x轴上一点，且∠CAO=90°，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点F（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线Ac的解析式及B点坐标；
（3）过点B做x轴的垂线，交x轴于Q点，交过点D（0，﹣2）且垂直于y轴的直线于E 点，若P是△BEF的边EF上的任意一点，是否存在BP⊥EF？若存在，求P点的坐标，若不存在，请说明理由．
7（2014年山东泰安，）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两
点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．
第九讲：二次函数-平行四边形
1（2013?钦州压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA．
（1）求点A的坐标和∠AOB的度数；
（2）若将抛物线y=x2+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m，其顶点为点C．连接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′．试判断其形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，判断点C′是否在抛物线y=x2+2x上，请说明理由；
（4）若点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q，使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2（2013?咸宁压轴题）如图，已知直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB 绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．
（1）点C的坐标是线段AD的长等于；
（2）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x2+bx+c经过点G，M，求抛物线的解析式；
（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由．
3（2013?遂宁压轴题）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B （0，）．直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．
（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；
（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC 是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l 与x的函数关系式，并求出l的最大值．
4(2013河南省压轴题)如图，抛物线
2
y x bx c
=-++与直线
1
2
2
y x
=+交于,C D两点，其
中点C在y轴上，点D的坐标为
7
(3,)
2
。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作
PE x
⊥轴于点E，交CD于点F.（1）求抛物线的解析式
（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。（3）若存在点P ，使45PCF ∠=?，请直接写出相应的点P 的坐标
5（2014?济宁）如图，抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A （5，0）、B （﹣1，0）两点，过点A 作直线AC ⊥x 轴，交直线y =2x 于点C ； （1）求该抛物线的解析式；
（2）求点A 关于直线y =2x 的对称点A ′的坐标，判定点A ′是否在抛物线上，并说明理由； （3）点P 是抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段CA ′于点M ，是否存在这样的点P ，使四边形PACM 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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