线性规划应用题 1．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18吨，求该企业可获得最大利润。
解析：设甲、乙种两种产品各需生产 x 、 y 吨，可使利润 z 最大，故本题即 已知约束条件 0018 3 213 3yxy xy x，求目标函数 y x z 3 5 的最大值，可求出最优解为 43yx，故 27 12 15max z 。
2. 某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140件,求所需租赁费的最少值. 【解析】：设甲种设备需要生产 x 天, 乙种设备需要生产 y 天, 该公司所需租赁费为 z 元,则 200 300 z x y ，甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品的情况为下表所示：
产品
设备
A 类产品
(件)(≥50)
B 类产品
(件)(≥140)
租赁费
(元)
甲设备
5
10
200
乙设备
6
20
300
则满足的关系为5 6 5010 20 1400, 0x yx yx y 即：61052 140, 0x yx yx y , 作出不等式表示的平面区域,当 200 300 z x y 对应的直线过两直线61052 14x yx y 的交点(4,5)时，目标函数 200 300 z x y 取得最低为 2300 元.
答案：2300 3. 某人上午 7 时，乘摩托艇以匀速 v n mile/h（4≤v≤20）从 A 港出发到距 50 n mile 的 B港去，然后乘汽车以匀速 w km/h（30≤w≤100）自 B 港向距 300 km 的 C 市驶去新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com 应该在同一天下午 4 至 9 点到达 C 市新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com 设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是 x h、y h （1）作图表示满足上述条件的 x、y 范围； （2）如果已知所需的经费 p=100+3×（5－x）+2×（8－y）（元）， 那么 v、w 分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元? 分析：由 p=100+3×（5－x）+2×（8－y）可知影响花费的是 3x+2y 的取值范围 解：（1）依题意得 v=y50，w=x300，4≤v≤20，30≤w≤100 ∴3≤x≤10，25≤y≤225
① 由于乘汽车、摩托艇所需的时间和 x+y 应在 9 至 14 个小时之间， 即 9≤x+y≤14
② 因此，满足①②的点（x，y）的存在范围是图 中阴影部分（包括边界）
（2）∵p=100+3·（5－x）+2·（8－y）， ∴3x+2y=131－p 设 131－p=k，那么当 k 最大时，p 最小新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com 在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为－23的直线 3x+2y=k 中，使 k 值最大的直线必通过点（10，4），即当 x=10，y=4 时，p 最小 此时，v=12新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com 5，w=30，p 的最小值为 93 元 点评：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com 然后分析要求量的几何意义 4. 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com 已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：(表中单位:百元) 资
金 单位产品所需资金 月资金供应量 空调机 洗衣机 成
本 30 20 300 劳动力:工资 5 10 110 单位利润 6 8
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少? 解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x、y 台，总利润是 P，则 P=6x+8y，由题意有 30x+20y≤300，5x+10y≤110，x≥0，y≥0，x、y 均为整数新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com
由图知直线 y=－43x+81P 过 M（4，9）时，纵截距最大新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com 这时 P 也取最大值 P max =6×4+8×9=96（百元）新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com
故当月供应量为空调机 4 台，洗衣机 9 台时，可获得最大利润 9600 元新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com
3 9 10 14 x O 2.5 9 14 y
5. 某矿山车队有 4 辆载重量为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 t 的乙型卡车，有 9 名驾驶员新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com 此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com 已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次，乙型卡车每辆每天可往返 8 次新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com 甲型卡车每辆每天的成本费为 252 元，乙型卡车每辆每天的成本费为160 元新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com 问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低? 分析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com
解：设每天派出甲型车 x 辆、乙型车 y 辆，车队所花成本费为 z 元，那么 910 6 6 8 3604,7,x yx yx x Ny y N z=252x+160y， 作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com
作出直线 l 0 ：252x+160y=0，把直线 l 向右上方平移， 使其经过可行域上的整点，且使在 y 轴上的截距最小新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com 观察图形，可见当直线 252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com
此时，z=252x+160y 取得最小值，即 x=2，y=5 时，z min =252×2+160×5=1304新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com
答：每天派出甲型车 2 辆，乙型车 5 辆，车队所用成本费最低新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com
解题回顾 :用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系 f（x，y）=t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com
6. 某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每 100 g 含蛋白质 6 个单位，含淀粉 4 个单位，售价 0新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com 5 元，米食每 100 g 含蛋白质 3 个单位，含淀粉 7 个单位，售价 0新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com 4 元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少? 解：设每盒盒饭需要面食 x（百克），米食 y（百克）， 所需费用为 S=0新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com 5x+0新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com 4y，且 x、y 满足 6x+3y≥8，4x+7y≥10，x≥0，y≥0， 由图可知，直线 y=－45x+25S 过 A（1513，1514）时，纵截距25S 最小，即 S 最小 故每盒盒饭为面食1513百克，米食1514百克时既科学又费用最少新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com
7. 配制 A、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂 A 种药需甲料 3 mg，乙料 5 mg；配一剂 B 种药需甲料 5 mg，乙料 4 mg 今有甲料 20 mg，乙料 25 mg，若 A、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法? 解：设 A、B 两种药分别配 x、y 剂（x、y∈N），则 x≥1，y≥1，3x+5y≤20，5x+4y≤25 上述不等式组的解集是以直线 x=1，y=1，3x+5y=20 及 5x+4y=25 为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1）所以，在至少各配一剂的情况下，共有 8 种不同的配制方法 8. 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表：
7
4
o
y
5x+4y=30 x+y=9 x
每张钢板的面积为：第一种 1m 2 ，第二种 2 m 2 ，今需要 A、B、C 三种规格的成品各 12、15、27 块，问各截这两种钢板多少张，可得所需的三种规格成品，且使所用钢板面积最小？ 解：设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张，所用钢板面积为 z m 2 ，则有：
N y x y xy xy xy x, , 0 , 027 315 212， y x z 2 ， 作出可行域，得1l 与3l 的交点为 A（215,29）， 当直线 y x z 2 过点 A 时 z 最小，但 A 不 是整点，而在可行域内，整点（4，8）和 （6，7）都使 z 最小，且 20 7 2 6 8 2 4min z ，所以应分别截第一、第二种钢板 4 张、8 张，或 6 张、7张，能满足要求.
块数
规格 种类 A B C 第一种钢板
1 2 1 第二种钢板 1 1 3 8
l 1 12
28
l 2 x y l 3 O
12
16
A
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