6.3.2
平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3
平面向量加 、 减运算的坐标表示 学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示.
知识点一 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 知识点二 平面向量的坐标表示 1.在平面直角坐标系中，设与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为 i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得 a＝xi＋yj.平面内的任一向量 a 都可由 x，y 唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a 的坐标，记作 a＝(x，y). 2.在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). 思考 点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？ 答案 区别 表示形式不同 向量 a＝(x，y)中间用等号连接，而点 A(x，y)中间没有等号 意义不同 点 A(x，y)的坐标(x，y)表示点 A 在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
知识点三 平面向量加、减运算的坐标表示 设 a＝(x 1 ，y 1 )，b＝(x 2 ，y 2 )，
数学公式 文字语言表述 向量加法 a＋b＝(x 1 ＋x 2 ，y 1 ＋y 2 ) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a－b＝(x 1 －x 2 ，y 1 －y 2 ) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量
相应坐标的差
已知点 A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，那么向量AB→ ＝(x2 －x 1 ，y 2 －y 1 )，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
1.零向量的坐标是(0,0).( √ ) 2.两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.( × ) 3.当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( √ ) 4.向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化.( × )
一、平面向量的坐标表示 例 1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，OA→＝a，AB→ ＝b.四边形 OABC 为平行四边形.
(1)求向量 a，b 的坐标； (2)求向量BA→ 的坐标； (3)求点 B 的坐标. 解 (1)作 AM⊥x 轴于点 M，
则 OM＝OA·cos 45° ＝4×22＝2 2， AM＝OA·sin 45° ＝4×22＝2 2.
∴A(2 2，2 2)，故 a＝(2 2，2 2). ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， ∴∠COy＝30°. 又∵OC＝AB＝3， ∴C － 32 ，3 32，∴AB→ ＝OC →＝ － 32 ，3 32， 即 b＝ － 32 ，3 32. (2)BA→ ＝－AB → ＝32 ，－3 32. (3)OB→＝OA→＋AB→ ＝(2 2，2 2)＋－ 32 ，3 32 ＝ 2 2－ 32 ，2 2＋3 32. ∴点 B 的坐标为 2 2－ 32 ，2 2＋3 32. 反思感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标. 跟踪训练 1 已知点 M(5，－6)，且MN→＝(－3,6)，则 N 点的坐标为________. 答案 (2,0) 解析 ∵MN→＝(－3,6)，设 N(x，y)， 则MN→＝ON→－OM→＝(x－5，y＋6)＝(－3,6). ∴ x－5＝－3，y＋6＝6，解得 x＝2，y＝0.即 N(2,0). 二、平面向量加、减运算的坐标表示 例 2 已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC→ ＝(－4，－3)，则向量BC → 等于(
) A.(－7，－4)
B.(7,4) C.(－1,4)
D.(1,4) 答案 A 解析 设 C(x，y)，则AC→ ＝OC →－OA→＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 即 x＝－4，y＝－2， 故 C(－4，－2)，则BC→ ＝OC →－OB→＝(－7，－4). 反思感悟 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. 跟踪训练 2 在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB→ ＝(2,4)，AC → ＝(1,3)，求BD →的坐标. 解 ∵AC→ ＝AB → ＋AD →， ∴AD→＝AC→ －AB → ＝(－1，－1)， ∴BD→＝AD→－AB→ ＝(－3，－5).
1.已知向量 a＝(1,2)，b＝(3,1)，则 b－a 等于(
) A.(－2,1)
B.(2，－1) C.(2,0)
D.(4,3) 答案 B 解析 由题意得 b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1). 2.已知向量OA→＝(3，－2)，OB→＝(－5，－1)，则向量AB→ 的坐标是(
) A. －4， 12
B. 4，－ 12 C.(－8,1)
D.(8,1) 答案 C 解析 AB→ ＝OB →－OA→＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1). 3.若 A(3,1)，B(2，－1)，则BA→ 的坐标是(
) A.(－2，－1)
B.(2,1) C.(1,2)
D.(－1，－2) 答案 C 解析 BA→ ＝OA →－OB→＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2). 4.若向量BA→ ＝(2,3)，CA → ＝(4,7)，则BC → ＝________. 答案 (－2，－4) 解析 BC→ ＝BA → ＋AC → ＝BA → －CA → ＝(2,3)－(4,7) ＝(－2，－4). 5.若 a＝(－2,2)，b＝(3，－4)，c＝(1,5)，则 a＋b＋c＝________. 答案 (2,3) 解析 a＋b＋c＝(－2＋3＋1,2－4＋5)＝(2,3).
1.知识清单：
(1)平面向量的正交分解及坐标表示. (2)平面向量加、减运算的坐标表示. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：已知 A，B 两点求AB→ 的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标.
1.已知 M(2,3)，N(3,1)，则NM→的坐标是(
) A.(2，－1)
B.(－1,2) C.(－2,1)
D.(1，－2) 答案 B 解析 NM→＝OM→－ON→＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2). 2.已知 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则 a－b 等于(
) A.(1,2)
B.(2,0) C.(0,2)
D.(2,1) 答案 C 解析 a－b＝(1,1)－(1，－1)＝(0,2). 3.已知四边形 ABCD 为平行四边形，其中 A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，则顶点 D 的坐标为(
) A.(－7,0)
B.(7,6) C.(6,7)
D.(7，－6) 答案 D 解析 设 D(x，y)，因为AD→＝BC→ ， 所以(x－5，y＋1)＝(2，－5)， 所以 x＝7，y＝－6. 所以 D(7，－6). 4.设AB→ ＝(2,3)，BC → ＝(m，n)，CD →＝(－1,4)，则DA→等于(
) A.(1＋m,7＋n)
B.(－1－m，－7－n) C.(1－m,7－n)
D.(－1＋m ，－7＋n) 答案 B
解析 DA→＝DC→＋CB→ ＋BA →
＝－CD→－BC→ －AB →
＝－(－1,4)－(m，n)－(2,3) ＝(－1－m，－7－n). 5.已知 M(－2,7)，N(10，－2)，点 P 是线段 MN 上的点，且PN→ ＝MP →，则 P 点的坐标为(
) A.(－14,16)
B.(22，－11) C.(6,1)
D. 4， 52 答案 D 解析 设 P(x，y)，则PN→ ＝(10－x，－2－y)， MP→＝(x＋2，y－7)， ∵PN→ ＝MP →，即 10－x＝x＋2，－2－y＝y－7，∴ x＝4，y＝ 52 . 6.已知平行四边形 OABC，其中 O 为坐标原点，若 A(2,1)，B(1,3)，则点 C 的坐标为________. 答案 (－1,2) 解析 设点 C 的坐标为(x，y)，则由已知得OC→＝AB→ ， 所以(x，y)＝(－1,2). 7.已知 A(2,0)，a＝(x＋3，x－3y－5)，若 a＝OA→，其中 O 为原点，则 x＝________，y＝________. 答案 －1 －2 解析 由题意知 x＋3＝2，x－3y－5＝0，解得 x＝－1，y＝－2. 8.已知平面上三点 A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则AC→ ＋BC → 的坐标是________. 答案 (－18,18) 解析 AC→ ＋BC → ＝(－8－2,10－(－4))＋(－8－0,10－6) ＝(－10,14)＋(－8,4)＝(－18,18). 9.在平面直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标.
解 设 a＝(a 1 ，a 2 )，b＝(b 1 ，b 2 )， c＝(c 1 ，c 2 )， 则 a 1 ＝|a|cos 45°＝2×22＝ 2， a 2 ＝|a|sin 45°＝2×22＝ 2， b 1 ＝|b|cos 120°＝3× － 12＝－ 32 ， b 2 ＝|b|sin 120°＝3×32＝ 3 32， c 1 ＝|c|cos(－30°)＝4×32＝2 3， c 2 ＝|c|sin(－30°)＝4× － 12＝－2. 因此 a＝( 2， 2)，b＝ － 32 ，3 32，c＝(2 3，－2). 10.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,1)，B(2,3)，C(3，2).若PA→ ＋PB → ＋PC → ＝0，求OP →的坐标. 解 设点 P 的坐标为(x，y)， 因为PA→ ＋PB → ＋PC → ＝0， 又PA→ ＋PB → ＋PC → ＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y). 所以 6－3x＝0，6－3y＝0，解得 x＝2，y＝2. 所以点 P 的坐标为(2,2)，故OP→＝(2,2).
11.已知向量 a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且 a∥b，那么 a－b 等于(
) A.(4,0)
B.(0,4)
C.(3，－6)
D.(－3,6) 答案 C 解析 ∵a∥b，∴设 a＝λb， 则 1＝mλ，－2＝4λ，得 λ＝－ 12 ，m＝－2， ∴b＝(－2,4)， ∴a－b＝(1，－2)－(－2,4)＝(3，－6).
12.向量AB→ ＝(7，－5)，将AB → 按向量 a＝(3,6)平移后得到向量A′B′ ——→，则A′B′——→的坐标形式为(
) A.(10,1)
B.(4，－11) C.(7，－5)
D.(3,6) 答案 C 解析 A′B′——→与AB→ 方向相同且长度相等， 故A′B′——→＝AB→ ＝(7，－5). 13.已知 A 32 ，72，B(1,4)，且AB→ ＝(sin α，cos β)，α，β∈－ π2 ，π2，则 α＋β＝________. 答案 π6 或－π2
解析 由题意知AB→ ＝－ 12 ，12＝(sin α，cos β)， ∴sin α＝－ 12 ，cos β＝12 ， 又∵α，β∈ － π2 ，π2， ∴α＝－ π6 ，β＝π3 或－π3 ， ∴α＋β＝ π6 或－π2 .
14.将向量 a＝(－2 3，－2)绕坐标原点逆时针旋转 120°得到向量 b，则 b 的坐标为________. 答案 (2 3，－2) 解析 易知 a 与 x 轴正半轴的夹角为 150°， 逆时针旋转 120°得到向量 b 在第四象限， 与 x 轴正半轴夹角为 30°，∴b＝(2 3，－2). 15.已知平面上三点的坐标分别为 A(－2,1)，B(－1,3)，C(3，4)，求点 D 的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点. 解 设 D(x，y)，当平行四边形为 ABCD 时， 由AB→ ＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y)， 且AB→ ＝DC →，得 D(2,2). 当平行四边形为 ACDB 时， 由AB→ ＝(1,2)，CD →＝(x－3，y－4)，且AB→ ＝CD →， 得 D(4,6).
当平行四边形为 ACBD 时， 由AC→ ＝(5,3)，DB →＝(－1－x,3－y)，且AC→ ＝DB →. 得 D(－6,0). 故 D 点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0).
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