1 第七节 空间角与距离 考纲解读 1. 掌握各种角的定义，弄清异面直线所成的角与两直线所成的角，二面角与二面角的平面角，直线与平面所成的角和斜线与平面所成的角，二面角与两平面所成的角的联系与区别 ，弄清他们各自的取值范围 。
2. 细心体会求空间角的转化和数形结合思想，熟练掌握平移，射影等方法。
命题趋势探究
异面直线所成角，线面角，二面角时高考中考查的热点，解答与空间角有关的问题时既可用传统法，又可用向量法。在新课程标准下，对立体几何的基本理论知识要求有所降低，因此应用向量这一工具解题更为重要，特别是要熟练掌握利用空间图形的特殊性，构造适当的空间直角坐标系解决问题的方法，并能灵活应用。
空间角是立体几何中的一个重要概念，它是空间图形的一个突出量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故以高频的考点出现在历届高考试题中，在选择题，填空题及解答题中均有出现。
知识点精讲 一、 空间角的定义和范围 （1）
两条异面直线所成角 θ 的范围是 0 ]2（， ，当 θ=2时，这两条异面直线互相垂直。
（2）
斜线 AO 与它在平面 α 内的
所成角θ 叫做直线与平面所成的角。
平面的斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一直线所成角中最
的角，如果直线和平面垂直，那么直线与平面所成的角为2；如果直线和平面平行或直线在平面内，那么就是直线和平面所成的角为0.直线和平面所成的角的范围为
；斜线和平面所成的角的范围为
（3）
从一条直线出发的两个半平面所组成的角叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，棱为 l ，两个平面分别为 α，β 的二面角记做α- l
-β，二面角的范围是
（4）
一个平面垂直于二面角的公共棱 l ，且与两个半平面的交线分别是射线 OA，OB，则∠AOB叫做二面角的平面角，平面角是直角的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的两个平面垂直。
二、 点到平面距离的定义 点到平面的距离即点到它在平面内的
的距离。
题型归纳及思路提示 型 题型 118 空间角的计算
思路提示
求解空间角如异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角的平面角的大小；常用的方法有：（1）定义法；（2）选点平移法；（3）垂线法：（4）垂面法；（5）向量法。
一、异面直线所成的角
方法一：通过选点平移法将异面直线所成的角转化为共面相交的两直线的夹角来求解，但要注意两条异面直线所成角的范围是 0 ]2（， 。
方法二：向量法，设异面直线 a 和 b 的方向向量为 a 和 b ，利用夹角余弦公式可求得 a 和 b 的夹角大小α，且| |cos cos , ||| |a b=| a b|a b 。
例 例 8.59 【2018 高考新课标Ⅰ理】平面 α 过正方体ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 的顶点 A， α //平面 CB 1 D 1 ， αI平面 ABCD=m， αI 平面 ABB 1
A 1 =n，则 m，n 所成角的正弦值为 A32
B22
C33
D13
式 变式 1 如图 8-219 所示,在长方体1 1 1 1ABCD ABC D 中 ,11, 2 AB AD AA , M 是 棱1CC 的中点,求异面直线1AM 和1 1C D所成的角的正切值.
2 式 变式 2
如图 8-220 所示,在三棱柱1 1 1ABC ABC 中, H 是正方形1 1AAB B 的中心,1 12 2, AA C H 平面1 1AAB B ,15 C H ,求异面直线AC与1 1A B 所成角的余弦值.
例 例 8.60 （2017 全国Ⅱ卷理）已知直三棱柱1 1 1ABC ABC 中， 120 ABC ， 2 AB ，11 BC CC ，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为(
) A. 32
B. 155
C. 105
D. 33
变式１ 如图８－２２４所示，已知正方体1 1 1 1ABCD ABC D ，点 Ｅ 是正方形1 1BCC B 的中心，点Ｇ 是棱1AA 的中点，设1 1, E G 分别是 Ｅ，Ｇ 在平面1 1DCC D 内的正投影。求异面直线1 1EG 与ＥＡ所成角的正弦值。
式 变式 2 如图 8-225 所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点。已知AB=2,AD= 2 2 ,PA=2.求异面直线BC与AE所成的角的大小.
二、直线与平面所成的角
方法一:(垂线法)直线与平面所成的角就是直线与此直线在平面内的射影直线所成的角.过直线上一点作出平面的垂线,得到垂足,而射影直线就通过斜足与垂足,因此作出平面的垂线是必要的一步.具体步骤是:①先作出该角;②在直角三角形中求解.
方法二:(向量法)直线与平面所成的角为直线的方向向量与平面的法向量所成的锐角的余角.
如图 8-226 所示，设直线 l 的方向向量为1l ，平面α 的法向量为 n ，直线 l 和平面 α 所成的角为 θ ，则<1l , n >+ θ =2,或<1l , n >- θ =2,因为 θ 的取值范围是
3 [0, ]2，所以111sin |cos , || || |l nl nl n .
方法三：（点面距法）利用相关方法求出直线上一点到平面的距离 d，再求出此点与斜足间的距离 l,设直线和平面所成角的大小为 θ ，则 sindl .
例 例 8.61 （2017 天津文 17）如图，在四棱锥 P ABCD 中， AD 平面 PDC ， AD ∥ BC ， PD PB ， 1 AD ，3 BC ， 4 CD ， 2 PD
（Ⅰ）求异面直线 AP 与 BC 所成的角的余弦值 （Ⅱ）求证：
PD 平面 PBC
（Ⅲ）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值
式 变式 1 如图 8-229 所示，在棱长为 2 的正方体1 1 1 1ABCD ABC D 中，点 E 是1BC 的中点.求 DE 与平面 ABCD 所成角的正切值.
式 变式 2 如图 8-230 所示，在三棱锥 V-ABC 中，VC⊥底面 ABC，AC⊥BC，点 D 是 AB 的中点，且 AC=BC=α ，∠VDC= (0 )2 .当 变化时,求直线 BC 与平面 VAB 所成角的取值范围.
式 变式3 如图8-231所示,在Rt△AOB中，∠AOB=6,斜边 AB=4,Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB以AO为轴旋转得到，且二面角 B-AO-C 是直二面角，动点 D 在斜边 AB上， 求 CD 与平面 AOB 所成角正切的最大值.
ABCDP
4
三、二面角的平面角
求二面角的平面角的方法有：(1)根据定义，即在公共棱上取一点分别在两个半平面内作棱的垂线，两条垂线所成的角即为二面角的平面角；（2）利用三垂线定理及其逆定理；（3）当二面角由两个等腰三角形构成时，利用底边的额两条中线；（4）求正棱锥侧面夹角时利用三角形全等；（5）在直棱柱中求截面与底面夹角时，用二面角的面积射影定理 |cos | S S 射 斜，其中 为二面角的大小;(6)利用空间向量求解二面角，转化为两个平面的法向量夹角，公共棱不明显的二面角常用此法来求，但应注意法向量1n ，2n 的夹角与二面角 的大小是相等或互补的（需要根据具体情况判断想等或互补）。
例 例 8.62 .（2017 全国Ⅱ卷理）如图，四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，12AB BC AD ，090 BAD ABC ，E 是 PD的中点。
（1）证明：直线 CE∥平面 PAB； （2）点 M 在棱 PC 上，且直接 BM 与底面 ABCD 所成角为 45 0 ，求二面角 M AB D 的余弦值.
式 变式 1 如图 8-234 所示,在四面体 OABC 中，OC⊥OA, OC⊥OB,∠AOB=120°，且 OA=OB=OC=1,求二面角 O-AC-B 的平面角的余弦值.
式 变式2 如图8-235所示,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面 ABCD， SD= 2a ，AD= 2 0 a a （ ）
。点 E 是 SD 上的点，且DE= (0 2) a 。
设二面角 C-AE-D 的大小为 ，直线 BE 与平面 ABCD所成角为 ，若 tan tan 1 ，求
值。
式 变式 3 如图 8-236 所示，正方形 ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF ∥AC,AB 2 ,CE 1 EF ,二面角 A-BE-D 的大小.
5
例 例 8.63（2017 天津理）如图，在三棱锥 P ABC 中，PA 平面 ABC ， 90 BAC ，点 , , D E N 分别为棱, , PA PC BC 的 中 点 ， M 是 线 段 AD 的 中 点 ，4 PA AC ， 2 AB
（Ⅰ）求证：
MN ∥平面 BDE
（Ⅱ）求二面角 C EM N 的正弦值 （Ⅲ）已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成的角的余弦值为721，求线段 AH 的长
式 变式 1 如图 8-239 所示，四棱锥 S-ABCD 中 ， SD⊥平面 ABCD,AB ∥ DC,AD⊥DC ， AB=AD=1 ， DC=SD=2，E 为棱 SD 上的一点，平面 EDC⊥平面 SBC ， 求二面角A-DE-C 的大小。
式 变 式 2 如 图 8-240 所 示 ， 已 知 正 三 棱 柱1 1 1ABC ABC 的各棱长都是 4，E 是 BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点 C 重合，设二面角 C-AF-E的大小为 ，求 tan 的最小值。
式 变式 3 如图 8-241 所示，在三棱锥 P-ABC 中，AB=AC ， D 为 BC 的中点，PO⊥平面 ABC ， 垂足 O 落在线段 AD 上.若 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2,求二面角B-AP-C 的大小.
例 例 8.64（2016 年新课标 I 理 18）如图，在已 A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，90 AFD ，且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60 ． （I）证明平面 ABEF EFDC； （II）求二面角 E-BC-A 的余弦值．
ABCPENDM
6 式 变式 1 如图 8-244 所示，四棱锥 P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD,PD⊥底面 ABCD 。
若 PD=AD ， 求二面角 A-PB-C 的余弦值.
变式 2 如图 8-245 所示，在四棱锥 P-ABCD 中， PA平面 ABCD，底面 ABCD 为棱形，AB=2，060 BAD ,当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长。
变式 3 如图 8-246 所示，四棱锥 P-ABCD 中， PA 平面 ABCD，BC=CD=2,AC=4, 060 ACB ACD ,F 为 PC 的中点， PB AF . (1)求 PA 的长； (2)求二面角 B-AF-D 的正弦值。
变式 4 如图 8-247 所示，四棱柱 ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 的底面 ABCD 是正方形，O 为底面中心， 1OA 平面 ABCD，21 AA AB , (1)证明：
D D BB C A1 1 1平面 ; (2)求平面1OCB 与平面 D D BB1 1的夹角 的大小。
型 题型 119
点到平面距离的计算 思路提示
求解点到平面的距离，常用方法有: (1)定义法，作出点到免的垂线，，垂线段的长度就是点到平面的距离，通常是借助某个直角 三角形来求解。
(2)转化法，利用等体积法或者线面平行的位置关系，将点 A 到平面 的距离转化为与其相 关的点 B 到平面 的距离。
(3)向量法，点 P 为平面 外一点，点 Q 为平面 上的任一点， n 为平面 的法向量，点 P 到平面 的距离| || |nn PQd 。
7 例 8.65 如图 8-248 所示，在三棱锥 P-ABC 中，AC=BC=2,090 ACB ,AP=BP=AB, AC PC ,求点 C 到平面 PAB 的距离。
变式 1
如图 8-250 所示，在四棱锥 O-ABCD 中，底面ABCD 是边长为 1 的棱形，045 ABC ，ABCD OA 底面 ,OA=2,求点 B 到平面 OCD 的距离。
变式 2 如图 8-251 所示，四棱锥 P-ABCD 为矩形，6 , AB PA ABCD PA 底面 ，求直线 AD与平面 PBC 的距离。
例 8.66
如图 8-252 所示，正三棱柱 ABC－A 1 B 1 C 1 的所有棱长都为 2，D 为 CC 1 的中点，求 点 C 到平面 A 1 BD 的距离。
变式 1 如图 8-253 所示，在四棱锥 P-ABCD 中，090 , // , 1 , BCD CD AB BC DC PD ABCD PD 底面,点 A 到平面 PBC 的距离.
8
变式 2
如图 8-254 所示，三角形 BCD 与三角形 MCD都市边长为 2 的正三角形，平面 MCD
平面 BCD，AB 面 BCD， 3 2 AB ，求点 A 到平面MBC 的距离。
例 8.67 如图 8-255 所示，在直三棱柱 ABC－A 1 B 1 C 1 中，底面是等腰直角三角形，且 AC=2， 090 ACB ,侧棱 AA 1 =2,D,E 分别是 CC 1 与 A 1 B 的中点。求点 A 1 到平面 AED 的距离。
变式 1
如图 8-257 所示，已知 ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 是底面边长为 1 的正四棱柱，O 1 为 A 1 C 1 与 B 1 D 1 的交点，若点 C 到平面 AB 1 D 1 的距离为34，求正四棱柱 ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 的高。
变 式 2
如 图 8-258 所 示 ， 四 棱 锥 P-ABCD 中, ABCD PA 底面 四边形 ABCD 中， AD AB,AB+AD=4,045 , 2 CDA CD ,AB=AP。
（1）若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为030 ，求线段AB 的长； （2）在线段 AD 上是否存在一个点 G，使得点 G 到点P,B,C,D 的距离相等？说明理由。
9 最有效训练题 37 （限时 5 45 分钟）
1.正方体ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 中AB=A 1 A=2,AD=1,E为CC 1
的中点，则异面直线 BC 1
与 AE 所成角的余弦值为（
）
1010. A
1030. B
1015 2. C
1010 3. D
2.如图 8-259 所示，在正三棱柱 ABC－A 1 B 1 C 1 中，AB=A 1 A，则 AC 1
与平面 BCC 1 B 1 所成 角的正弦值为（
）
22. A
515. B
46. C
36. D
3.已知两平面的法向量分别为 ), 0 , 1 , 0 ( m ), 1 , 1 , 0 ( n ，则两平面所成的二面角为（
）
045 . A
01 3 5 . B
0 0135 45 . 或 C
090 . D
4.二面角的棱上有 A,B 两点，直线 AC,BD 分别在这个二面角的两个面内，且都垂直与 AB， 已知 AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 17 ,则该二面角的大小为（
）
0150 . A
045 . B
060 . C
0120 . D
5.如图8-260所示，正方体ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为1，O 为底面 A 1 B 1 C 1 D 1 的中心，则点 O 到平面 ABC 1 D 1 的距离为（
）
21. A
42. B
22. C
23. D
6.正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 2，高为 3，E,F 分别为 PC,PD 的中点，则异面直线 AC 与
EF 的距离为（
）
21. A
23. B
33 2. C
32. D
7
.如图 8-261 所示，在正方体 ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 中， M,N 分别为 CD,CC 1 的中点，则异面直线 A 1 M 与 DN 所成角的大小为
8
.如图8-262所示，已知正三棱柱ABC－A 1 B 1 C 1 的 所有棱长都相等，D 是 A 1 C 1 的中点，则直线 AD 与 平面 B 1 CD 所成角的正弦值为
10 9.
在棱长为 2 的正方体 ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 中，G 为 A 1 A 的中点，则直线 BD 与平面 GB 1 D 1 的距离为
.
10. 如 图 8-263 ， 三 棱 柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中, 3 , 2 ,1 1 AA AC BC ABC A A 面 ,D 为 AC 的中点，则二面角 C BD C 1的余弦值为
B76UIFV77I NBI 11. 88
11. 如 图 8-264 所 示 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ，, , , P A A B C D A C A D A B B C 平面
045 BAC ,PA=AD=2,AC=1; (1)求证：
AD PC ； (2)求二面角 D PC A 的正弦值； (3)设 E 为棱 PA 上的点，满足异面直线 BE 与 CD 所成角为 (4)030 ，求 AE 的长。
12.如图 8-265 所示，在正三棱柱 ABC－A 1 B 1 C 1 中，底面边长为 a ，侧棱长为 a22，D 是棱 A 1 C 1 的中点。
（1）求证：
D AB BC1 1 //面； （2）求二面角 D AB A 1 1的大小； HFD T(3)求点1C 到平面 D AB 1 的距离.
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