数理统计考试试卷
一、填空题(本题１5 分，每题 3 分）
1、总体 ) 3 , 20 ( ~ N X 的容量分别为 10,15 的两独立样本均值差 ~ Y X _＿____＿_； ２、设16 2 1,..., , X X X 为取自总体 ) 5 . 0 , 0 ( ~2N X 的一个样本，若已知 0 . 32 ) 16 (201 . 0 ,则} 8 {1612iiX P =_____＿__； 3、设总体 ) , ( ~2 N X ，若 和2 均未知, n 为样本容量，总体均值 的置信水平为 1 的置信区间为 ) , ( X X ，则 的值为＿___＿_＿＿;
4、设nX X X ,..., ,2 1为取自总体 ) , ( ~2 N X 的一个样本，对于给定的显著性水平 ，已知关于2 检验的拒绝域为 2 ≤) 1 (21n ,则相应的备择假设1H 为_____＿＿_； 5 、 设 总 体 ) , ( ~2 N X ,2 已 知 , 在 显 著 性 水 平 0.05 下 ， 检 验 假 设0 0 : H ,0 1 : H ，拒绝域是＿___＿___。
１、 )210 ( ， N ; 2、0。０1; 3、nSn t ) 1 (2； 4、202 ; 5、05 . 0z z 。
二、选择题（本题 15 分,每题 3 分）
ﻩ１、设3 2 1, , X X X 是取自总体 X 的一个样本， 是未知参数，以下函数是统计量的为（
）. (Ａ）
) (3 2 1X X X
（B)3 2 1X X X
（C）3 2 11X X X
（D)231) (31 iiX
2、设nX X X , . . . , ,2 1为取自总体 ) , ( ~2 N X 的样本， X 为样本均值，212) (1X XnSinin ,则服从自由度为 1 n 的 t 分布的统计量为(
). （A） ）
X n(
（B）nSX n ) (
（C） ）
X n ( 1
（D）nSX n ) ( 1 3、设nX X X , , ,2 1 是来自总体的样本，2) ( X D 存在， 212) (11X XnSini, 则（
)。
(A）2S 是2 的矩估计 （ ﻩ ）Ｂﻩ2S 是2 的极大似然估计
（C)2S 是2 的无偏估计和相合估计（ ）Dﻩ2S 作为2 的估计其优良性与分布有关 4、设总体 ) , ( ~ ), , ( ~22 221 1 N Y N X 相互独立，样本容量分别为2 1 ,nn ,样本方差分别为2221 ,SS ,在显著性水平 下，检验2221 12221 0: , : H H 的拒绝域为（
）. （A）
) 1 , 1 (1 22122 n n Fss
（B）
) 1 , 1 (1 2212122 n n Fss (C）
) 1 , 1 (2 12122 n n Fss
（D）
) 1 , 1 (2 1212122 n n Fss
5、设总体 ) , ( ~2 N X ,2 已知, 未知，nx x x , , ,2 1 是来自总体的样本观察值,已知 的置信水平为 0.95 的置信区间为(4．71,5．69），则取显著性水平 05 . 0 时，检验假设0 . 5 : , 0 . 5 :1 0 H H 的结果是（
)。
(A）不能确定
(Ｂ）接受0H
(C）拒绝0H
(Ｄ）条件不足无法检验
1、B; ２、D; 3、C; 4、A; ５、B.
三、(本题 1４分）
设随机变量 X 的概率密度为: 其他xxx f0, 0,2) (2，其中未知 参数 0 ,nX X , ,1 是来自 X 的样本，求（1）
的矩估计;(2）
的极大似然估计。
解:（1）
32 2) ( ) (0 22 x dxx d x f x X E ， 令 32)ˆ( X X E ，得 X23ˆ 为参数 的矩估计量. (２）似然函数为: ) , , 2 , 1 ( , 02 2) , (1212n i x xxx Liniinnniii ， , 而 ) ( L 是 的单调减少函数,所以 的极大似然估计量为 } , , , max{ˆ2 1 nX X X 。
四、（本题１４分）设总体 ) , 0 ( ~2 N X ，且10 2 1 ,x x x 是样本观察值，样本方差 22 s , （1）求2 的置信水平为０．９5 的置信区间；(2)已知 ) 1 ( ~222XY ，求32XD 的置
信水平为０。9５的置信区间；（ 70 . 2 ) 9 (2975 . 0 , 023 . 19 ) 9 (2025 . 0 ）. 解: (１)2 的置信水平为 0。95 的置信区间为) 9 (18,) 9 (182975 . 02025 . 0 ,即为(0．９462,６．666７）； (2）32XD ＝222 2222)] 1 ( [1 1 DXD ； 由于2 322 XD 是2 的单调减少函数，置信区间为2 22,2 , 即为（0。３00０，2.１1３7）。
五、(本题１0 分）设总体 X 服从参数为 的指数分布，其中 0 未知，nX X , ,1 为取自总体 X 的样本, 若已知 ) 2 ( ~221n X Unii ，求: (1）
的置信水平为 1 的单侧置信下限； （2)某种元件的寿命(单位：h）服从上述指数分布，现从中抽得容量为 16 的样本，测得样本均值为 5010(h),试求元件的平均寿命的置信水平为 0。90 的单侧置信下限。) 585 . 42 ) 32 ( , 985 . 44 ) 31 ( (210 . 0205 . 0 。
解:（1）
, 1) 2 (2, 1 ) 2 (222 nX nP nX nP
即 的单侧置信下限为) 2 (22nX n ;（2) 706 . 3764585 . 425010 16 2 .
六、(本题１4 分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度 ) 1 , 10 ( ~ N X ,今阶段性抽取 10 个水样,测得平均浓度为 10．8（ｍg/L)，标准差为１。2（mg/Ｌ），问该工厂生产是否正常？(2 20.025 0.025 0.9750.05, (9) 2.2622, (9) 19.023, (9) 2.700 t ）
解：
（1)检验假设 H 0 ：
２ ＝1, Ｈ1 ：
2 ≠１； 取统计量：2022) 1 (s n ;
拒绝域为：
2 ≤) 9 ( ) 1 (2975 . 0221 n ＝2。70 或 ２ ≥ 2025 . 022) 1 ( n =1９。０23， 经计算：
96 . 1212 . 1 9 ) 1 (22022s n，由于 ) 023 . 19 , 700 . 2 ( 96 . 122 2 ， 故接受 H 0 ，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为 2 ＝１。
（２）检验假设 10 101 0 ：
， ：
H H ；
取统计量:10 /10SXt ～ ) 9 (2t ； 拒绝域为 2622 . 2 ) 9 (025 . 0 t t ； 1028 . 210 / 2 . 110 8 . 10 t <2。２６22 ，所以接受0H， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是１0(mｇ／L）。
综上,认为工厂生产正常。
七、（本题 1０分）设4 3 2 1, , , X X X X 为取自总体 ) 4 , ( ~2 N X 的样本，对假设检验问题5 : , 5 :1 0 H H ，（1）在显著性水平 0。０５下求拒绝域；（2)若 =6,求上述检验所犯的第二类错误的概率 .
解：(1) 拒绝域为 96 . 1254 / 45025 . 0 zx xz ； (2）由(1）解得接受域为（1．０8，8。92），当 =６时，接受0H 的概率为 921 . 026 08 . 126 92 . 8} 92 . 8 08 . 1 { X P .
八、（本题 8 分）设随机变量 X 服从自由度为 ) , ( n m 的 F 分布，（1）证明:随机变量X1服从 自由度为 ) , ( m n 的 F 分布；(2）若 n m ,且 05 . 0 } { X P ，求 }1{ X P 的值。
证明:因为 ) , ( ~ n m F X ,由 F 分布的定义可令n Vm UX// ,其中 ) ( ~ ), ( ~2 2n V m U ， U 与V 相互独立,所以 ) , ( ~// 1m n Fm Un VX 。
当 n m 时, X 与X1服从自由度为 ) , ( n n 的 F 分布,故有 } { X P }1{ X P ， 从而
95 . 0 05 . 0 1 } { 1 }1{ 1 }1{ }1{ X PXPXP X P
。
数理统计试卷参考答案
一、填空题(本题 1５分，每题 3 分）
１、 )210 ( ， N ； ２、0。01; 3、nSn t ) 1 (2； ４、202 ; 5、05 . 0z z . 二、选择题（本题１5 分，每题 3 分) 1、Ｂ； ２、D； 3、Ｃ; 4、A; ５、B。
三、(本题 14 分)解：(１) 32 2) ( ) (0 22 x dxx d x f x X E , 令 32)ˆ( X X E ，得 X23ˆ 为参数 的矩估计量。
（2）似然函数为：
) , , 2 , 1 ( , 02 2) , (1212n i x xxx Liniinnniii ， ,
而 ) ( L 是 的单调减少函数,所以 的极大似然估计量为 } , , , max{ˆ2 1 nX X X 。
四、（本题 1４分)解：
（1）2 的置信水平为 0.95 的置信区间为) 9 (18,) 9 (182975 . 02025 . 0 ,即为(0．9462,6。6667）； (２）32XD =222 2222)] 1 ( [1 1 DXD ； 由于2 322 XD 是2 的单调减少函数，置信区间为2 22,2 , 即为(0。3000，2．113７）。
五、（本题１０分）解：（１）
, 1) 2 (2, 1 ) 2 (222 nX nP nX nP
即 的单侧置信下限为) 2 (22nX n ；(２）
706 . 3764585 . 425010 16 2 。
六、（本题１4 分）解：
（１）检验假设 Ｈ 0 ：
2 =1， H１ ：
2 ≠１; 取统计量：2022) 1 (s n ；
拒绝域为：
2 ≤) 9 ( ) 1 (2975 . 0221 n =2。70 或 ２ ≥ 2025 . 022) 1 ( n =19.0２3， 经计算：
96 . 1212 . 1 9 ) 1 (22022s n,由于 ) 023 . 19 , 700 . 2 ( 96 . 122 ２ , 故接受 Ｈ ０ ,即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为 2 =1。
（2）检验假设 10 101 0 ：
， ：
H H ；
取统计量:10 /10SXt ~ ) 9 (2t ; 拒绝域为 2622 . 2 ) 9 (025 . 0 t t ； 1028 . 210 / 2 . 110 8 . 10 t 〈２．262２ ，所以接受0H， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是 1０(mg/L）。
综上，认为工厂生产正常。
七、（本题 10 分）解:（1）
拒绝域为 96 . 1254 / 45025 . 0 zx xz ； （2）由（１)解得接受域为（1．０8，8.9２)，当 ＝6 时,接受0H 的概率为 921 . 026 08 . 126 92 . 8} 92 . 8 08 . 1 { X P 。
八、（本题 8 分)证明：因为 ) , ( ~ n m F X ,由 F 分布的定义可令n Vm UX// ,其中) ( ~ ), ( ~2 2n V m U ， U 与 V 相互独立，所以 ) , ( ~// 1m n Fm Un VX . 当 n m 时, X 与X1服从自由度为 ) , ( n n 的 F 分布，故有 } { X P }1{ X P ， 从而
95 . 0 05 . 0 1 } { 1 }1{ 1 }1{ }1{ X PXPXP X P
。
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