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数理统计习题
2025-09-02人已围观
数理统计习题
数理统计考试试卷
一、填空题(本题１5 分，每题 3 分）
1、总体 ) 3 , 20 ( ~ N X 的容量分别为 10,15 的两独立样本均值差 ~ Y X ? _＿____＿_； ２、设16 2 1,..., , X X X 为取自总体 ) 5 . 0 , 0 ( ~2N X 的一个样本，若已知 0 . 32 ) 16 (201 . 0? ? ,则} 8 {1612?iiX P=_____＿__； 3、设总体 ) , ( ~2? ? N X ，若 ? 和2? 均未知, n 为样本容量，总体均值 ? 的置信水平为? ? 1 的置信区间为 ) , ( ? ? ? ? X X ，则 ? 的值为＿___＿_＿＿;
4、设nX X X ,..., ,2 1为取自总体 ) , ( ~2? ? N X 的一个样本，对于给定的显著性水平 ? ，已知关于2? 检验的拒绝域为 ?2 ≤) 1 (21n ,则相应的备择假设1H 为_____＿＿_； 5 、 设 总 体 ) , ( ~2? ? N X ,2? 已 知 , 在 显 著 性 水 平 0.05 下 ， 检 验 假 设0 0 :? ? ? H ,0 1 :? ? ? H ，拒绝域是＿___＿___。
１、 )210 ( ， N ; 2、0。０1; 3、nSn t ) 1 (2； 4、202? ? ? ; 5、05 . 0z z ? ? 。
二、选择题（本题 15 分,每题 3 分）
?１、设3 2 1, , X X X 是取自总体 X 的一个样本， ? 是未知参数，以下函数是统计量的为（
）. (Ａ）
) (3 2 1X X X ? ? ?
（B)3 2 1X X X ? ?
（C）3 2 11X X X?
（D)231) (31? ?iiX
2、设nX X X , . . . , ,2 1为取自总体 ) , ( ~2? ? N X 的样本， X 为样本均值，212) (1X XnSinin? ?,则服从自由度为 1 ? n 的 t 分布的统计量为(
). （A） ）
? X n(
（B）nSX n ) ( ? ?
（C） ）
? ? X n ( 1
（D）nSX n ) ( 1 ? ? ? 3、设nX X X , , ,2 1? 是来自总体的样本，2) ( ? ? X D 存在， 212) (11X XnSini?, 则（
)。
(A）2S 是2? 的矩估计 （ ? ）Ｂ?2S 是2? 的极大似然估计
（C)2S 是2? 的无偏估计和相合估计（ ）D?2S 作为2? 的估计其优良性与分布有关 4、设总体 ) , ( ~ ), , ( ~22 221 1? ? ? ? N Y N X 相互独立，样本容量分别为2 1 ,nn ,样本方差分别为2221 ,SS ,在显著性水平 ? 下，检验2221 12221 0: , : ? ? ? ? ? ? H H 的拒绝域为（
）. （A）
) 1 , 1 (1 22122? ? ? n n Fss?
（B）
) 1 , 1 (1 2212122? ? n n Fss? (C）
) 1 , 1 (2 12122? ? ? n n Fss?
（D）
) 1 , 1 (2 1212122? ? n n Fss?
5、设总体 ) , ( ~2? ? N X ,2? 已知, ? 未知，nx x x , , ,2 1? 是来自总体的样本观察值,已知 ?的置信水平为 0.95 的置信区间为(4．71,5．69），则取显著性水平 05 . 0 ? ? 时，检验假设0 . 5 : , 0 . 5 :1 0? ? ? ? H H 的结果是（
)。
(A）不能确定
(Ｂ）接受0H
(C）拒绝0H
(Ｄ）条件不足无法检验
1、B; ２、D; 3、C; 4、A; ５、B.
三、(本题 1４分）
设随机变量 X 的概率密度为: 其他xxx f0, 0,2) (2，其中未知 参数 0 ? ? ,nX X , ,1? 是来自 X 的样本，求（1）
? 的矩估计;(2）
? 的极大似然估计。
解:（1）
?32 2) ( ) (0 22? ? ?x dxx d x f x X E ， 令 ?32)?( ? ? X X E ，得 X23? 为参数 ? 的矩估计量. (２）似然函数为: ) , , 2 , 1 ( , 02 2) , (1212n i x xxx Liniinnniii? ? ? ? ? ? ， , 而 ) ( ? L 是 ? 的单调减少函数,所以 ? 的极大似然估计量为 } , , , max{?2 1 nX X X ? ? ? 。
四、（本题１４分）设总体 ) , 0 ( ~2? N X ，且10 2 1 ,x x x ? 是样本观察值，样本方差 22? s , （1）求2? 的置信水平为０．９5 的置信区间；(2)已知 ) 1 ( ~222XY ? ，求32?XD 的置
信水平为０。9５的置信区间；（ 70 . 2 ) 9 (2975 . 0? ? , 023 . 19 ) 9 (2025 . 0? ? ）. 解: (１)2? 的置信水平为 0。95 的置信区间为) 9 (18,) 9 (182975 . 02025 . 0? ?,即为(0．９462,６．666７）； (2）32?XD ＝222 2222)] 1 ( [1 1? ? ?DXD ； 由于2 322? XD 是2? 的单调减少函数，置信区间为2 22,2? ?, 即为（0。３00０，2.１1３7）。
五、(本题１0 分）设总体 X 服从参数为 ? 的指数分布，其中 0 ? ? 未知，nX X , ,1? 为取自总体 X 的样本, 若已知 ) 2 ( ~221n X Unii? ，求: (1）
? 的置信水平为 ? ? 1 的单侧置信下限； （2)某种元件的寿命(单位：h）服从上述指数分布，现从中抽得容量为 16 的样本，测得样本均值为 5010(h),试求元件的平均寿命的置信水平为 0。90 的单侧置信下限。) 585 . 42 ) 32 ( , 985 . 44 ) 31 ( (210 . 0205 . 0? ? ? ? 。
解:（1）
, 1) 2 (2, 1 ) 2 (222? ? ? ? ? nX nP nX nP ?
即 ? 的单侧置信下限为) 2 (22nX n? ? ;（2) 706 . 3764585 . 425010 16 2 ? .
六、(本题１4 分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度 ) 1 , 10 ( ~ N X ,今阶段性抽取 10 个水样,测得平均浓度为 10．8（ｍg/L)，标准差为１。2（mg/Ｌ），问该工厂生产是否正常？(2 20.025 0.025 0.9750.05, (9) 2.2622, (9) 19.023, (9) 2.700 t ? ? ? ? ? ? ? ）
解：
（1)检验假设 H 0 ：
?２ ＝1, Ｈ1 ：
?2 ≠１； 取统计量：2022) 1 (s n ;
拒绝域为：
?2 ≤) 9 ( ) 1 (2975 . 0221? ? n ＝2。70 或 ?２ ≥ 2025 . 022) 1 ( ? ? ? ? ? n=1９。０23， 经计算：
96 . 1212 . 1 9 ) 1 (22022?s n，由于 ) 023 . 19 , 700 . 2 ( 96 . 122? ? ?2 ， 故接受 H 0 ，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为 ?2 ＝１。
（２）检验假设 10 101 0? ? ? ? ? ? ：
， ：
H H ；
取统计量:10 /10SXt ～ ) 9 (2?t ； 拒绝域为 2622 . 2 ) 9 (025 . 0? ?t t ； 1028 . 210 / 2 . 110 8 . 10? t ? <2。２６22 ，所以接受0H?， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是１0(mｇ／L）。
综上,认为工厂生产正常。
七、（本题 1０分）设4 3 2 1, , , X X X X 为取自总体 ) 4 , ( ~2? N X 的样本，对假设检验问题5 : , 5 :1 0? ? ? ? H H ，（1）在显著性水平 0。０５下求拒绝域；（2)若 ?=6,求上述检验所犯的第二类错误的概率 ? .
解：(1) 拒绝域为 96 . 1254 / 45025 . 0? ? zx xz ； (2）由(1）解得接受域为（1．０8，8。92），当 ?=６时，接受0H 的概率为 921 . 026 08 . 126 92 . 8} 92 . 8 08 . 1 { ? ? ? ? ? ? X P ? .
八、（本题 8 分）设随机变量 X 服从自由度为 ) , ( n m 的 F 分布，（1）证明:随机变量X1服从 自由度为 ) , ( m n 的 F 分布；(2）若 n m ? ,且 05 . 0 } { ? ? ? X P ，求 }1{ X P 的值。
证明:因为 ) , ( ~ n m F X ,由 F 分布的定义可令n Vm UX//? ,其中 ) ( ~ ), ( ~2 2n V m U ? ? ， U 与V 相互独立,所以 ) , ( ~// 1m n Fm Un VX? 。
当 n m ? 时, X 与X1服从自由度为 ) , ( n n 的 F 分布,故有 ? ? } { ? X P }1{ X P ， 从而
95 . 0 05 . 0 1 } { 1 }1{ 1 }1{ }1{ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? X PXPXP X P
。
数理统计试卷参考答案
一、填空题(本题 1５分，每题 3 分）
１、 )210 ( ， N ； ２、0。01; 3、nSn t ) 1 (2； ４、202? ? ? ; 5、05 . 0z z ? ? . 二、选择题（本题１5 分，每题 3 分) 1、Ｂ； ２、D； 3、Ｃ; 4、A; ５、B。
三、(本题 14 分)解：(１) ?32 2) ( ) (0 22? ? ?x dxx d x f x X E , 令 ?32)?( ? ? X X E ，得 X23? 为参数 ? 的矩估计量。
（2）似然函数为：
) , , 2 , 1 ( , 02 2) , (1212n i x xxx Liniinnniii? ? ? ? ? ? ， ,
而 ) ( ? L 是 ? 的单调减少函数,所以 ? 的极大似然估计量为 } , , , max{?2 1 nX X X ? ? ? 。
四、（本题 1４分)解：
（1）2? 的置信水平为 0.95 的置信区间为) 9 (18,) 9 (182975 . 02025 . 0? ?,即为(0．9462,6。6667）； (２）32?XD=222 2222)] 1 ( [1 1? ? ?DXD ； 由于2 322? XD 是2? 的单调减少函数，置信区间为2 22,2? ?, 即为(0。3000，2．113７）。
五、（本题１０分）解：（１）
, 1) 2 (2, 1 ) 2 (222? ? ? ? ? nX nP nX nP ?
即 ? 的单侧置信下限为) 2 (22nX n? ? ；(２）
706 . 3764585 . 425010 16 2 ? 。
六、（本题１4 分）解：
（１）检验假设 Ｈ 0 ：
?2=1， H１ ：
?2 ≠１; 取统计量：2022) 1 (s n ；
拒绝域为：
?2 ≤) 9 ( ) 1 (2975 . 0221? ? n=2。70 或 ?２ ≥ 2025 . 022) 1 ( ? ? ? ? ? n=19.0２3， 经计算：
96 . 1212 . 1 9 ) 1 (22022?s n,由于 ) 023 . 19 , 700 . 2 ( 96 . 122? ? ?２ , 故接受 Ｈ ０ ,即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为 ?2=1。
（2）检验假设 10 101 0? ? ? ? ? ? ：
， ：
H H ；
取统计量:10 /10SXt ~ ) 9 (2?t ; 拒绝域为 2622 . 2 ) 9 (025 . 0? ?t t ； 1028 . 210 / 2 . 110 8 . 10? t ? 〈２．262２ ，所以接受0H?， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是 1０(mg/L）。
综上，认为工厂生产正常。
七、（本题 10 分）解:（1）
拒绝域为 96 . 1254 / 45025 . 0? ? zx xz ； （2）由（１)解得接受域为（1．０8，8.9２)，当 ? ＝6 时,接受0H 的概率为 921 . 026 08 . 126 92 . 8} 92 . 8 08 . 1 { ? ? ? ? ? ? X P ? 。
八、（本题 8 分)证明：因为 ) , ( ~ n m F X ,由 F 分布的定义可令n Vm UX//? ,其中) ( ~ ), ( ~2 2n V m U ? ? ， U 与 V 相互独立，所以 ) , ( ~// 1m n Fm Un VX? . 当 n m ? 时, X 与X1服从自由度为 ) , ( n n 的 F 分布，故有 ? ? } { ? X P }1{ X P ， 从而
95 . 0 05 . 0 1 } { 1 }1{ 1 }1{ }1{ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? X PXPXP X P
。
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数理统计考试试卷
一、填空题(本题１5 分，每题 3 分）
1、总体 ) 3 , 20 ( ~ N X 的容量分别为 10,15 的两独立样本均值差 ~ Y X ? _＿____＿_； ２、设16 2 1,..., , X X X 为取自总体 ) 5 . 0 , 0 ( ~2N X 的一个样本，若已知 0 . 32 ) 16 (201 . 0? ? ,则} 8 {1612?iiX P=_____＿__； 3、设总体 ) , ( ~2? ? N X ，若 ? 和2? 均未知, n 为样本容量，总体均值 ? 的置信水平为? ? 1 的置信区间为 ) , ( ? ? ? ? X X ，则 ? 的值为＿___＿_＿＿;
4、设nX X X ,..., ,2 1为取自总体 ) , ( ~2? ? N X 的一个样本，对于给定的显著性水平 ? ，已知关于2? 检验的拒绝域为 ?2 ≤) 1 (21n ,则相应的备择假设1H 为_____＿＿_； 5 、 设 总 体 ) , ( ~2? ? N X ,2? 已 知 , 在 显 著 性 水 平 0.05 下 ， 检 验 假 设0 0 :? ? ? H ,0 1 :? ? ? H ，拒绝域是＿___＿___。
１、 )210 ( ， N ; 2、0。０1; 3、nSn t ) 1 (2； 4、202? ? ? ; 5、05 . 0z z ? ? 。
二、选择题（本题 15 分,每题 3 分）
?１、设3 2 1, , X X X 是取自总体 X 的一个样本， ? 是未知参数，以下函数是统计量的为（
）. (Ａ）
) (3 2 1X X X ? ? ?
（B)3 2 1X X X ? ?
（C）3 2 11X X X?
（D)231) (31? ?iiX
2、设nX X X , . . . , ,2 1为取自总体 ) , ( ~2? ? N X 的样本， X 为样本均值，212) (1X XnSinin? ?,则服从自由度为 1 ? n 的 t 分布的统计量为(
). （A） ）
? X n(
（B）nSX n ) ( ? ?
（C） ）
? ? X n ( 1
（D）nSX n ) ( 1 ? ? ? 3、设nX X X , , ,2 1? 是来自总体的样本，2) ( ? ? X D 存在， 212) (11X XnSini?, 则（
)。
(A）2S 是2? 的矩估计 （ ? ）Ｂ?2S 是2? 的极大似然估计
（C)2S 是2? 的无偏估计和相合估计（ ）D?2S 作为2? 的估计其优良性与分布有关 4、设总体 ) , ( ~ ), , ( ~22 221 1? ? ? ? N Y N X 相互独立，样本容量分别为2 1 ,nn ,样本方差分别为2221 ,SS ,在显著性水平 ? 下，检验2221 12221 0: , : ? ? ? ? ? ? H H 的拒绝域为（
）. （A）
) 1 , 1 (1 22122? ? ? n n Fss?
（B）
) 1 , 1 (1 2212122? ? n n Fss? (C）
) 1 , 1 (2 12122? ? ? n n Fss?
（D）
) 1 , 1 (2 1212122? ? n n Fss?
5、设总体 ) , ( ~2? ? N X ,2? 已知, ? 未知，nx x x , , ,2 1? 是来自总体的样本观察值,已知 ?的置信水平为 0.95 的置信区间为(4．71,5．69），则取显著性水平 05 . 0 ? ? 时，检验假设0 . 5 : , 0 . 5 :1 0? ? ? ? H H 的结果是（
)。
(A）不能确定
(Ｂ）接受0H
(C）拒绝0H
(Ｄ）条件不足无法检验
1、B; ２、D; 3、C; 4、A; ５、B.
三、(本题 1４分）
设随机变量 X 的概率密度为: 其他xxx f0, 0,2) (2，其中未知 参数 0 ? ? ,nX X , ,1? 是来自 X 的样本，求（1）
? 的矩估计;(2）
? 的极大似然估计。
解:（1）
?32 2) ( ) (0 22? ? ?x dxx d x f x X E ， 令 ?32)?( ? ? X X E ，得 X23? 为参数 ? 的矩估计量. (２）似然函数为: ) , , 2 , 1 ( , 02 2) , (1212n i x xxx Liniinnniii? ? ? ? ? ? ， , 而 ) ( ? L 是 ? 的单调减少函数,所以 ? 的极大似然估计量为 } , , , max{?2 1 nX X X ? ? ? 。
四、（本题１４分）设总体 ) , 0 ( ~2? N X ，且10 2 1 ,x x x ? 是样本观察值，样本方差 22? s , （1）求2? 的置信水平为０．９5 的置信区间；(2)已知 ) 1 ( ~222XY ? ，求32?XD 的置
信水平为０。9５的置信区间；（ 70 . 2 ) 9 (2975 . 0? ? , 023 . 19 ) 9 (2025 . 0? ? ）. 解: (１)2? 的置信水平为 0。95 的置信区间为) 9 (18,) 9 (182975 . 02025 . 0? ?,即为(0．９462,６．666７）； (2）32?XD ＝222 2222)] 1 ( [1 1? ? ?DXD ； 由于2 322? XD 是2? 的单调减少函数，置信区间为2 22,2? ?, 即为（0。３00０，2.１1３7）。
五、(本题１0 分）设总体 X 服从参数为 ? 的指数分布，其中 0 ? ? 未知，nX X , ,1? 为取自总体 X 的样本, 若已知 ) 2 ( ~221n X Unii? ，求: (1）
? 的置信水平为 ? ? 1 的单侧置信下限； （2)某种元件的寿命(单位：h）服从上述指数分布，现从中抽得容量为 16 的样本，测得样本均值为 5010(h),试求元件的平均寿命的置信水平为 0。90 的单侧置信下限。) 585 . 42 ) 32 ( , 985 . 44 ) 31 ( (210 . 0205 . 0? ? ? ? 。
解:（1）
, 1) 2 (2, 1 ) 2 (222? ? ? ? ? nX nP nX nP ?
即 ? 的单侧置信下限为) 2 (22nX n? ? ;（2) 706 . 3764585 . 425010 16 2 ? .
六、(本题１4 分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度 ) 1 , 10 ( ~ N X ,今阶段性抽取 10 个水样,测得平均浓度为 10．8（ｍg/L)，标准差为１。2（mg/Ｌ），问该工厂生产是否正常？(2 20.025 0.025 0.9750.05, (9) 2.2622, (9) 19.023, (9) 2.700 t ? ? ? ? ? ? ? ）
解：
（1)检验假设 H 0 ：
?２ ＝1, Ｈ1 ：
?2 ≠１； 取统计量：2022) 1 (s n ;
拒绝域为：
?2 ≤) 9 ( ) 1 (2975 . 0221? ? n ＝2。70 或 ?２ ≥ 2025 . 022) 1 ( ? ? ? ? ? n=1９。０23， 经计算：
96 . 1212 . 1 9 ) 1 (22022?s n，由于 ) 023 . 19 , 700 . 2 ( 96 . 122? ? ?2 ， 故接受 H 0 ，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为 ?2 ＝１。
（２）检验假设 10 101 0? ? ? ? ? ? ：
， ：
H H ；
取统计量:10 /10SXt ～ ) 9 (2?t ； 拒绝域为 2622 . 2 ) 9 (025 . 0? ?t t ； 1028 . 210 / 2 . 110 8 . 10? t ? <2。２６22 ，所以接受0H?， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是１0(mｇ／L）。
综上,认为工厂生产正常。
七、（本题 1０分）设4 3 2 1, , , X X X X 为取自总体 ) 4 , ( ~2? N X 的样本，对假设检验问题5 : , 5 :1 0? ? ? ? H H ，（1）在显著性水平 0。０５下求拒绝域；（2)若 ?=6,求上述检验所犯的第二类错误的概率 ? .
解：(1) 拒绝域为 96 . 1254 / 45025 . 0? ? zx xz ； (2）由(1）解得接受域为（1．０8，8。92），当 ?=６时，接受0H 的概率为 921 . 026 08 . 126 92 . 8} 92 . 8 08 . 1 { ? ? ? ? ? ? X P ? .
八、（本题 8 分）设随机变量 X 服从自由度为 ) , ( n m 的 F 分布，（1）证明:随机变量X1服从 自由度为 ) , ( m n 的 F 分布；(2）若 n m ? ,且 05 . 0 } { ? ? ? X P ，求 }1{ X P 的值。
证明:因为 ) , ( ~ n m F X ,由 F 分布的定义可令n Vm UX//? ,其中 ) ( ~ ), ( ~2 2n V m U ? ? ， U 与V 相互独立,所以 ) , ( ~// 1m n Fm Un VX? 。
当 n m ? 时, X 与X1服从自由度为 ) , ( n n 的 F 分布,故有 ? ? } { ? X P }1{ X P ， 从而
95 . 0 05 . 0 1 } { 1 }1{ 1 }1{ }1{ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? X PXPXP X P
。
数理统计试卷参考答案
一、填空题(本题 1５分，每题 3 分）
１、 )210 ( ， N ； ２、0。01; 3、nSn t ) 1 (2； ４、202? ? ? ; 5、05 . 0z z ? ? . 二、选择题（本题１5 分，每题 3 分) 1、Ｂ； ２、D； 3、Ｃ; 4、A; ５、B。
三、(本题 14 分)解：(１) ?32 2) ( ) (0 22? ? ?x dxx d x f x X E , 令 ?32)?( ? ? X X E ，得 X23? 为参数 ? 的矩估计量。
（2）似然函数为：
) , , 2 , 1 ( , 02 2) , (1212n i x xxx Liniinnniii? ? ? ? ? ? ， ,
而 ) ( ? L 是 ? 的单调减少函数,所以 ? 的极大似然估计量为 } , , , max{?2 1 nX X X ? ? ? 。
四、（本题 1４分)解：
（1）2? 的置信水平为 0.95 的置信区间为) 9 (18,) 9 (182975 . 02025 . 0? ?,即为(0．9462,6。6667）； (２）32?XD=222 2222)] 1 ( [1 1? ? ?DXD ； 由于2 322? XD 是2? 的单调减少函数，置信区间为2 22,2? ?, 即为(0。3000，2．113７）。
五、（本题１０分）解：（１）
, 1) 2 (2, 1 ) 2 (222? ? ? ? ? nX nP nX nP ?
即 ? 的单侧置信下限为) 2 (22nX n? ? ；(２）
706 . 3764585 . 425010 16 2 ? 。
六、（本题１4 分）解：
（１）检验假设 Ｈ 0 ：
?2=1， H１ ：
?2 ≠１; 取统计量：2022) 1 (s n ；
拒绝域为：
?2 ≤) 9 ( ) 1 (2975 . 0221? ? n=2。70 或 ?２ ≥ 2025 . 022) 1 ( ? ? ? ? ? n=19.0２3， 经计算：
96 . 1212 . 1 9 ) 1 (22022?s n,由于 ) 023 . 19 , 700 . 2 ( 96 . 122? ? ?２ , 故接受 Ｈ ０ ,即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为 ?2=1。
（2）检验假设 10 101 0? ? ? ? ? ? ：
， ：
H H ；
取统计量:10 /10SXt ~ ) 9 (2?t ; 拒绝域为 2622 . 2 ) 9 (025 . 0? ?t t ； 1028 . 210 / 2 . 110 8 . 10? t ? 〈２．262２ ，所以接受0H?， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是 1０(mg/L）。
综上，认为工厂生产正常。
七、（本题 10 分）解:（1）
拒绝域为 96 . 1254 / 45025 . 0? ? zx xz ； （2）由（１)解得接受域为（1．０8，8.9２)，当 ? ＝6 时,接受0H 的概率为 921 . 026 08 . 126 92 . 8} 92 . 8 08 . 1 { ? ? ? ? ? ? X P ? 。
八、（本题 8 分)证明：因为 ) , ( ~ n m F X ,由 F 分布的定义可令n Vm UX//? ,其中) ( ~ ), ( ~2 2n V m U ? ? ， U 与 V 相互独立，所以 ) , ( ~// 1m n Fm Un VX? . 当 n m ? 时, X 与X1服从自由度为 ) , ( n n 的 F 分布，故有 ? ? } { ? X P }1{ X P ， 从而
95 . 0 05 . 0 1 } { 1 }1{ 1 }1{ }1{ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? X PXPXP X P
。
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