3.2.1 复数的加法与减法的教学设计
周至中学 高二数学组 白晓纯
教学目标：
1.知识与技能：掌握复数加法、减法的运算法则，了解复数加减法的几何意义; 2.过程与方法：由实数的四则运算的规律，类比归纳出复数的运算法则，由向量的几何意义类比复数加减法运算的几何意义，以提高学生的类比推理能力。
3.情感、态度与价值观：引导学生积极思考，主动探索，自动自发的投入到学习中，体验成功，充分享受学习的乐趣。
教学重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义 教学难点：复数加、减运算的几何意义 教学方法：自主探究、类比学习 教学用具：多媒体 教学过程：
一、复习准备：
1.复数的有关概念.2.复数的几何意义.
二、讲授新课：
问题1：化简：1.（2+3x）+(-1+x)
2.(3+x)+(-3+2x)
计算：
3ln2)(4ln5)（学生类比推理复数的加法运算
（1） (7
6 i )
(
3 i)
（2） (34i)(23i)
（3） ( 3
)
4 i)
（4） 2i(12i)4i(3学生根据归纳推理的方法总结复数加法运算法则
1.复数的加法法则：z1abi与Z2cdi，则Z1Z2(ac)(bd)i。 计算（1）(24i)+(44i)
4i(2i)(2i) （2）
将上面的计算前后交换位置让学生再进行计算，启发学生发现问题，分析问题 探究1：观察上述计算，发现复数的加法运算满足交换律、结合律：
z1+z2=z2+z1.
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
(xyi)(cdi)abi，根据复数相等的定义，求 xyi问题2：若 通过问题2让学生发现复数的减法法则
1
3．复数的减法法则：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算 Z1Z2(ac)(bd)i
(56i)(2i)(34i)例1：计算
(34i)(2i)(15i)（2） (2i)(23i)(4i)练习：计算（1）
4.复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过向量加减法的几何意义，你能由此出发讨论复数加减法的几何意义吗？
OZ=OZ1+OZ2=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)向量OZ 就是与复数 (a+c)+(b+d)i对应的向量 例2：设z2= x+2i, z2= 3-yi(x,y∈R), 且z1+z2 = 5 - 6i, 求z1-z2
例
3、已知复平面内一平行四边形AOBC顶点A,O,B对应复数是 -3+2i, 0, 2+i . （1）、求点C对应的复数. （2）求OC表示的复数
（3）求AC表示的复数
例3：已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B，求AB对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？
练习：复数z对应点在第二象限，则zi2对应点在（ B ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C） 第三象限 （D）第四象限
当堂检测
1、计算
(1)(２+4i)+(3-4i)=
(2)(-3-4i)+(2+i)+(1-5i)=
2、已知Z1=a+bi,Z2=c+di，若Z1+Z2是纯虚数，则有（
） A.a-c=0且b-d≠0
B.a-c=0且b+d≠0 C.a+c=0且b-d≠0
D.a+c=0且b+d≠0
3、计算：
( 3 －2i) －(2+i) －(________)=1+6i
4、已知x∈R，y为纯虚数，且（2x －1)+i=y －(3 －y)i
则x=_______
y=_______
三、课堂小结：
1.复数加减法的运算法则
2
2.复数的加法满足交换律、结合律 3.复数加减法的几何意义
四、布置作业：课本81页A组1题 www.dawendou.com
复数·复数的开方·教案
复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根．
（二）探求复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根，并推导开方公式 师：（提出课题）求复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根．
如何研究这一问题呢？首先，我们对复数的n次方根有几个值能有一个预测吗？ 生：我认为有n个．
师：这只是预测，这要通过求复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根来证实或否定．如何求复数的n次方根？要解决“如何求”，首先要弄清什么是复数n次方根？让学生回忆实数集中方根的概念．
复数n次方根的意义：如果xn=z（n∈N＋，z∈C），那么x叫做z的n次方根． 因为复数的n次方是复数，所以一个复数的n次方根也是复数．
师：在建立复数n次方根概念的基础上，如何推导复数开n次方的公式呢？
由上面分析可知，复数r（cosθ＋isinθ）的n次方根仍是复数，设它为ρ（cosφ+isinφ），那么这两个复数有什么联系呢？
生：r（cosθ＋isinθ）=[ρ（cosφ+isinφ）]n（n∈N＋）． 师：求复数的n次方根的问题，就转化为在上面等式中求出ρ和φ． r（cosθ＋isinθ）=[ρ（cosφ+isinφ）]n=ρn（cosnφ+isinnφ）． ①
这样就得到两个用三角形式表示的复数．两个用三角形式表示的复数相等的充要条件是什么？
生：它们的模相等，辐角可以相差2π的整数倍． 师：由①式可得
由复数n次方根的意义和复数相等的条件，得到复数n次方根的表达式，下面的工作是什么？
生甲：用公式解题．
生乙：这个公式还没有推导完，它表示几个值？各是什么？还要对公式进一步认识． 师：对．首先要认识公式．对一个数学公式通常从以下几个方面认识：公式的推导；
公式成立的条件；
公式所反映的数量关系；
公式的使用． 对公式的推导，不是停留在重复推导过程上，而是要求提炼推导的基本想法和所运用的基础知识．本公式是运用复数n次方根的概念和复数相等条件，建立方程求解方程推导的．
公式成立的条件是：n∈N+，也就是说，我们研究的是复数开正整数次方．
个虚数根．
进一步深化对复数r（cosθ＋isin θ）的n次方根的认识．提出以下问题：
师：问题1 复数r（cos θ＋isin θ）的n次方根有几个，它们的模等于什么？
师：问题2 复数r（cos θ＋isin θ）的n次方根的几个辐角有什么规律？ 学生讨论，教师归纳总结．
解题后思考以下问题：
（1）1的立方根在实数集中有几个值？在复数集中有几个值？各是什么？
1的立方根在实数集中有1个值，是1．在复数集C中，1的立方根有3个值，有一个实数两个虚数，其中实数为1，两个虚数是一对有
（2）方程x3=1除用复数开方公式求解，还有其他解法吗？（因式分解法，本节不展开）
（四）小结
由实数集扩充到复数集我们对一个数的n次方根的认识有了发展．在复数集C中，复数r（cos θ＋isin θ）的n次方根有n个值．这n个值可由复数开方公式得到．它们的对应点在复平面内是以原点为圆心，
（五）作业
1．高中代数下册P214～215练习第3，第4题． 2．复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是 [ ]．
课堂教学设计说明
本节课设计的指导思想是：激发兴趣、注重过程、发展思维、指导学法．
1．复数的有关知识比较抽象，离生产、生活实际较远．在复数教学中如何激发学生的学习兴趣，这是值得思考的问题．本节以解方程引入，通过对复数开方公式的推导得出公式，又回到在复数集中解方程x3=1，求出它的一个实根两个虚根，发展了在实数集中方程x3=1只有一根为1的认识．从学生熟悉的数学问题引入，提出问题，分析问题，解决问题，通过问题解决发展学生的认识，引起学生学习兴趣．
2．注重对复数开方公式推导过程的教学．复数开方公式推导是本节课的重点也是难点．在教学中是分四个层次展开的：由解方程引入；
由n次方根的意义切入；
通过复数相等求解；
由正弦、余弦函数的周期性确定复数的n次方根有n个值完成公式的推导．在推证过程中启发学生探求，发展思维，培养推理能力．
3．指导学法，会学公式．在学习数学过程中学生遇到许多数学公式，如何认识数学公式，学好公式，会学公式是指导学生学法的一个重要方面．本节课通过对复数开方公式的分析，从公式推导、公式成立的条件、公式的数量关系、公式所反映的几何意义等方面去认识公式，从公式的运用中深化对公式的认识．这对学习其他数学公式也是有指导意义的．
复数课堂教学反思
高京芳
对于中职学生来说，学习数学的一个重要目的是要学会数学的思考，用数学的眼光去看世界，去了解世界。而对于数学教师来说，他还要从教的角度去看数学去挖掘数学，他不仅要能做、会理解，还应当能够教会别人去做、去理解，因此教师对教学概念、运算等的反思应当从逻辑的、历史的、辨证的等方面去展。
1、从逻辑的角度看，复数主要包含表达式、运算、几何意义、应用等方面内容。特点是概念多，且比较抽象，所以学生不容易接受。教学中采用对比的方法，灵活理解概念是学好本章的关键。
2、从联系的角度来看，复数和实数之间的包含联系，运算上复数加减法的法则及运算律很多都是和实数完全一致。和向量的联系尤为密切，从表示法到几何意义都显示出复数的二维性和向量的二维性的高度统一。
教师在教学生是不能把他们看着空的容器，按照自己的意思往这些空的容器里灌输数学这样常常会进入误区，因为师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。
要想多制造一些供课后反思的数学学习素材，一个比较有效的方式就是在教学过程中尽可能多的把学生头脑中问题挤出来，使他们解决问题的思维过程暴露出来。
对数学教学方法的几点启示：
在新课程背景下，如何有效利用课堂教学时间，如何尽可能地提高学生的学习兴趣，提高学生在课堂上40分钟的学习效率，这是一个很重要的课题，要搞好中职数学新课改，首先要对新课标和新教材有整体的把握和认识，这样才能将知识系统化。
注意知识前后的联系，形成知识框架，其次要了解学生的现状和认知结构，了解学生此阶段的知识水平，以便因材施教，再次要处理好课堂教学中教师的教和学生的学的关系，课堂教学是实施高中新课程教学的主阵地，也是对学生进行思想品德教育和素质教育的主渠道，课堂教学不但要加强双基而且要提高智力，要发展学生的创造力。
不但要让学生学会，而且要让学生会学，特别是自学，尤其是在课堂上，不但要发展学生的智力因素，而且要提高学生在课堂40分钟的学习效率，在有限的时间里，出色地完成教学任务，不能穿新鞋走老路。
1、要有明确的教学目标
教学目标分为三大目标，即认知目标、情感目标和动作技能目标。因此，在备课时要围绕这些目标选择教学的策略、方法和媒体，把内容进行必要的重组。备课时要依据教材，但又不拘泥于教材，灵活运用教材。在数学教学中，要通过师生的共同努力，使学生在知识、能力、技能、心理、思想品德等方面达到预定的目标，以提高学生的综合素质。
2、要能突出重点、化解难点
每一堂课都要有教学重点，而整堂的教学都是围绕着教学重点来逐步展开的。为了让学生明确本堂课的重点、难点，教师在上课开始时，可以在黑板的一角将这些内容简短地写出来，以便引起学生的重视。讲授重点内容，是整堂课的教学高潮。教师要通过声音、手势、板书等的变化或应用模型、投影仪等直观教具，刺激学生的大脑，使学生能够兴奋起来，适当地还可以插入与此类知识有关的笑话，对所学内容在大脑中刻下强烈的印象，激发学生的学习兴趣，提高学生对新知识的接受能力。尤其是在选择例题时，例题最好是呈阶梯式展现，我在准备一堂课时，通常是统筹一节或一章的题目，再针对本节的知识内容选择相关题目，往往每节课都涉及好几种题型。
3、要善于应用现代化教学手段
在新课标和新教材的背景下，教师掌握现代化的多媒体教学手段显得尤为重要和迫切，现代化教学手段的显著特点一是能有效地增大每一堂课的课容量，从而把原来40分钟的内容在35分钟中就加以解决，二是减轻教师板书的工作量，使教师能有精力讲深讲透所举例子，提高讲解效率，三是直观性强，容易激发起学生的学习兴趣。
有利于提高学生的学习主动性，四是有利于对整堂课所学内容进行回顾和小结，在课堂教学结束时，教师引导学生总结本堂课的内容，学习的重点和难点，同时通过投影仪，同步地将内容在瞬间跃然幕上，使学生进一步理解和掌握本堂课的内容，在课堂教学中。
对于板演量大的内容，如立体几何中的一些几何图形、一些简单但数量较多的小问答题、文字量较多应用题，复习课中章节内容的总结、选择题的训练等等都可以借助于投影仪来完成，可能的话教学可以自编电脑课件，借助电脑来生动形象地展示所教内容，如讲授正弦曲线、余弦曲线的图形、棱锥体积公式的推导过程都可以用电脑来演示。
4、选择恰当的教学方法
每一堂课都有规定的教学任务和目标要求，所谓教学有法，但无定法教师要能随着教学内容的变化，教学对象的变化，教学设备的变化，灵活应用教学方法，数学教学的方法很多，对于新授课，我们往往采用讲授法来向学生传授新知识，而在立体几何中，我们还时常穿插演示法。
在一堂课上，有时要同时使用多种教学方法，教无定法贵要得法只要能激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，有助于学生思维能力的培养，有利于所学知识的掌握和运用，都是好的教学方法。
5、关爱学生，及时鼓励
中职新课程的宗旨是着眼于学生的发展。对学生在课堂上的表现，要及时加以总结，适当给予鼓励，并处理好课堂的偶发事件，及时调整课堂教学。在教学过程中，教师要随时了解学生对所讲内容的掌握情况。如在讲完一个概念后，让学生复述；
讲完一个例题后，将解答擦掉，请中等水平学生上台板演。有时，对于基础差的学生，可以对他们多提问，让他们有较多的锻炼机会，同时教师根据学生的表现，及时进行鼓励，培养他们的自信心，让他们能热爱数学，学习数学。
6、充分发挥学生主体作用，调动学生的学习积极性
学生是学习的主体，教师要围绕着学生展开教学。在教学过程中，自始至终让学生唱主角，使学生变被动学习为主动学习，让学生成为学习的主人，教师成为学习的领路人。
在一堂课中，教师尽量少讲，让学生多动手，动脑操作，刚毕业那会，每次上课，看到学生一道题目往往要思考很久才能探究出答案，我就有点心急，每次都忍不住在他们即将做出答案的时候将方法告诉他们。这样容易造成学生对老师的依赖，不利于培养学生独立思考的能力和新方法的形成。学生的思维本身就是一个资源库，学生往往会想出我意想不到的好方法来。
7、切实重视基础知识、基本技能和基本方法
众所周知近年来数学试题的新颖性、灵活性越来越强，不少师生把主要精力放在难度较大的综合题上，认为只有通过解决难题才能培养能力，因而相对地忽视了基础知识、基本技能、基本方法的教学，就让学生去做题，试图通过让学生大量地做题去悟出某些道理，结果是多数学生悟不出方法、规律，理解浮浅记忆不牢只会机械地模仿，思维水平较低，有时甚至生搬硬套，照葫芦画瓢，将简单问题复杂化。我认为中职学生可以适当降低难度，重在学生的参与和态度，激发能会的欲望，从基础的知识抓起才是一节课高效的体现。
总之，在新课程背景下的数学课堂教学中，要提高学生在课堂40分钟的学习效率，要提高教学质量，我们就应该多思考、多准备，充分做到备 教材、备学生、备教法，提高自身的教学机智，发挥自身的主导作用。
2014年11月18日
1)单数名词加2)以s、x、sh、ch结尾的名词加3)以辅音字母加y结尾的名词，变y为i加
4)以f或fe结尾的名词，多数变f为v加es: wives, knives.但有些词只加s: roofs, proof s, 5)以o结尾的名词，有些加es: Negroes, heroes, tomatoes, potatoes.其它加s: radio s, zoos,
6)不规则名词：foot→feet, goose→geese, tooth→teeth, child→children, man→me n, woman→women, sheep→sheep, deer→deer, mouse→mice.
7)某些外来词变复数：datum→data, medium→media, bacterium→bacteria, curriculum→curricula, criterion→criteria, phenomenon→phenomena.
8)复合名词变复数：以不可数名词结尾的复合名词无复数形式，如：以man或woman为前缀的复合名词变复数，前后两个名词都变复数，如：manservant→menservants, 其它复合名词变复数：
9)复合形容词做定语时，其中的名词保持单数：book
名词复数：）~~
英语中名词可分为可数名词和不可数名词。可数名词在应用时有单数和复数形式。表示一个用单数，表示两个或两个以上用复数。复数名词的构成分为规则变化和不规则变化。
1.规则变化：
1) 一般在名词词尾加s，
① map—maps地图，bird—birds鸟，
orange—oranges 桔子，
bike—bikes自行车；
2) 以s, x, ch, sh结尾的名词加es，
① box—boxes盒子，cla—claes班级，watch—watches手表， dish-dishes盘，碟子，餐具；
3) 以O结尾的名词后面加s或es
① photo—photos相片 radio—radios收音机 zoo—zoos动物园
tomato—tomatoes西红柿 potato—potatoes土豆
4) 以辅音字母加y结尾的名词，变y为i+es ① baby—babies婴儿 family—families家庭；
以元音字母加y结尾的名词直接加s ① boy—boys男孩 toy—toys 玩具；
5) 以fe或f结尾的名词，把fe或f变为ves ① knife—knives小刀
wife—wives妻子
leaf—leaves树叶。
，二：名词复数的不规则变化
1）child---children foot---feet tooth---teeth mouse---mice man---men woman---women
注意：与 man 和 woman构成的合成词，其复数形式也是 -men 和-women。
如：
an Englishman，two Englishmen.但German不是合成词，故复数形式为Germans；
Bowman是姓，其复数是the Bowmans。
2）单复同形 如：
deer，sheep，fish，Chinese，Japanese li，jin，yuan，two li，three mu，four jin
但除人民币元、角、分外，美元、英镑、法郎等都有复数形式。如: a dollar, two dollars; a meter, two meters 3）集体名词，以单数形式出现，但实为复数。
如：
people police cattle 等本身就是复数，不能说 a people，a police，a cattle，但可以说
a person，a policeman，a head of cattle,the English，the British，the French，the Chinese，the Japanese，the Swi 等名词，表示国民总称时，作复数用。
如：
The Chinese are industries and brave.中国人民是勤劳勇敢的。
4）以s结尾，仍为单数的名词，如：
a.maths，politics，physics等学科名词，为不可数名词，是单数。
b.news 是不可数名词。
c.the United States，the United Nations 应视为单数。
The United Nations was organized in 1945.联合国是1945年组建起来的。
d.以复数形式出现的书名，剧名，报纸，杂志名，也可视为单数。
"The Arabian Nights" is a very interesting story-book. >是一本非常有趣的故事书。
5) 表示由两部分构成的东西，如：glaes (眼镜) trousers, clothes
若表达具体数目，要借助数量词 pair(对，双); suit(套); a pair of glaes; two pairs of trousers
6） 另外还有一些名词，其复数形式有时可表示特别意思，如：goods货物，waters水域，fishes（各种）鱼
一、绝大多数的可数名词的复数形式，是在该词末尾加上后辍-s。
读音变化：结尾是清辅音读[s]，结尾是浊辅音或元音读[z]。
例：friend→friends; cat→cats; style→styles; sport→sports; piece→pieces
二、凡是以s、z、x、ch、sh结尾的词，在该词末尾加上后辍-es构成复数。 读音变化：统一加读[iz]。
例：bus→buses; quiz→quizzes; fox→foxes; match→matches; flash→flashes
三、以辅音字母+y结尾的名词，将y改变为i，再加-es。 读音变化：加读[z]。
例：candy→candies; daisy→daisies; fairy→fairies; lady→ladies; story→stories
四、以-o结尾的名词，如果不是外来词或缩写，就加-es，否则加-s构成复数。 读音变化：加读[z]。
例：tomato→tomatoes; potato→potatoes; torpedo→torpedoes; bingo→bingoes 反例：silo→silos; piano→pianos（外来词）; photo→photos; macro→macros（缩写词）
五、以-f或-fe结尾的名词，多为将-f或-fe改变为-ves，但有例外。 读音变化：尾音[f]改读[vz]。
例：knife→knives; life→lives; leaf→leaves; staff→staves; scarf→scarves 反例：roof→roofs
六、以-us结尾的名词（多为外来词），通常将-us改变为-i构成复数。 读音变化：尾音[Es]改读[ai]，其中[kEs]要改读为[sai]，[gEs]要改读为[dVai]。
例：fungus→fungi; abacus→abaci; focus→foci; cactus→cacti; cestus→cesti
七、以-is结尾的名词，通常将-is改变为-es。 读音变化：尾音[is]改读。
例：axis→axes; basis→bases; naris→nares; hypothesis→hypotheses; restis→restes
八、以-ix结尾的名词，通常将-ix改变为-ices，但有例外。 读音变化：尾音[iks]改读[isi:z]。
例：matrix→matrices; directrix→directrices; calix→calices; appendix→appendices 反例：affix→affixes
九、以-um结尾的名词，将-um改变为-a。 读音变化：去掉鼻尾音[m]。
例：forum→fora; stadium→stadia; aquarium→aquaria; datum→data; vacuum→vacua
十、以-a结尾的名词，在该词末尾加上后辍-e。 读音变化：尾音[E]改读。
例：larva→larvae; formula→formulae; ala→alae; media→mediae; hydra→hydrae 十
一、部分单词的复数形式不变。 读音变化：保持原音。
例：fish→fish; sheep→sheep; cattle→cattle; deer→deer; salmon→salmon
十二、极少数单词，其复数形式没有任何规律。 读音变化：没有规律。例：man→men; woman→women; child→children; person→people; ox→oxen
十三、一些单数词得加en才能变成复数词：
例：ox→oxen; child→children; brother→brethren 十
四、一些单数词得改头换面一番,才能变成复数词
例：analysis→analyses分析; basis→bases基础; datum→data数据; foot→feet; formula→formulae/formulas公式; goose→geese; louse→lice虱子; man→men mouse→mice; medium→media/mediums媒介; memorandum→memoranda/memorandums备忘录; parenthesis→parentheses 圆括号; phenomenon→phenomena现象; radius→radii 半径 tooth→teeth; woman→women
十五、有些名词是单数、复数不分的 例：deer; fish; cannon; sheep; salmon 鲑鱼; trout 鳟鱼
十六、一些名词虽分单数、复数，但出现次数多的总是单数词
例：abscence; clothing; film; help; furniture家具; machinery机械; news; scenery风景; sugar; traffic交通
十七、另一些名词则以复数词出现的机会较多
例：bellows风箱; clothes; police; shorts短裤; sciors剪刀; spectacles眼镜; shears大剪刀 trousers长裤; wages工资
十八、compound nouns，这类复数词是以主要的名词来表示 例：daughter-in-law→daughters-in-law 媳妇; father-in-law→fathers-in-law岳父 man-of-war→men-of-war兵舰; maid-servant→maid-servants step-son→step-sons晚子; son-in-law→sons-in-law
十九、若表达具体数目，要借助数量词
例：pair(对，双); suit(套); a pair of glaes; two pairs of trousers 二
十、另外还有一些名词，其复数形式有时可表示特别意思，
例：goods货物，waters水域，fishes（各种）鱼
二十一、除人民币元、角、分外，美元、英镑、法郎等都有复数形式。
例：a dollar, two dollars; a meter, two meters
以O结尾的词，许多加es构成复数，特别是一些常用词如：heroes,potatoes,tomatoes,echoes,tornadoes,torpedoes,dominoes,vetoes,mosquitoes,Negroes,mangoes,buffaloes,volcanoes 但下面几类词只加s：1.以“元音+o”或“oo”结尾的词如:videos,radios,studios,folios,oratorios,embryos,zoos,bamboos,kangaroos,taboos 2.一些外来词，特别是音乐方面的词，如：pianos,solos,concertos,tobaccos,mottos,cellos 3.一些缩写词和专有名词，如：kilos,photos,memos,micros,Eskimos,Filipnos 有个别词加两种词尾都可以，如：archipelago(e)s,halo(e)s,cargoes(英），cargos(美）
名词单数变复数规则
「速记口诀」
单数变复数，规则要记住，
一般加s，特殊有几处：
/s/结尾，es不离后，
末尾字母o，大多加s，
两人有两菜，es不离口，
词尾f、fe，s前有v和e；
没有规则词，必须单独记。
复数·复数与方程·教案
教学目标
1．掌握在复数集内解一元二次方程的方法；
使学生掌握含有未知数
的解法．
2．教学过程中，渗透数学转化思想及方程的思想，提高学生灵活运用数学知识解题的能力；
培养学生严谨的逻辑思维．
3．通过对实系数一元二次方程在实数范围内求解和在复数范围内求解的比较，认识到任何事物都是相对的，而不是绝对的这一辩证唯物主义的观点．
教学重点与难点
个复数相等的充分必要条件的运用． 教学过程设计
师：方程x2+1=0在复数范围内有没有解，解集是什么？ 生：因为-1=i2，则原方程化为x2-i2=0，即（x+i）（x-i）=0．所以原方程解集为{i，-i}． 师：对．那么方程ax2＋bx＋c=0（a，b，c是实数）在复数范围内解集是什么？ 生1：当Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，解集为
师：方程x2＋1=0中，Δ=-4＜0，上述结论对吗？
生3：无意义．此时方程的解集为
师：对．实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0在复数范围内解的情况为：当Δ≥0时有实根；
当Δ＜0时，有一对共轭的虚根．
例1 若关于x的方程x2+5x+m=0的两个虚数根x1，x2满足|x1-x2|=3，求实数m的值．
生2：因为|x1-x2|=3，|（x1-x2）2|=9；
则|（x1＋x2）2-4x1x2|=9，即|25-4m|=9．
例2 已知实系数一元二次方程2x2＋rx＋s=0的一个根为2i-3，求r，s的值． 生：2x2＋rx＋s=0一根为2i-3，另一根为-3-2i．由韦达定理知：
s=（2i-3）（-2i-3）=9＋16=25， r=2i-3+（-2i-3）=-6．
师：我们上面解决了实系数一元二次方程求解问题．对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程应该如何解？
例3 求方程x2-2ix-5=0的解．
生1：将方程左端配方，得（x-i）2-4=0，即（x-i）2=4．解得x-i=±2，即x1=2+i，x2=-2+i．
师：通过这个例子大家想一想对于方程ax2＋bx＋c=0（a≠0，a，b，c至少有一个虚数）解是什么？ 生1：对原方程左端配方，得
师：b2-4ac一定是解负实数吗？
生2：不一定．a，b，c中至少有一个是虚数，所以b2-4ac∈C． 师：那么这个方程的解应该怎样表示．
生3：先求b2-4ac的平方根．设b2-4ac的平方根为z1，z2∈C．那么
师：对．一元二次方程的求根公式此时仍然适用．再提一个问题，当b2-4ac≥0时，方程的解都是实数吗？ 生1：是．
师：请问由此得出怎样的结论．
生3：当一元二次方程的系数中至少有一个虚数时，求根公式仍然适用，但判别式不再适用． 师：还有吗？
生4：韦达定理仍然适用． 师：系数不全为实数的一元二次方程中，判别式不再适用，说明“世界上的任何事物都是相对的而不是绝对的”这一辩证唯物主义观点．求解系数不全为实数的一元二次方程的步骤：
（1）求出Δ=b2-4ac的平方根z1，z2；
练习 解方程：x2＋（1＋i）x＋5i=0． 生：Δ=[-（1＋i）]2-4×5i=-18i， 因为 -18i=（3-3i）2，
则 -18i的平方根为3-3i，-3＋3i． 所以 x1=1-2i，x2=2＋i为原方程解． 例4 解方程|z|+2z=2+4i．
师：解这个方程能用求根公式吗？
生1：不可以．此方程不是一元二次方程． 师：这类方程如何解呢？ 生：……
师：观察方程等号左端和左端．左端是一个虚数，实部、虚部都是已知的，右端是复数．两个复数相等的充要条件是什么？
生2：两个复数相等的充要条件是：实部与实部相等，虚部与虚部相等． 师：这个方程左端能分离实部虚部吗？
师：怎样求z？
生4：求出a，b即可．
众生：不对！ 师：为什么？
师：含有|z|的复数方程，转化为无理方程组时，所求出方程组的解一定要代回原方程组验根． 例5 方程x2+（m+2i）x+2+mi=0至少有一实根，求实数m的值和这方程的解． 生1：方程有实根，判别式Δ≥0，从而解出m．
生2：这是一个系数不全为实数的一元二次方程，根的判别式已不再适用． 师：对．那么方程有实根这一条件应如何用呢？ 生：……
师：设实根为x0，想到什么呢？ 生：分离复数的实部和虚部．
综上所述：
生1：设x=a＋bi．原方程转化为：
a2＋b2＋2a＋2bi=4＋2i．
所以 原方程的解为：x1=-3＋i或x2=1-i． 师：这位同学解题过程有问题吗？ 生2：设x=a＋bi（a，b∈R）．没有“a，b∈R”这一条件，上面的解法就无依据了． 师：我们一定要注意思维的严谨性．
师：形如anxn＋a0=0（a0，an∈C且an≠0，n∈N+，n≥3）的方程叫做二项方程．任何一个二项高次方程都可以化成xn=a（a∈C）的形式．因此都可以通过复数开方求根，在复数集内有且仅有n个复数根．
例6 在复数集内解方程：
x4＋x2＋x2＋x＋1=0．
师：这个方程与二项方程有关系吗？
生：方程左端是等比数列．由等比数列前n项和公式得到x4＋x3＋
师：现在把原方程的求解问题转化为x5=1的求解问题，这就是数学中转化的思想．把未知问题向已知问题转化，从而使未知问题得到解决．
师：这个方程能转化为二项方程吗？ 生：……
师：|z|能计算出来吗？
生：由z5=|z|2，知|z|=0或|z|=1． 当|z|=0时，z4=z．解为z=0．
师：这节课我们研究了几类方程的解法？
生：这节课是研究在复数范围内解方程．主要类型有：（1）实系数一元二次方程；
（2）系数不全为实数的一元二次方程；
（3）含有|z|，
师：解这几类方程应注意些什么？
生1：对于实系数一元二次方程：当Δ＞0时，方程有两个相异的实根；
当Δ=0时，方程有两个相等的实根；
当Δ＜0时，方程有两个共
生2：对于系数不全为实数的一元二次方程，根的判别式不再适用，但求根公式，韦达定理仍然适用．在使用求根公式时，需先计算出Δ=b2-4ac的平方根．
法，根据复数相等的充要条件，转化为方程组，从而求出z．特别注意，在解无理方程时，一定要验根．另外，若方程有实根时，解决问题的方法类似．
生4：对于高次方程的解法，通常要转化为二项方程．在复数范围内解方程时，n次方程一定有n个根． 师：这节课通过复数范围内方程的求解过程，我们要进一步体会数学转化的思想、方程的思想的运用． 作业
1．P214：2，4；
P217：16（1），（3），（5）；
P218：20（2），（4）． 2．补充题：
（2）解方程：x2-4ix+5=0；
（3）已知方程x2+mx+1+2i=0（m∈C）有实根，求|m|的最小值． 补充题答案
（1）设z=a＋bi，a，b∈R．a2+b2-3ai-3b=1+3i，则
（2）Δ=（-4i）2-4×5=-16-20=-36．-36的平方根为6i，-6i．
课堂教学设计说明
法．为了保持本教案的完整性将可化为二项方程的高次方程的解法也列入本教案，教学中可根据情况酌情处理．
本教案中学生答错的地方，带有一定的普遍性，应给予足够的重视．
本教案特别强调展示学生的思维过程，在教师的逐步引导下，诱导学生得出正确的结论，使学生有水到渠成的感觉．
教学准备
1. 教学目标
1、知识与技能：了解引进复数的必要性；
理解并掌握虚数的单位i；
2、过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律；
3、情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。
2. 教学重点/难点
教学重点，难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
3. 教学用具 4. 标签
教学方法：阅读理解，探析归纳，讲练结合
教学过程 教学过程
（一）、问题情境
1、情境：数的概念的发展：从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面． ①解决实际问题的需要．由于计数的需要产生了自然数；
为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；
由于测量等需要产生了分数；
为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数)．
6、两个复数不能比较大小：两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，不能比较它们的大小。
7、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 (三)、知识运用，能力提高
1、例题：例1．写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．
（四）、回顾小结
1、能够识别复数，并能说出复数在什么条件下是实数、虚数、纯虚数；
2、复数相等的充要条件。
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