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重要极限证明
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重要极限证明
1.求证：sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))=√(2n +1)/2^n,
Sol:复数方法：
复数方程 z^(2n＋1)＝1的根是 a1，a2，a3，...，a(2n)，1。
其中，ak＝cos(2kπ/(2n+1))＋i sin(2kπ/(2n+1))，k＝1，2，...，2n。
所以，ak＝(a1)^k 所以，z^(2n＋1)－1＝(z－a1)(z－a2)...(z－a(2n))(z－1)，即
(z－a1)(z－a2)...(z－a(2n))＝(z^(2n＋1)－1)/(z－1)＝z^(2n)＋z^(2n－1)＋...＋z＋1。
两边令z＝1，并取模，则：
|1－a1|×|1－a2|×......×|1－a2n|＝2n＋1.........（*) 因为，|1－ak|＝√|(cos(2kπ/(2n+1))－1))＋i sin(2kπ/(2n+1))|＝2×sin(kπ/(2n+1))，所以由(*)式得：
2^n×sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))＝2n＋1。
所以，sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))＝√(2n＋1)/2^n 2.三角函数
求证：sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))=√(2n +1)/2^n.
证:sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))........sin(nπ/(2n+1))=√(2n +1)/2^n 设Z=cos2π/(2n+1)+ isin2π/(2n+1) 则x^(2n+1)=1的根为1,z,...z^2n 得x^2n+...+x+1=(x-z)(x-z^2)...(x-z^2n) 2n+1=｜(1-z)｜｜(1-z^2)｜...｜(1-z^2n)｜...(1) 又｜(1-z^k)｜=2sinkπ/(2n+1)...(2) |1-z^k|=|1-(cos(2kπ/(2n+1)) +sin(2kπ/(2n+1)) )|=|1-cos(2kπ/(2n+1))) -sin(2kπ/(2n+1)) )|=√((1-2cos(2kπ/(2n+1)) +cos^2 (2kπ/(2n+1))) + sin^2 (2kπ/(2n+1)))=√(2-2cos(2kπ/(2n+1)) )=√(4sin^2(kπ/(2n+1))=2sin(kπ/(2n+1) 故
2n+1=( n(π/(2n+1)).n(2π/(2n+1)) n(3π/(2n+1))........n(2nπ/(2n+1)) 两边开方,得
sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))........sin(nπ/(2n+1))=√(2n+1) / 2^n 另外那个类似,可以尝试自己证一下.
3.为什么sinπ／n+sin2π／n......+sin(n-1)π／n=cotπ／2n? 解：2 sin [π／(2n)]·sin(π／n)=cos [π／n -π／(2n)]- cos [π／n +π／(2n)]=cos [π／(2n)]- cos [3π／(2n)]2 sin [π／(2n)]·sin(2π／n)=cos [2π／n -π／(2n)]- cos [2π／n+π／(2n)]=cos [3π／(2n)]- cos [5π／(2n)]2 sin [π／(2n)]·sin(3π／n)=cos [3π／n -π／(2n)]- cos [3π／n +π／(2n)]=cos [5π／(2n)]- cos [7π／(2n)]……2 sin [π／(2n)]·sin[(n-1)π／n]=cos [(n-1)π／n -π／(2n)]- cos [(n-1)π／n +π／(2n)]=cos [(2n-3）π／(2n)]- cos [(2n-1)π／(2n)] 故：2 sin [π／(2n)] ·｛sin(π／n)+sin(2π／n)+......+sin[(n-1)π／n]｝=cos [π／(2n)]- cos [(2n-1)π／(2n)]=cos [π／(2n)]- cos [π-π／(2n)]=2 cos [π／(2n)] 故：sin(π／n)+sin(2π／n)+......+sin[(n-1)π／n]=cos[π／(2n)]/ sin [π／(2n)]=cot [π／(2n)]
4.级数sin n/(n+1)收敛还是发散,如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛,为什么? Sol:收敛,Dirichlet判别法.这是最典型的一个用Dirichlet判别法判别收敛的例子.sinn的部分和＝[sin1/2(sin1+sin2+...+sinn)]/sin1/2（积化和差公式）＝[cos1/2-cos(2n+1)/2)]/sin1/2,于是有界,1/(n+1)单调递减趋于0,收敛.不绝对收敛.|sinn/(n+1)|>=sin^2n/(n+1)=[1-cos(2n)]/2(n+1).类似用Dirichlet判别法知道级数cos2n/(n+1)收敛,但级数1/(n+1)发散,于是易知不绝对收敛.建议记住这个典型例子.
onlncn?lnc1n?...?lncn求lim?I.2xn2nnlnonlncn?lnc1?...?lncn?nln2?lnn?ln2?1lnnnnsol:? n2n2nnI=ln2
5.求sinπ/n*sin2π/n*…*sin(n-1)π/n的值,用复数思想
6.三角函数连乘(正弦)求证：sin[π/(2n+1)]*sin[2π/(2n+1)]*sin[3π/(2n+1)]*……*sin[nπ/(2n+1)]=(根号下2n-1)/2^n Sol: 7.证一般项级数∑sin√(n^2+1)π条件收敛 Sol:∵sin√(n2+1)π
=[(-1)^n]sin[√(n2+1)π-nπ]=[(-1)^n]sin[√(n2+1)-n]π=[(-1)^n]sin{1/[√(n2+1)+n]}π
lim(n→∞)[sin{1/[√(n2+1)+n]}π]/(1/n)=lim(n→∞)nπ/[√(n2+1)+n]=π/2 ∴∑sin{1/[√(n2+1)+n]}与∑1/n有相同的敛散性,即∑sin{1/[√(n2+1)+n]}π发散
lim(n→∞)sin{1/[√(n2+1)+n]}π=0,且sin{1/[√[(n+1)2+1]+(n+1)]}π≤sin{1/[√(n2+1)+n]}π
由莱布尼兹判别法知lim[(-1)^n]sin{1/[√(n2+1)+n]}π收敛 ∴原级数条件收敛
其他回答:sin√(n^2+1)π=(-1)^n sin(√(n^2+1)π+nπ) 再利用分子有理化可得：(-1)^n sin(π/[根号(n^2+1)+n]) 利用 Dirichlet判别法可知级数收敛。
而它的绝对值级数可以等价为：sin(π/[根号(n^2+1)+n])~π/[根号(n^2+1)+n]~1/n即发散。
9.Sin(π/n) ×sin(2π/n) ×sin(3π/n) ×…×sin[(n-1)π/n]=n×2^(1-n) 这等式怎么证?大概要从哪个方面入手? sin(π/n) ×sin(2π/n) ×sin(3π/n) ×…×sin[(n-1)π/n]=n×2^(1-n) 用复数
w=cos(2π/n)+isin(2π/n) w"=cos(2π/n)-isin(2π/n) z^n=1 (z-1)(z^(n-1)+z^(n-2)＋……＋z+1)=0 z^(n-1)+z^(n-2)＋……＋z+1=(z-w)(z-w^2)(z-w^3)……（z-w^(n-1)） 令 z=1 n＝(1-w)(1-w^2)(1-w^3)…(1-w^(n-1)） 1-w^k=2sinkπ/n(sinkπ/n+icoskπ/n) |1-w^k|=|2sinkπ/n(sinkπ/n+icoskπ/n)|=|2sinkπ/n||(sinkπ/n+icoskπ/n)|=|2sinkπ/n|=2sin(kπ/n) 取模
|n|＝|(1-w)(1-w^2)(1-w^3)…(1-w^(n-1))| |n|＝|(1-w)||(1-w^2)||(1-w^3)|…|(1-w^(n-1))| n=2^(n-1)sin(π/n)sin(2π/n)……sin[(n-1)π/n]
得证
两个重要极限的证明
两个重要极限的证明
那么，数列 的极限存在，且 。
证明：因为 ，所以对 ，当 时，有 ，即
，对 ，当 时，有 ，即 ，又因为 ，所以当 时，有 ， 即有：
，即 ，所以 。
准则I′如果函数 满足下列条件：
当 时，有 。
当 时，有 。
那么当 时， 的极限存在，且等于 。
如果数列 满足：
，就称之为单调增加数列;若满足：
，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。
如果 ，使得：
，就称数列 为有上界;若 ，使得：
，就称 有下界。
准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。
准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。
注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。
2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。
【例1】 【例2】 【例3】 【例4】 二、课堂练习：
三、布置作业：
附送：
两会“富民惠民安民”民生观心得体会
两会“富民惠民安民”民生观心得体会
总理报告凸显“富民惠民安民”民生观：
3月5日9时，十一届全国人大一次会议在人民大会堂开幕，国务院总理温家宝作政府工作报告。报告强调要更加注重社会建设，着力保障和改善民生，安排和部署了今年保障和改善民生的各项工作。报告虽然没有对保障和改善民生问题做更多的理论阐述，但审视改善民生的总体安排和具体政策措施，人们不难体会到报告凸显了“富民惠民安民”的民生观，深化了我们对民生问题的认识，是贯彻科学发展观、自觉走科学发展道路的生动体现。
富民实现全体人民的富裕幸福，是们建设社会主义的根本目的。富民是改善民生的首义，是社会主义的本质要求。报告提出要调整国民收入分配格局，深化收入分配制度改革，逐步提高居民收入在国民收入分配中的比重，提高劳动报酬在初次分配中的比重。
今年国家将进一步落实支农惠农政策，加强农业基础建设，促进农业发展和农民增收。必须清醒地看到，我国农业基础薄弱、农村发展滞后的局面尚未改变，农民持续增收的难度加大。富民的重点、难点在“富农”，没有广大农民的富裕就不会有全省乃至全国人民的富裕。因此，必须强化强农惠农政策，不断加大科
技投入，推进农业产业化经营，大力发展乡镇企业，多渠道转移农民就业，推进城乡一体化进程，促进农民持续增收。
建立企业职工工资正常增长机制和支付保障机制，体现了发展依靠人民，发展为了人民，发展成果由人民共享的思想。从需求结构，也就是投资、消费和出口的比例关系来看，近年来我国宏观经济的突出矛盾是，投资、外贸增长过快，消费增长相对缓慢，而消费需求增长相对较慢，说明有货币支付能力的需求相对较少。因此，提高居民收入是当前的重要任务。低收入者往往只有自身的劳动力可以作为获取财富的来源，提高劳动报酬，将使那些只能凭劳动力赚取收入的低收入者更多地分享到经济发展的成果。富民是个整体性概念，均等和公平是它的应有之义。建立工资正常增长机制和支付保障机制，是深化收入分配制度改革、解决地区和行业工资收入差距、保障和改善民生的重要举措。
富民与经济发展是辩证统一的关系。发展是硬道理，解决人民群众的一切困难和问题，从根本上说靠发展。只有经济不断发展，才能逐步实现全体人民的富裕幸福。同时，通过“富民”让群众得其利，又会拉动经济增长，实现经济发展的良性循环。经济增长主要靠“三套马车”拉动，投资、消费、出口，民不富直接导致消费市场低迷，难以拉动经济增长。富民与经济发展相辅相成，富民既是经济发展的手段，也是经济发展的目的。
惠民 惠民就是要解决好教育、医疗、住房、社会保障等与百姓生活息息相关的问题，是全面应对民生升级，实现人的全面发展之必须。教育是民族振兴的基石，教育公平是社会公平的重要基础。实施惠民政策，继续优先发展教育事业，在全国城乡普遍实行义务教育，进一步增加教育投入，加强教师队伍特别是农村教师队伍建设，完善和落实教师工资、津补贴制度，提高教育水
平，推进教育公平化，是保障和改善民生的重要内容。地区和群体性的教育差距，根源在于地区经济和居民收入水平的差距，缩小这种差距离不开党和政府的惠民政策。实施惠民政策，推进公平化教育工程，是着重解决人民群众最关心、最直接、最现实的利益问题的务实之举。
就业是民生之本。保障和改善民生的要义是充分就业。报告提出要坚持实施积极的就业政策，落实以创业带动就业的方针，加强就业和创业培训，鼓励自谋职业和自主创业，支持创办小型企业；
快建设城乡统一规范的人力资源市场，完善公共就业服务体系，促进形成城乡劳动者平等就业制度；
善就业援助制度，落实促进残疾人就业政策，建立帮助零就业家庭解决就业困难的长效机制。报告还提出建立和完善覆盖城乡的社会保障体系。以社会保险、社会救助、社会福利为基础，以基本养老、基本医疗、最低生活保障制度为重点，以慈善事业、商业保险为补充，加快完善社会保障体系，是最大的“惠民”工程。当前，要注重解决好特困群众的生活问题，努力实现“四个全覆盖”，即城乡困难群众最低生活保障全覆盖，农村和城市困难家庭学生义务教育免除学杂费全覆盖，农村新型合作医疗全覆盖，城市特困群众廉租住房应保户全覆盖，让困难群众也能过上舒心的生活。
两个重要极限的证明第六节 极限存在准则、两个重要极限
教学目的：1 使学生掌握极限存在的两个准则；
并会利用它们求极限；
2使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法；
教学重点：利用两个重要极限求极限 教学过程：
一、讲授新课：
准则I：如果数列 满足下列条件：
(i)对 ; (ii) 那么，数列 的极限存在，且 。
证明：因为 ，所以对 ，当 时，有 ，即
，对 ，当 时，有 ，即 ，又因为 ，所以当 时，有 ， 即有：
，即 ，所以 。
准则I′如果函数 满足下列条件：
(i)当 时，有 。
(ii)当 时，有 。
那么当 时， 的极限存在，且等于 。
第一个重要极限：
作为准则I′的应用，下面将证明第一个重要极限：
。
证明：作单位圆，如下图：
设 为圆心角 ，并设 见图不难发现：
，即：
，即 ， (因为 ，所以上不等式不改变方向) 当 改变符号时， 及1的值均不变，故对满足 的一切 ，有 。
又因为 ，
所以 而 ，证毕。
【例1】 。
【例2】 。
【例3】 。
【例4】 。
准则Ⅱ：单调有界数列必有极限
如果数列 满足：
，就称之为单调增加数列;若满足：
，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。
如果 ，使得：
，就称数列 为有上界;若 ，使得：
，就称 有下界。
准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。
准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。
注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。
2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。
第二个重要极限：
作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明极限 是不存在的。
先考虑 取正整数时的情形：
对于 ，有不等式：
，即：
，
即：
(i)现令 ，显然 ，因为 将其代入，所以 ，所以 为单调数列。
(ii)又令 ， 所以 ，
即对 ， 又对 所以{ }是有界的。
由准则Ⅱ或Ⅱ′知 存在，并使用 来表示，即 注 1：关于此极限存在性的证明，书上有不同的方法，希望同学自己看! 2：我们可证明：
，具体在此不证明了，书上也有，由证明过程知：
。
3：指数函数 及自然对数 中的底就是这个常数 。
两个重要的极限
1．证明：lim
sinxx
x?0
?1
证明：如图（a）作单位圆。当0
21
12x?
12
?2
时，显然有ΔOAD面积
xsinx
?
1cosx
tgx，sinx
?2
或1?
sinxx
?cosx
?2
?x?0
时也成立。
图（a）
故（1）式对一切满足不等式0?|x|?的x都成立。
sinxx
?1。
由limcosx=1及函数极限的迫敛性定理立刻可得lim
x?0
x?0
函数f(x)=
sinxx
的图象如图（b）所示。
2．证明：lim(1?)n存在。
n
n
证明：先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n有
b
n?1
图（b）
n?1
?a
n?1
b?a
?(n?1)b或b
n
n?1
?a
n?1
?(n?1)b(b?a)，整理后得不等式a
n（1） ?b[(n?1)a?nb]。
n
令a=1+故有(1?
1n?1)
n?1
，b=1+
1n)
1n
n
，将它们代入（1）。由于(n?1)a?nb?(n?1)(1?
1n?1
)?n(1?
1n
)?1，
n?1
?(1?
12n
，这就是说{(1?)n}为递增数列。
n
12n)?
12
再令a=1，b=1+代入（1）。由于(n?1)a?nb?(n?1)?n(1?
12n)
2n
，故有1?(1?
12n
)
n
12
，2?(1?
12n1n
)
n
。
不等式两端平方后有4?(1?，它对一切自然数n成立。联系数列的单调性，由此又推得数列{(1?)n}
是有界的。于是由单调有界定理知道极限lim(1?)n是存在的。
n
n
3．证明：lim(1?)x?e。
x
x
证明：所求证的极限等价于同时成立下述两个极限：
x?
lim(1?
1x
)?e
x
（1）
x?
lim(1?
1x
)?e
x
（2）
现在先应用2中数列极限lim(1?)n?e，证明（1）式成立。
n
n
设n≤x
1n?1
?1?
1x
?1?
1n
及(1?
1n?1
)
n
1n?1
)?(1?
n
1x
)?(1?
x
1n
)
n?1
， （3）
作定义在[1，+?)上的阶梯函数。f(x)?(1?，n≤x
n
由（3）有f(x)
x
x?
n
11n?1
(1?
)?lim
n
n
n?1
11?
n?
)
n?1
?e
x?limg(x)?lim(1?n1n)n?1?lim(1?n1n)(1?n1
n)?e，根据迫敛性定理便得（1）式。
11
y)?y现在证明（2）式。为此作代换x=-y，则(1?)x?(1?x?(1?1
y?1)?(1?y1
y?1)y?1(1?1
y?1)
因为当x→-∞时，有y-1→+∞，故上式右端以e为极限，这就证得lim(1?)x?e。
x?1x
以后还常常用到e的另一种极限形式lim(1?a)a?e a?0
1x（4） 1
a?0因为，令a?1x，则x→∞和a→0是等价的，所以，lim(1?)?lim(1?a)a。
xx
极限证明-证明范文
第一篇：极限证明 极限证明
1.设fx在,上无穷次可微，且fxxnn?，求证当k?n?1时，?x， limfkx?0． x? 2.设fx0sinntdt，求证：当n为奇数时，fx是以2?为周期的周期函数；
当n为
偶数时fx是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和． x fnx?0．?{xn}?3.设fx在,上无穷次可微；
f0f?0?0xlim求证：n?1，? ?n，0?xn?xn?1，使fnxn?0．
sinf(x)?1．求证limfx存在． 4.设fx在a,上连续，且xlim?x? 5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limnxn存在并求极限值。
6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x.nxnn 7.用肯定语气叙述：limx?f?x.
8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。 an?1 t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点xa,b?,极限limf?t?存在且有限（当x?a或b时，
为单侧极限）。证明：函数f在?a,b?上有界。
10.设limnan?a,证明：lima1?2a2?nana?.n2n2 11.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。
12.证明：若? af?x?dx收敛且limx?f?x?，则0.11?an?收
敛
。
?,n?1,2,?.求
证
：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2? n 14.证明公式?k?11k?2n?cn，其中c是与n无关的常数，limn?n?0.15.设f?x?在[a,)上可微且有界。证明存在一个数列?xn[a,?),使得limnxn?且limnf"?xn0.16.设f?u?具有连续的导函数，且limu?f"?ua?0,dx,y?|x2?y2?r2,x,y?0
?r?0?.i ?1?证明：limuf?u;?2?求ir?f"?x2?y2?dxdy;?3?求limr2 r d r 17.设f?x?于[a,)可导，且f"?xc?0?c为常数?,证明：
?1?limx?f?x;?2?f?x?于[a,)必有最小值。
18.设limn?an?a,limn?bn?b,其中b?0,用n语言证明lim ana?.n?bbn ?sn?x19.设函数列?sn?x的每一项sn?x?都在x0连续，u是以x0为中心的某个开区间，
在ux0?内闭一致收敛于s?x?,又limnsn?x0,证明：lims?x.
x?x0 20.叙述并证明limx?f?x?存在且有限的充分必要条件?柯西收敛原理? a 23.设? fx=0.证明xlimfxdx收敛,且fx在?a,?上一致连续，? 24.设a1 0，an?1＝an＋，证明＝1 nan25.设f?x?在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，m?h?与m?h?分别表示f?x?在
?a?h,a?h?上的上、下确界，又设?hn?是一趋于0的递减数列，证明：
1）limnm?hn?与limnm?hn?都存在；
2)limn?0m?hlimnm?hn?,limn?0m?hlimnm?hn?; 27.设an?a,用定义证明:limn?an?a 28.设x1?0，xn?1? 31?xn ,n?1,2,?，证明limxn存在并求出来。
n3?xn 29.用“?语言”证明lim30.设fx? x?2x?1 ?0 x?1x?3 x?2 ，数列?xn?由如下递推公式定义：x0?1，xn?1?fxn，n?0，x?1 n 1，2，?，求证：limxn?2。
31.设fnx?cosx?cos2x?cosnx，求证：
（a）对任意自然数n，方程fnx?1在[0,?/3)内有且仅有一个正根；
（b）设xn?[0,1/3)是fnx?1的根，则limxn/3。
n 32.设函数ft在a,b连续，若有数列xn?a,yn?axn,yn?(a,b)使
limfxn?an及limfyn?bn，则对a，b之间的任意数?， 可找到数列xn?a，使得limfzn 33.设函数f在[a,b]上连续，且 f?0,记fvn?fa?v?n,?n? ?exp{ b?a ，试证明：n 1b lnfxdx}n并利用上述等式证明下?ab?a 式 2? ? 2? ln1?2rcosx?r2dx?2lnrr?1 fb?fa
?k b?a 34.设f‘0?k,试证明lim a?0?b?0? 35.设fx连续，?x0fxtdt，且lim x?0 论?"x在x?0处的连续性。
fx ，求?"x，并讨?a（常数） x 36． 给出riemann积分?afxdx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛
i1 lim?s。
nni?0n ?x322 ,x?y?0?2
37.定义函数f?x?x?y2.证明f?x?在?0,0?处连续但不可微。 ?0,x?y?0? n?1 b 38.设f是?0,上有界连续函数，并设r1,r2,?是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,?,使得：limn?f?xn?rnf?xn?0.39.设函数f?x?在x?0连续，且limx?0 f?2xf?xa,求证：f"?0?存在且等于a.x 1n 40.无穷数列?an,bn?满足limnan?a,limnbn?b,证明:lim?aibn?1-i?ab.nni?1 41.设f是?0,上具有二阶连续导数的正函数，且f"?x0,f""有界，则limtf"?t0 42.用?分析定义证明limt1
x?31 ? x2?92 43.证明下列各题
?1?设an0,1?，n?1,2,?,试证明级数?2nann?1?an?n收敛；
n?1 ? ?2?设?an?为单调递减的正项数列，级数?n2014an收敛，试证明limn2014an?0; n n?1 ? ?3?设f?x?在x?0附近有定义，试证明权限limx?0f?x?存在的充要条件是：对任何趋于0的数列?xn,yn?都有limn?f?xnf?yn?0.?1?44.设?an?为单调递减数列的正项数列，级数?anln?1?an?0?收敛，试证明limnn?n?1? a?1。
45.设an?0，n=1,2， an?a?0,n,证 limn
n ? 46.设f为上实值函数，且f（1）＝1，f?（x）＝〔1，＋?〕 limf（x）存在且小于1＋。
x?＋?4 ，证明x?1）2 x2＋f（x） ? 47.已知数列{an}收敛于a，且
a?a?asn?，用定义证明{sn}也收敛于a n 48.若f?x?在?0,?上可微，lim n fx ?0，求证?0,?内存在一个单
xx 调数列{?n}，使得lim?n?且limfn?0 n xe?sinx?cosx?,x?0 49.设f?x?2,确定常数a,b,c,使得f""?x?在?,处处存在。
ax?bx?c,x?0 第二篇：极限的证明
极限的证明利用极限存在准则证明：
1当x趋近于正无穷时，inx/x 的极限为0; 2证明数列{xn}，其中a 0，xo 0,xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。
1)用夹逼准则: x大于1时,lnx 0,x 0,故lnx/x 0 且lnx1),lnx/x x-1/x .而x-1/x 极限为0 故inx/x 的极限为0 2)用单调有界数列收敛:
分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a x0 √a时,xn-xn-1=/2 0,单调递减
且xn=/2 √a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为a,xn和xn-1极限都为a.对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a 同理可求x0 √a时,极限亦为√a 综上,数列极限存在,且为√ 一时函数的极限：
以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义和.几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证…… 二时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证类似有(三单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质3学时
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：
一函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性不等式性质: th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=现证对有
註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性: 6.四则运算性质:只证“+”和“”
二利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
注意前四个极限中极限就是函数值
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1利用极限和
例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4 例5例6例7 第三篇：数列极限的证明
数列极限的证明x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限
求极限我会 |xn+1-a| |xn-a|/a 以此类推，改变数列下标可得|xn-a| |xn-1-a|/a;
|xn-1-a| |xn-2-a|/a; …… |x2-a| |x1-a|/a; 向上迭代，
可
以得到
|xn+1-a|
|xn-a|/a
2 只要证明{xn}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法：
①证明{xn}单调增加。
x2=√=√5 x1; 设xk+1 xk，则
xk+2-xk+1)=√-√分子有理化=/【√+√】 0。
②证明{xn}有上界。
x1=1 4， 设xk 4，则 xk+im=0 n→∞ (2lim=3/2
n→∞ 3lim=0 n→∞
4lim0.999…9=1 n→∞n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。lim就省略不打了。。。
n/n +1=0 √n +4/n=1 sin1/n=0 实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了
第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行 第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则不知楼主学了没，没学的话以后会学的
第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin1/n=0 不知楼主觉得我的解法对不对呀
limn/n +1=lim1/n/1+1/n=lim1/n/1+lim(1+n=0/1=0 lim√n +4/n=lim√1+4/n=√1+lim4/n=√1+4lim1/n=1 limsin1/n=lim=lim1/n*lim/1/n=0*1=0 第四篇：函数极限的证明
函数极限的证明一时函数的极限：
以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义和.几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证…… 二时函数的极限：
由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证类似有(三单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质3学时
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：
一函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性不等式性质: th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=现证对有
註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性: 6.四则运算性质:只证“+”和“”
二利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
注意前四个极限中极限就是函数值
这些极限可作为公使用，即刻完成写稿任务。下载全文：
极限的证明
利用极限存在准则证明：
(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;
(2)证明数列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。
1)用夹逼准则:
x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0
且lnx1),lnx/x^2
故(Inx/x^2)的极限为0
2)用单调有界数列收敛:
分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a
x0>√a时,Xn-X(n-1)=/2
且Xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.
对原始两边求极限得A=/2.解得A=√a
同理可求x0
综上,数列极限存在,且为√
(一)时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号:的意义,的直观意义.
定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
(二)时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
Th类似有:例10证明:极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质(3学时)
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)
註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1(利用极限和)
例2例3註:关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
函数极限证明
记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;
下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。
不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1;
那么存在N1,当x>N1,有a/MN2时，0Ni时，0
那么当x>N,有
(a/M)^n
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极限
1.求证：sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))=√(2n +1)/2^n,
Sol:复数方法：
复数方程 z^(2n＋1)＝1的根是 a1，a2，a3，...，a(2n)，1。
其中，ak＝cos(2kπ/(2n+1))＋i sin(2kπ/(2n+1))，k＝1，2，...，2n。
所以，ak＝(a1)^k 所以，z^(2n＋1)－1＝(z－a1)(z－a2)...(z－a(2n))(z－1)，即
(z－a1)(z－a2)...(z－a(2n))＝(z^(2n＋1)－1)/(z－1)＝z^(2n)＋z^(2n－1)＋...＋z＋1。
两边令z＝1，并取模，则：
|1－a1|×|1－a2|×......×|1－a2n|＝2n＋1.........（*) 因为，|1－ak|＝√|(cos(2kπ/(2n+1))－1))＋i sin(2kπ/(2n+1))|＝2×sin(kπ/(2n+1))，所以由(*)式得：
2^n×sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))＝2n＋1。
所以，sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))＝√(2n＋1)/2^n 2.三角函数
求证：sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))=√(2n +1)/2^n.
证:sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))........sin(nπ/(2n+1))=√(2n +1)/2^n 设Z=cos2π/(2n+1)+ isin2π/(2n+1) 则x^(2n+1)=1的根为1,z,...z^2n 得x^2n+...+x+1=(x-z)(x-z^2)...(x-z^2n) 2n+1=｜(1-z)｜｜(1-z^2)｜...｜(1-z^2n)｜...(1) 又｜(1-z^k)｜=2sinkπ/(2n+1)...(2) |1-z^k|=|1-(cos(2kπ/(2n+1)) +sin(2kπ/(2n+1)) )|=|1-cos(2kπ/(2n+1))) -sin(2kπ/(2n+1)) )|=√((1-2cos(2kπ/(2n+1)) +cos^2 (2kπ/(2n+1))) + sin^2 (2kπ/(2n+1)))=√(2-2cos(2kπ/(2n+1)) )=√(4sin^2(kπ/(2n+1))=2sin(kπ/(2n+1) 故
2n+1=( n(π/(2n+1)).n(2π/(2n+1)) n(3π/(2n+1))........n(2nπ/(2n+1)) 两边开方,得
sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))........sin(nπ/(2n+1))=√(2n+1) / 2^n 另外那个类似,可以尝试自己证一下.
3.为什么sinπ／n+sin2π／n......+sin(n-1)π／n=cotπ／2n? 解：2 sin [π／(2n)]·sin(π／n)=cos [π／n -π／(2n)]- cos [π／n +π／(2n)]=cos [π／(2n)]- cos [3π／(2n)]2 sin [π／(2n)]·sin(2π／n)=cos [2π／n -π／(2n)]- cos [2π／n+π／(2n)]=cos [3π／(2n)]- cos [5π／(2n)]2 sin [π／(2n)]·sin(3π／n)=cos [3π／n -π／(2n)]- cos [3π／n +π／(2n)]=cos [5π／(2n)]- cos [7π／(2n)]……2 sin [π／(2n)]·sin[(n-1)π／n]=cos [(n-1)π／n -π／(2n)]- cos [(n-1)π／n +π／(2n)]=cos [(2n-3）π／(2n)]- cos [(2n-1)π／(2n)] 故：2 sin [π／(2n)] ·｛sin(π／n)+sin(2π／n)+......+sin[(n-1)π／n]｝=cos [π／(2n)]- cos [(2n-1)π／(2n)]=cos [π／(2n)]- cos [π-π／(2n)]=2 cos [π／(2n)] 故：sin(π／n)+sin(2π／n)+......+sin[(n-1)π／n]=cos[π／(2n)]/ sin [π／(2n)]=cot [π／(2n)]
4.级数sin n/(n+1)收敛还是发散,如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛,为什么? Sol:收敛,Dirichlet判别法.这是最典型的一个用Dirichlet判别法判别收敛的例子.sinn的部分和＝[sin1/2(sin1+sin2+...+sinn)]/sin1/2（积化和差公式）＝[cos1/2-cos(2n+1)/2)]/sin1/2,于是有界,1/(n+1)单调递减趋于0,收敛.不绝对收敛.|sinn/(n+1)|>=sin^2n/(n+1)=[1-cos(2n)]/2(n+1).类似用Dirichlet判别法知道级数cos2n/(n+1)收敛,但级数1/(n+1)发散,于是易知不绝对收敛.建议记住这个典型例子.
onlncn?lnc1n?...?lncn求lim?I.2xn2nnlnonlncn?lnc1?...?lncn?nln2?lnn?ln2?1lnnnnsol:? n2n2nnI=ln2
5.求sinπ/n*sin2π/n*…*sin(n-1)π/n的值,用复数思想
6.三角函数连乘(正弦)求证：sin[π/(2n+1)]*sin[2π/(2n+1)]*sin[3π/(2n+1)]*……*sin[nπ/(2n+1)]=(根号下2n-1)/2^n Sol: 7.证一般项级数∑sin√(n^2+1)π条件收敛 Sol:∵sin√(n2+1)π
=[(-1)^n]sin[√(n2+1)π-nπ]=[(-1)^n]sin[√(n2+1)-n]π=[(-1)^n]sin{1/[√(n2+1)+n]}π
lim(n→∞)[sin{1/[√(n2+1)+n]}π]/(1/n)=lim(n→∞)nπ/[√(n2+1)+n]=π/2 ∴∑sin{1/[√(n2+1)+n]}与∑1/n有相同的敛散性,即∑sin{1/[√(n2+1)+n]}π发散
lim(n→∞)sin{1/[√(n2+1)+n]}π=0,且sin{1/[√[(n+1)2+1]+(n+1)]}π≤sin{1/[√(n2+1)+n]}π
由莱布尼兹判别法知lim[(-1)^n]sin{1/[√(n2+1)+n]}π收敛 ∴原级数条件收敛
其他回答:sin√(n^2+1)π=(-1)^n sin(√(n^2+1)π+nπ) 再利用分子有理化可得：(-1)^n sin(π/[根号(n^2+1)+n]) 利用 Dirichlet判别法可知级数收敛。
而它的绝对值级数可以等价为：sin(π/[根号(n^2+1)+n])~π/[根号(n^2+1)+n]~1/n即发散。
9.Sin(π/n) ×sin(2π/n) ×sin(3π/n) ×…×sin[(n-1)π/n]=n×2^(1-n) 这等式怎么证?大概要从哪个方面入手? sin(π/n) ×sin(2π/n) ×sin(3π/n) ×…×sin[(n-1)π/n]=n×2^(1-n) 用复数
w=cos(2π/n)+isin(2π/n) w"=cos(2π/n)-isin(2π/n) z^n=1 (z-1)(z^(n-1)+z^(n-2)＋……＋z+1)=0 z^(n-1)+z^(n-2)＋……＋z+1=(z-w)(z-w^2)(z-w^3)……（z-w^(n-1)） 令 z=1 n＝(1-w)(1-w^2)(1-w^3)…(1-w^(n-1)） 1-w^k=2sinkπ/n(sinkπ/n+icoskπ/n) |1-w^k|=|2sinkπ/n(sinkπ/n+icoskπ/n)|=|2sinkπ/n||(sinkπ/n+icoskπ/n)|=|2sinkπ/n|=2sin(kπ/n) 取模
|n|＝|(1-w)(1-w^2)(1-w^3)…(1-w^(n-1))| |n|＝|(1-w)||(1-w^2)||(1-w^3)|…|(1-w^(n-1))| n=2^(n-1)sin(π/n)sin(2π/n)……sin[(n-1)π/n]
得证
两个重要极限的证明
两个重要极限的证明
那么，数列 的极限存在，且 。
证明：因为 ，所以对 ，当 时，有 ，即
，对 ，当 时，有 ，即 ，又因为 ，所以当 时，有 ， 即有：
，即 ，所以 。
准则I′如果函数 满足下列条件：
当 时，有 。
当 时，有 。
那么当 时， 的极限存在，且等于 。
如果数列 满足：
，就称之为单调增加数列;若满足：
，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。
如果 ，使得：
，就称数列 为有上界;若 ，使得：
，就称 有下界。
准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。
准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。
注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。
2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。
【例1】 【例2】 【例3】 【例4】 二、课堂练习：
三、布置作业：
附送：
两会“富民惠民安民”民生观心得体会
两会“富民惠民安民”民生观心得体会
总理报告凸显“富民惠民安民”民生观：
3月5日9时，十一届全国人大一次会议在人民大会堂开幕，国务院总理温家宝作政府工作报告。报告强调要更加注重社会建设，着力保障和改善民生，安排和部署了今年保障和改善民生的各项工作。报告虽然没有对保障和改善民生问题做更多的理论阐述，但审视改善民生的总体安排和具体政策措施，人们不难体会到报告凸显了“富民惠民安民”的民生观，深化了我们对民生问题的认识，是贯彻科学发展观、自觉走科学发展道路的生动体现。
富民实现全体人民的富裕幸福，是们建设社会主义的根本目的。富民是改善民生的首义，是社会主义的本质要求。报告提出要调整国民收入分配格局，深化收入分配制度改革，逐步提高居民收入在国民收入分配中的比重，提高劳动报酬在初次分配中的比重。
今年国家将进一步落实支农惠农政策，加强农业基础建设，促进农业发展和农民增收。必须清醒地看到，我国农业基础薄弱、农村发展滞后的局面尚未改变，农民持续增收的难度加大。富民的重点、难点在“富农”，没有广大农民的富裕就不会有全省乃至全国人民的富裕。因此，必须强化强农惠农政策，不断加大科
技投入，推进农业产业化经营，大力发展乡镇企业，多渠道转移农民就业，推进城乡一体化进程，促进农民持续增收。
建立企业职工工资正常增长机制和支付保障机制，体现了发展依靠人民，发展为了人民，发展成果由人民共享的思想。从需求结构，也就是投资、消费和出口的比例关系来看，近年来我国宏观经济的突出矛盾是，投资、外贸增长过快，消费增长相对缓慢，而消费需求增长相对较慢，说明有货币支付能力的需求相对较少。因此，提高居民收入是当前的重要任务。低收入者往往只有自身的劳动力可以作为获取财富的来源，提高劳动报酬，将使那些只能凭劳动力赚取收入的低收入者更多地分享到经济发展的成果。富民是个整体性概念，均等和公平是它的应有之义。建立工资正常增长机制和支付保障机制，是深化收入分配制度改革、解决地区和行业工资收入差距、保障和改善民生的重要举措。
富民与经济发展是辩证统一的关系。发展是硬道理，解决人民群众的一切困难和问题，从根本上说靠发展。只有经济不断发展，才能逐步实现全体人民的富裕幸福。同时，通过“富民”让群众得其利，又会拉动经济增长，实现经济发展的良性循环。经济增长主要靠“三套马车”拉动，投资、消费、出口，民不富直接导致消费市场低迷，难以拉动经济增长。富民与经济发展相辅相成，富民既是经济发展的手段，也是经济发展的目的。
惠民 惠民就是要解决好教育、医疗、住房、社会保障等与百姓生活息息相关的问题，是全面应对民生升级，实现人的全面发展之必须。教育是民族振兴的基石，教育公平是社会公平的重要基础。实施惠民政策，继续优先发展教育事业，在全国城乡普遍实行义务教育，进一步增加教育投入，加强教师队伍特别是农村教师队伍建设，完善和落实教师工资、津补贴制度，提高教育水
平，推进教育公平化，是保障和改善民生的重要内容。地区和群体性的教育差距，根源在于地区经济和居民收入水平的差距，缩小这种差距离不开党和政府的惠民政策。实施惠民政策，推进公平化教育工程，是着重解决人民群众最关心、最直接、最现实的利益问题的务实之举。
就业是民生之本。保障和改善民生的要义是充分就业。报告提出要坚持实施积极的就业政策，落实以创业带动就业的方针，加强就业和创业培训，鼓励自谋职业和自主创业，支持创办小型企业；
快建设城乡统一规范的人力资源市场，完善公共就业服务体系，促进形成城乡劳动者平等就业制度；
善就业援助制度，落实促进残疾人就业政策，建立帮助零就业家庭解决就业困难的长效机制。报告还提出建立和完善覆盖城乡的社会保障体系。以社会保险、社会救助、社会福利为基础，以基本养老、基本医疗、最低生活保障制度为重点，以慈善事业、商业保险为补充，加快完善社会保障体系，是最大的“惠民”工程。当前，要注重解决好特困群众的生活问题，努力实现“四个全覆盖”，即城乡困难群众最低生活保障全覆盖，农村和城市困难家庭学生义务教育免除学杂费全覆盖，农村新型合作医疗全覆盖，城市特困群众廉租住房应保户全覆盖，让困难群众也能过上舒心的生活。
两个重要极限的证明第六节 极限存在准则、两个重要极限
教学目的：1 使学生掌握极限存在的两个准则；
并会利用它们求极限；
2使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法；
教学重点：利用两个重要极限求极限 教学过程：
一、讲授新课：
准则I：如果数列 满足下列条件：
(i)对 ; (ii) 那么，数列 的极限存在，且 。
证明：因为 ，所以对 ，当 时，有 ，即
，对 ，当 时，有 ，即 ，又因为 ，所以当 时，有 ， 即有：
，即 ，所以 。
准则I′如果函数 满足下列条件：
(i)当 时，有 。
(ii)当 时，有 。
那么当 时， 的极限存在，且等于 。
第一个重要极限：
作为准则I′的应用，下面将证明第一个重要极限：
。
证明：作单位圆，如下图：
设 为圆心角 ，并设 见图不难发现：
，即：
，即 ， (因为 ，所以上不等式不改变方向) 当 改变符号时， 及1的值均不变，故对满足 的一切 ，有 。
又因为 ，
所以 而 ，证毕。
【例1】 。
【例2】 。
【例3】 。
【例4】 。
准则Ⅱ：单调有界数列必有极限
如果数列 满足：
，就称之为单调增加数列;若满足：
，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。
如果 ，使得：
，就称数列 为有上界;若 ，使得：
，就称 有下界。
准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。
准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。
注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。
2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。
第二个重要极限：
作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明极限 是不存在的。
先考虑 取正整数时的情形：
对于 ，有不等式：
，即：
，
即：
(i)现令 ，显然 ，因为 将其代入，所以 ，所以 为单调数列。
(ii)又令 ， 所以 ，
即对 ， 又对 所以{ }是有界的。
由准则Ⅱ或Ⅱ′知 存在，并使用 来表示，即 注 1：关于此极限存在性的证明，书上有不同的方法，希望同学自己看! 2：我们可证明：
，具体在此不证明了，书上也有，由证明过程知：
。
3：指数函数 及自然对数 中的底就是这个常数 。
两个重要的极限
1．证明：lim
sinxx
x?0
?1
证明：如图（a）作单位圆。当0
21
12x?
12
?2
时，显然有ΔOAD面积
xsinx
?
1cosx
tgx，sinx
?2
或1?
sinxx
?cosx
?2
?x?0
时也成立。
图（a）
故（1）式对一切满足不等式0?|x|?的x都成立。
sinxx
?1。
由limcosx=1及函数极限的迫敛性定理立刻可得lim
x?0
x?0
函数f(x)=
sinxx
的图象如图（b）所示。
2．证明：lim(1?)n存在。
n
n
证明：先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n有
b
n?1
图（b）
n?1
?a
n?1
b?a
?(n?1)b或b
n
n?1
?a
n?1
?(n?1)b(b?a)，整理后得不等式a
n（1） ?b[(n?1)a?nb]。
n
令a=1+故有(1?
1n?1)
n?1
，b=1+
1n)
1n
n
，将它们代入（1）。由于(n?1)a?nb?(n?1)(1?
1n?1
)?n(1?
1n
)?1，
n?1
?(1?
12n
，这就是说{(1?)n}为递增数列。
n
12n)?
12
再令a=1，b=1+代入（1）。由于(n?1)a?nb?(n?1)?n(1?
12n)
2n
，故有1?(1?
12n
)
n
12
，2?(1?
12n1n
)
n
。
不等式两端平方后有4?(1?，它对一切自然数n成立。联系数列的单调性，由此又推得数列{(1?)n}
是有界的。于是由单调有界定理知道极限lim(1?)n是存在的。
n
n
3．证明：lim(1?)x?e。
x
x
证明：所求证的极限等价于同时成立下述两个极限：
x?
lim(1?
1x
)?e
x
（1）
x?
lim(1?
1x
)?e
x
（2）
现在先应用2中数列极限lim(1?)n?e，证明（1）式成立。
n
n
设n≤x
1n?1
?1?
1x
?1?
1n
及(1?
1n?1
)
n
1n?1
)?(1?
n
1x
)?(1?
x
1n
)
n?1
， （3）
作定义在[1，+?)上的阶梯函数。f(x)?(1?，n≤x
n
由（3）有f(x)
x
x?
n
11n?1
(1?
)?lim
n
n
n?1
11?
n?
)
n?1
?e
x?limg(x)?lim(1?n1n)n?1?lim(1?n1n)(1?n1
n)?e，根据迫敛性定理便得（1）式。
11
y)?y现在证明（2）式。为此作代换x=-y，则(1?)x?(1?x?(1?1
y?1)?(1?y1
y?1)y?1(1?1
y?1)
因为当x→-∞时，有y-1→+∞，故上式右端以e为极限，这就证得lim(1?)x?e。
x?1x
以后还常常用到e的另一种极限形式lim(1?a)a?e a?0
1x（4） 1
a?0因为，令a?1x，则x→∞和a→0是等价的，所以，lim(1?)?lim(1?a)a。
xx
极限证明-证明范文
第一篇：极限证明 极限证明
1.设fx在,上无穷次可微，且fxxnn?，求证当k?n?1时，?x， limfkx?0． x? 2.设fx0sinntdt，求证：当n为奇数时，fx是以2?为周期的周期函数；
当n为
偶数时fx是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和． x fnx?0．?{xn}?3.设fx在,上无穷次可微；
f0f?0?0xlim求证：n?1，? ?n，0?xn?xn?1，使fnxn?0．
sinf(x)?1．求证limfx存在． 4.设fx在a,上连续，且xlim?x? 5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limnxn存在并求极限值。
6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x.nxnn 7.用肯定语气叙述：limx?f?x.
8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。 an?1 t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点xa,b?,极限limf?t?存在且有限（当x?a或b时，
为单侧极限）。证明：函数f在?a,b?上有界。
10.设limnan?a,证明：lima1?2a2?nana?.n2n2 11.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。
12.证明：若? af?x?dx收敛且limx?f?x?，则0.11?an?收
敛
。
?,n?1,2,?.求
证
：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2? n 14.证明公式?k?11k?2n?cn，其中c是与n无关的常数，limn?n?0.15.设f?x?在[a,)上可微且有界。证明存在一个数列?xn[a,?),使得limnxn?且limnf"?xn0.16.设f?u?具有连续的导函数，且limu?f"?ua?0,dx,y?|x2?y2?r2,x,y?0
?r?0?.i ?1?证明：limuf?u;?2?求ir?f"?x2?y2?dxdy;?3?求limr2 r d r 17.设f?x?于[a,)可导，且f"?xc?0?c为常数?,证明：
?1?limx?f?x;?2?f?x?于[a,)必有最小值。
18.设limn?an?a,limn?bn?b,其中b?0,用n语言证明lim ana?.n?bbn ?sn?x19.设函数列?sn?x的每一项sn?x?都在x0连续，u是以x0为中心的某个开区间，
在ux0?内闭一致收敛于s?x?,又limnsn?x0,证明：lims?x.
x?x0 20.叙述并证明limx?f?x?存在且有限的充分必要条件?柯西收敛原理? a 23.设? fx=0.证明xlimfxdx收敛,且fx在?a,?上一致连续，? 24.设a1 0，an?1＝an＋，证明＝1 nan25.设f?x?在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，m?h?与m?h?分别表示f?x?在
?a?h,a?h?上的上、下确界，又设?hn?是一趋于0的递减数列，证明：
1）limnm?hn?与limnm?hn?都存在；
2)limn?0m?hlimnm?hn?,limn?0m?hlimnm?hn?; 27.设an?a,用定义证明:limn?an?a 28.设x1?0，xn?1? 31?xn ,n?1,2,?，证明limxn存在并求出来。
n3?xn 29.用“?语言”证明lim30.设fx? x?2x?1 ?0 x?1x?3 x?2 ，数列?xn?由如下递推公式定义：x0?1，xn?1?fxn，n?0，x?1 n 1，2，?，求证：limxn?2。
31.设fnx?cosx?cos2x?cosnx，求证：
（a）对任意自然数n，方程fnx?1在[0,?/3)内有且仅有一个正根；
（b）设xn?[0,1/3)是fnx?1的根，则limxn/3。
n 32.设函数ft在a,b连续，若有数列xn?a,yn?axn,yn?(a,b)使
limfxn?an及limfyn?bn，则对a，b之间的任意数?， 可找到数列xn?a，使得limfzn 33.设函数f在[a,b]上连续，且 f?0,记fvn?fa?v?n,?n? ?exp{ b?a ，试证明：n 1b lnfxdx}n并利用上述等式证明下?ab?a 式 2? ? 2? ln1?2rcosx?r2dx?2lnrr?1 fb?fa
?k b?a 34.设f‘0?k,试证明lim a?0?b?0? 35.设fx连续，?x0fxtdt，且lim x?0 论?"x在x?0处的连续性。
fx ，求?"x，并讨?a（常数） x 36． 给出riemann积分?afxdx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛
i1 lim?s。
nni?0n ?x322 ,x?y?0?2
37.定义函数f?x?x?y2.证明f?x?在?0,0?处连续但不可微。 ?0,x?y?0? n?1 b 38.设f是?0,上有界连续函数，并设r1,r2,?是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,?,使得：limn?f?xn?rnf?xn?0.39.设函数f?x?在x?0连续，且limx?0 f?2xf?xa,求证：f"?0?存在且等于a.x 1n 40.无穷数列?an,bn?满足limnan?a,limnbn?b,证明:lim?aibn?1-i?ab.nni?1 41.设f是?0,上具有二阶连续导数的正函数，且f"?x0,f""有界，则limtf"?t0 42.用?分析定义证明limt1
x?31 ? x2?92 43.证明下列各题
?1?设an0,1?，n?1,2,?,试证明级数?2nann?1?an?n收敛；
n?1 ? ?2?设?an?为单调递减的正项数列，级数?n2014an收敛，试证明limn2014an?0; n n?1 ? ?3?设f?x?在x?0附近有定义，试证明权限limx?0f?x?存在的充要条件是：对任何趋于0的数列?xn,yn?都有limn?f?xnf?yn?0.?1?44.设?an?为单调递减数列的正项数列，级数?anln?1?an?0?收敛，试证明limnn?n?1? a?1。
45.设an?0，n=1,2， an?a?0,n,证 limn
n ? 46.设f为上实值函数，且f（1）＝1，f?（x）＝〔1，＋?〕 limf（x）存在且小于1＋。
x?＋?4 ，证明x?1）2 x2＋f（x） ? 47.已知数列{an}收敛于a，且
a?a?asn?，用定义证明{sn}也收敛于a n 48.若f?x?在?0,?上可微，lim n fx ?0，求证?0,?内存在一个单
xx 调数列{?n}，使得lim?n?且limfn?0 n xe?sinx?cosx?,x?0 49.设f?x?2,确定常数a,b,c,使得f""?x?在?,处处存在。
ax?bx?c,x?0 第二篇：极限的证明
极限的证明利用极限存在准则证明：
1当x趋近于正无穷时，inx/x 的极限为0; 2证明数列{xn}，其中a 0，xo 0,xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。
1)用夹逼准则: x大于1时,lnx 0,x 0,故lnx/x 0 且lnx1),lnx/x x-1/x .而x-1/x 极限为0 故inx/x 的极限为0 2)用单调有界数列收敛:
分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a x0 √a时,xn-xn-1=/2 0,单调递减
且xn=/2 √a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为a,xn和xn-1极限都为a.对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a 同理可求x0 √a时,极限亦为√a 综上,数列极限存在,且为√ 一时函数的极限：
以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义和.几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证…… 二时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证类似有(三单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质3学时
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：
一函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性不等式性质: th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=现证对有
註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性: 6.四则运算性质:只证“+”和“”
二利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
注意前四个极限中极限就是函数值
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1利用极限和
例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4 例5例6例7 第三篇：数列极限的证明
数列极限的证明x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限
求极限我会 |xn+1-a| |xn-a|/a 以此类推，改变数列下标可得|xn-a| |xn-1-a|/a;
|xn-1-a| |xn-2-a|/a; …… |x2-a| |x1-a|/a; 向上迭代，
可
以得到
|xn+1-a|
|xn-a|/a
2 只要证明{xn}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法：
①证明{xn}单调增加。
x2=√=√5 x1; 设xk+1 xk，则
xk+2-xk+1)=√-√分子有理化=/【√+√】 0。
②证明{xn}有上界。
x1=1 4， 设xk 4，则 xk+im=0 n→∞ (2lim=3/2
n→∞ 3lim=0 n→∞
4lim0.999…9=1 n→∞n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。lim就省略不打了。。。
n/n +1=0 √n +4/n=1 sin1/n=0 实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了
第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行 第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则不知楼主学了没，没学的话以后会学的
第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin1/n=0 不知楼主觉得我的解法对不对呀
limn/n +1=lim1/n/1+1/n=lim1/n/1+lim(1+n=0/1=0 lim√n +4/n=lim√1+4/n=√1+lim4/n=√1+4lim1/n=1 limsin1/n=lim=lim1/n*lim/1/n=0*1=0 第四篇：函数极限的证明
函数极限的证明一时函数的极限：
以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义和.几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证…… 二时函数的极限：
由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证类似有(三单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质3学时
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：
一函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性不等式性质: th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=现证对有
註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性: 6.四则运算性质:只证“+”和“”
二利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
注意前四个极限中极限就是函数值
这些极限可作为公使用，即刻完成写稿任务。下载全文：
极限的证明
利用极限存在准则证明：
(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;
(2)证明数列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。
1)用夹逼准则:
x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0
且lnx1),lnx/x^2
故(Inx/x^2)的极限为0
2)用单调有界数列收敛:
分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a
x0>√a时,Xn-X(n-1)=/2
且Xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.
对原始两边求极限得A=/2.解得A=√a
同理可求x0
综上,数列极限存在,且为√
(一)时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号:的意义,的直观意义.
定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
(二)时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
Th类似有:例10证明:极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质(3学时)
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)
註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1(利用极限和)
例2例3註:关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
函数极限证明
记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;
下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。
不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1;
那么存在N1,当x>N1,有a/MN2时，0Ni时，0
那么当x>N,有
(a/M)^n
极限证明（共8篇）
工作年限证明
限购证明（共15篇）
积极分子证明（共8篇）
证明要求（共18篇）
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