凸函数证明

凸函数在证明不等式中的运用

摘要:凸性是一种重要的几何性质，凸函数是一种性质特殊的函数.凸集和凸函数在泛函分析，最优化理论，数理经济学等领域都有着广泛的应用.凸函数也是高等数学中的一个基本内容，他在证明比较复杂的不等式方面有着重大作用.本文探讨了凸函数与不等式之间的密切关系，利用凸函数的凸性来研究不等式，比传统方法更简洁，还进一步探讨了不等式的一些具体应用.对凸函数在不等式中的运用进行了讨论.

关键词:凸函数不等式证明

在数学思想方法中，函数思想是很重要的一种思想方法，其精髓在于利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进而寻求解决问题的途径。凸函数是一类性质特殊的函数，它在证明比较复杂的不等式方面有着重大作用，本文对凸函数的性质在比较经典的不等式证明中的简单应用进行初步讨论.

1.函数的定义及其常见的凹凸函数

大家都熟悉函数f(x)x2的图像，它的特点是：曲线yx2上任意两点间的弧总在这两点连线的下方。我们可以下这样一个定义：设f(x)在[a,b]上有定义，若曲线yf(x)上任意两点间的弧总位于连接该两点的直线之下，则称函数f(x)是凸函数.

上面的定义只是几何描述性的，为了便于凸函数的应用，用严格的式子分析定义凸函数是十分必要的.

在不等式的证明中经常会应用到凸函数的两个定义：

定义1[6]设f(x)在(a,b)内连续，如果对(a,b)内任意两点x1,x2恒有f(x1x2f(x1)f(x2)) 22

那么称f(x)在(a,b)内是凸函数.

定义[6]2设f(x)在(a,b)内连续，如果对(a,b) 内任意两点x1,x2,(0,1) ，有f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)

则称f(x) 在(a,b)内是凸函数.

1.1常见的凸函数有

1.1.1 f(x)xk(k0)或(k0),f(x)xlnx均为(0,)内的严格凸函数;

1.1.2 f(x)ln(1ex),f(x)c0)均为(,)内的严格凸函数.

1.2 凸函数的常见性质及其判定定理

k0为常数，性质1设f(x)为凸函数，则kf(x) 是凸函数：若f(xi)(i1,2,...,n)

是凸函数，则f(xi) 仍是凸函数：若(u)是增凸函数，uf(x)也是凸函数，

i1

n

则复合函数[f(x)]也是凸函数[1].

性质2如果f(x)是(a,b)上的凸函数，则在(a,b)的任一闭子区间上有界.性质3如果f(x)是(a,b)上的凸函数，则f(x)在(a,b)内连续.

定理1f(x)是区间I上的凸函数的充要条件是：对于满足i1 的任意

[1]

n

i1

1,2,...,n0 ，有：f(ixi)if(xi)x1,x2,...,xnI(1)

i1

i1

nn

1.3凸函数的不等式

1.3.1 凸函数基本不等式

设f(x)是(a,b)内的严格凸函数，则对(a,b) 内的任意一组不全相同的值

x1,x2,...,xn，必有不等式[2]：
1.3.2 Jensen不等式[2]

Jensen不等式是凸函数的一个重要性质，利用其证明一些重要不等式可以更简捷，它有如下两种形式：

（1） 设f(x)是(a,b) 内的凸函数，则对(a,b) 内的任意一组值x1,x2,...,xn及任意正数p1,p2,...,pn 必有不等式：f(

p1x1p2x2...pnxnpf(x)p2f(x2)...pnf(xn)

)()11

p1p2...pnp1p2...pn

（2）设f(x),p(x)为[a,b]上的可积函数，而mf(x)M,p(x)0,p(x)dx0

ab

则当(t)(mtM)为凸函数时有

(

b

a

p(x)f(x)dx



b

a

p(x)dx

)()

b

a

p(x)[f(x)]dx



b

a

p(x)dx

2.凸函数在证明不等式中的简单应用

在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值，而证明用到数学归纳法.其实，这些不等式可在凸函数框架下统一证明.例1 设ai0,i1,2,...,n ，证明：

n...a1a2an

a1a2...an

n

证明设f(x)lnx,x(0,) ，有f""(x)在(0,)是严格凸函数， 取

0，从而，函数f(x)lnx2x

xiai(0,),qi,i1,2,...,n,q1q2...qn1

n

有

alnanaalna1lna2

...ln(12...n)

nnnnnn

或

aa...an

(lna1nlna2n...lnann)lna1a2...anln12

n

111

即

取xi

a1a2...an

n

11

(0,),qi,i1,2,...,n,q1q2...qn1 ain

同样方法，有

n111

...a1a2an



于是，nN ，有

n111

...a1a2an

a1a2...an

n

x1x2...xnx1px2p...xnpp

例2证明x1,x2,...,xnR,p1有()

nn上式称为算术平均不大于p(p1) 次平均，特别的，当p2 ，得到算术平

均值不大于平方平均值。

证明 考察函数f(x)xp(p1) 由于有f""(x)p(p1)xp20,x0 所以

f(x)x(p1)为凸函数，从而x1,x2,...,xnR,1,2,...,n(0,1),i1

p



i1

n

有(1x12x2...nxn)p1x1p2x2p...nxpn

1x1x2...xnx1px2p...xnpp在上式中，令12...n即得()

nnn

例3若a0,b0,p0,q0,0 且

11

1，求证：Young不等式 pq

ab

ap

p



bq

qp

q

证明从所求证的不等式的形式来看，不容易直接找到合适的凸函数，因此，我们要对它进行一定的变形。不妨不等式两边同取自然对数，则有

apbq

ln(ab)ln(q)

p

qp由此很容易找到合适的凸函数。考察函数f(x)lnx(x0)，因为

f""(x)

0，由定理1知，f(x)在x0时为凸函数，因为有x2

p0,q0,

11

1，所以 pqbqq

11pppqpp

)ln(a)ln(b)ln(a)ln(b)ln(ab) q

pqp

ln(

ap

p



于是ln(ab)ln(

ap

p



bqq

q

p

)

即ab

ap

p

bqq

qp

特别地，当1,pq2 时，此不等式就是前面例1的结果，即平均值不等式。凸函数在一些几何和三角函数不等式证明中的精巧妙用如下。



例4设x

(0,)，证明：(sinx)1cos2x(cosx)1cos2x2

证明先将原不等式化为

(sin2x)sinx(cos2x)cosx因为f(x)xx 为(0,)上的凸函数，故当a0,b0时，有f(令asin2x,bcos2x则

absin2xcos2x111f( )f()f()()2

22222f(a)f(b)(sin2x)sinx(cos2x)cos

而

22

22

abf(a)f(b)

) 22

x

所以

(sin2x)sinx(cos2x)cosx这道题目很难用初等知识证明，但通过构造凸函数f(x)xx 巧妙地令

22

asin2x,bcos2x，便可很方便的证得.

对于数学分析，泛函分析中的一些重要不等式，利用凸函数也可以建立统

一框架，简捷方便地进行证明.

例5设f(x)在[a,b]上可积，mf(x)M,(t)是[m,M]上的凸函数，则

1b1b

f(x)dx)[f(x)]dx(

baabaa

1n1n

证明由Jensen不等式，有(tk)(tk)

nk1nk1

令tkf(ak

ba

) 则有 n

1nbaba1nbaba

( f(ak))[f(ak)]bak1nnbak1nn

由于f(x)可积，(t)为凸函数，故(f(t)) 可积.

上式中令n取极限，即得到

1b1b

f(x)dx)[f(x)]dx(

baabaa

特别的，若f(x) 在[a,b] 上连续，且f(x)0取(t)lnt 则有

1b1b

f(x)dx)lnf(x)dxln(

baabaa

前例结合凸函数的定义，可得Hadamard不等式：

设(t)是区间[m,M]上的凸函数，t1,t2[m,M] 则(

总之，对于以上题目很难用初等知识证明，通过巧妙地构造凸函数，利用凸函数性质证明一些不等式便很方便，同样，对于数学分析，泛函分析中的一些重要不等式利用凸函数也可以建立统一框架，简捷方便地进行证明。反之，则很难达到同样的效果.

参考文献

[1]同济大学应用数学系．微积分[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]徐利治，王兴华．数学分析的方法及例题选讲[M].北京：高等教育出版社，1984.

[3]匡继昌．常用不等式[M]．济南：山东科学技术出版社，2004.

[4] 菲赫金哥尔茨格马．数学分析原理[M]．北京：人民教育出版社，1988．

数学与应用数学08-1姜金文(10084490)

t1t21t2(t1)(t2)

)(t)dtt12t2t12

证明间接函数关于P的拟凸性

要证明间接效用函数关于

P

的拟凸性，即证明VKP11(2)K,P)Ym1axV (P2Y,V),P(Y,)取两点V(P1,Y)，V(P1,Y)V(P2,Y)， 2,Y)，假设V(P则由于间接函数关于p严格递减性质有：V(P1,Y)V(P2,Y)P1P2 根据马歇尔函数，需要满足预算约束Y,即 ：P1XY,P2XY， 取P的凸组合PKP1(1K)P2，则间接效用函数和满足的预算约束为

V(P,Y)

PXY

由于PKP1(1K)P2P2K(P1P2)P2，

根据间接函数关于p严格递减性质则有V(P,Y)V(P2,Y)， 因此VKPV(P1(1K)P2,Y)max1),V(P2)得证。

1

第１９卷第４期　２０１６年７月　ｄｏｉ：１０．３￣９／ｊ．ｉｍｎ．１００８・１３９９．２０１６．０４．ＯＯ９　高等数学研究　Ｖ０１．１９．Ｎｏ．４　ＳＴＵＤＩＥＳ　ＩＮ　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｊｕ１．．２０１６　凸函数的两个性质的控制证明　张鳢，顾春，石焕南　（北京联合大学师范学院基础教学部，北京１０００１　１）　摘要利用受控理论给出有关凸函数的两个性质的新颖而简洁的证明．　凸函数；
不等式；
受控　关键词中图分类号０１７８　文献标识码Ａ　文章编号　１００８—１３９９（２０１６）０４．００３２．０２　Ｍａｊｏｒｉｚｅｄ　Ｐｒｏｏｆ　ｏｆ　Ｔｗｏ　Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　Ｃｏｎｖｅｘ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ＺＨＡＮＧ　Ｊｉａｎ，ＧＵ　Ｃｈｕｎ，ＳＨＩ　Ｈｕａｎｎａｎ　（Ｂａｓｉｃ　Ｔｅａｃｈｉｎｇ　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｔｅａｃｈｅｒ　Ｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ｕｎｉｏｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　１０００１　１，ＰＲＣ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｍａｊｏｒｉｚａｔｉｏｎ，ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｇｉｖｅｓ　ａ　ｎｅｗ　ａｎｄ　ｓｉｍｐｌｅ　ｐｒｏｏｆ　ｏｆ　ｔｗｏ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｃｏｎｖｅｘ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ　ｃｏｎｖｅｘ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；
ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ；
ｍａｊｏｒｉｚａｔｉｏｎ　１　引言　州　≤　㈥＋　在本文中，　和　：分别表示ｎ维实数集和ｎ维　正实数集，并记，Ｒ　＝Ｒ，Ｒ　＝Ｒ＋．　２。　）＋２ｍ　－１２　证明．　）　文［１］根据凸函数的已有性质，运用数学归纳　法证得关于凸函数的如下两个定理．　定理１设Ｆ：Ｒ—Ｒ是凸函数，则对任意的　，Ｙ　本文利用受控理论给出这两个定理的新颖而简单的　∈Ｒ和任意的自然数ｎ，有　２　定义和引理　刍）≤　１　ｐ＝ｌ＋　）　我们需要如下定义和引理．　￣－　（１）　Ｙ　）∈Ｒ“．　ｋ　定义１　’。＇　设Ｘ＝（　一，　），Ｙ＝（Ｙ　”，　定理２设Ｆ：　一Ｒ是凸函数，则对任何的自　然数ｍ和　１，　２，　３∈Ｒ，有　收稿日期：２０１５—０２—０２　ｋ　ｋ　（Ｉ）若∑　Ⅲ　∑ＹⅢ，　＝１，２，…，　一１，且　‘　１　Ｉ　∑　＝∑Ｙ　，则称　被ｊ，所控制，记作　＜Ｙ，其中　Ｅ　Ｉ　ｉ　作者简介：张鳢（１９６４一），男，北京人，副教授，研究方向为解析不等　式．Ｅｍａｉｌ：ｓｆｔｚｈａｎｇｊｉａｎ＠ｂｕｕ．ｅｄｕ．ｃｎ　【？］　…　减重排．　㈨ｍｙ［　…　ｙ　分别是　和　的递　顾春（１９６２一），女，北京人，副教授，研究方向为解析不等式　石焕南（１９４８－），男，湖南祁东人，教授，研究方向为解析　不等式．　（Ⅱ）　≤Ｙ表示　≤Ｙ　，ｉ＝１，…，　．　第１９卷第４期　张鳢，顾春，石焕南：凸函数的两个性质的控制证明　３３　引理１　设｛ｂ　｝是公比为ｑ的等比数列，则其　有　∑ｇ（　）≤（≥）∑ｇ（Ｙ　）．　ｉ＝１　ｉ＝Ｉ　前／＇ｔ项和　ｂ１一ｂｎｑ　．ｓ　＝　ｉ＝ｌ　＝　１　ｔ／　１一ｑ’　（３）　３定理的证明　引理２　Ｅ　，　设　＝（　１，…，　）∈Ｒ　，　＝　÷主　则　，Ｂ　ｉ＝ｌ　定理１的证明（１）式等价于　（露，…，露）＜　（　１，…，　）　（４）　２　Ｆ（嘉）≤　２ｎ一１　Ｐ＝１　＋　）　（５）　引理３　，　设，ｃ　Ｒ为一个区间，　，Ｙ∈ｉｎ　ｃ　∑２　２ｎ一１　Ｒ　，则　＜ｙ§Ｖ凸（凹）函数ｇ：，一Ｒ，　２２，￣－１－ｐ记　利用引理１可得２　＝１＋∑　．Ｐ＝１　（一１）　Ｙ（一１）。Ｙ　…　…　＝　ｙ，　，…　（一１）　Ｙ　（一　１）　一　Ｙ　’２２ｎ－ｌ－（ｈ一　）　（一１）　２　一　一　’２２ｎ一　一　’２　“一　一。’　’２　一　一　，２ｎ一１—２　２２ｎ一１一（　一１）　９２ｎ—Ｉ　易见∑　ｉ＝１　灯是　＝　，　据引理２知　因Ｆ：　一Ｒ是凸函数，由引理３即得（５）式，由此　得证．　霜＝（刍，…毒）＜　．　２２ｎ一１　定理２的证明（２）式即为　２ｍ－１　２　ｚ　）　，Ｆ＼－－２　∑　２　叫　Ｖ　２）＋　Ｐ＝１　（６）　２ｍ一１　利用引理１可得２　＝１＋２　一　＋∑２　一　，记　Ｐ＝１　＇．，＝（Ｗ１，…，Ｗ２　）　（　２２ｍ　，…，　，　２２ｍ一１　（一１）　３（一１）　３　２２ｍ—。１—‘１　（一１）　３　（一　１）２ｍ－１　３　（一　１）２ｍ－Ｉ口３　’　’２　一卜　’２　一　一　’　’２　一　一　’　２２ｍ。’１’‘２　’２　一　一（２ｍ一　）’　’２　＋（　一　）　２２ｍ一１一（２ｍ一１）　易见∑Ｗ　＝１　＝　于是　２２ｍ　１　，　２００１４，１７（４）：１６—１８，２２　据引理２知　［２］王伯英．控制不等式基础［Ｍ］．北京：北京师范大学　出版社，１９９０．　ｗ　Ｉ　’…　Ｊ＜　’　／　ｌ＼　，　［３］Ｍａｒｓｈａｌｌ　Ａ　Ｗ，Ｏｌｋｉｎ　Ｉ，Ａｒｎｏｌｄ　Ｂ　Ｃ．Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ：ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｍａｊｏｒｉｚａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ（Ｓｅｃｏｎｄ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　２２ｍ　因Ｆ：Ｒ－－－，Ｒ是凸函数，由引理３即得（６）式，由此　得证．　参考文献　［１］吴燕，李武．凸函数的一些新性质［Ｊ］．高等数学研究，　［Ｍ］Ｎｅｗ　Ｙ。ｒｋ：ｓｐｒｉｎｇｅｒ　Ｐｒｅｓｓ，２０１１．　．［４］石焕南．受控理论与解析不等式［Ｍ］．哈尔滨：哈尔　滨工业大学出版社，２０１２　

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