【摘 要】基于数学分析在高等院校数学专业中的重要性，文章结合学生在数学分析的学习过程中遇到的问题，提出了三点化解的方法，主要通过定理产生的背景知识来激发学生的兴趣，帮助学生建立起化归类比的思想，让学生体会到其在实际问题中的应用。
【关键词】数学分析 教学 中图分类号：G424.1
对于高等院校数学专业的学生来说，进学校接触的第一门课程就是数学分析，可是刚一接触，学生就望而却步了，因为学生的思维还停留在初等数学的理论阶段，对于突如其来的极限、微分、积分等概念一时无法接受和理解，但是数学分析这门课程又扮演着至关重要的作用，是后面很多专业课程的理论基础。因此，对于高校的数学分析课程的讲授者来说，如何让学生更好地掌握高等数学的理论和方法就非常关键。
学习数学分析时出现的问题
教师：学习数学分析到底有什么作用？数学分析到底能帮助学生解决什么问题？为什么要对函数求极限，求导数，求积分？为什么很多定理的证明都要构造函数，这个函数是怎么构造的？导数和积分互为逆运算，相互求解有什么意义？为什么二重积分和广义积分运算这么复杂？为什么上课听得懂，自己做题就不会了呢？我估计每个数学分析教师都经历过学生问的这些问题，这也是一直困扰数学专业学生的大问题。如果这些问题得不到解决，学生对于数学分析这门课程就会望而生畏，丧失信心和获取新知识的积极性，导致作为数学专业的学生，被数学分析这门基础课给难住了。
数学分析这门课程无论是哪个版本，都是以逻辑演绎的形式呈现数学知识的，展现给学生的是很多大数学家思考的结果而非思考的过程。所以教师在讲授的过程中，难免是授人以鱼，而达不到授之以渔。
化解这类问题的几种方法
1.使学生了解定理产生的背景知识，以激发学生浓厚的兴趣
在我目前的教学工作中，首先，我认为培养学生学习数学分析的兴趣很重要，最直接的方法就是先让他们了解这个定理是怎么来的，当年那些数学家发现这个定理时有什么有趣的故事。比如：美国著名的计算数论专家卡尔，他在初中参加一次普通的数学竞赛时碰到一道分解整数8051的题，他没有使用一般的因式检验法，而是先动脑筋看有没有简便算法，最后他发现了数论上很有名的定理：每个奇合数必定能用平方差的方式分解为两个大于1的整数之积。通过卡尔的故事告诉学生学习数学要敢于问问题，敢于猜想，积极形成反思的意识，所谓“学贵质疑，小疑则小进，大疑则大进。”再比如：像罗尔定理的诞生就很有趣，罗尔所处的时代是正当牛顿、莱布尼茨的微积分诞生不久，由于这一新生事物存在逻辑上的缺陷，从而遭受多方面的非议，其中也包括罗尔，并且他是反对派中最直言不讳的一员。罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出了：在多项式方程的两个相邻的实根之间，方程至少有一个根。在一百多年后，1846年尤斯托将这一定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理。
数学分析课程，很多定理的出现都与卡尔、罗尔的背景很相似，通过数学故事可以让学生感受到一定的教育价值，从而达到产生学习兴趣的效果。
2.转化定势思维，对问题进行类比和归纳
在数学分析课程中，我们认识到数学的发现不能仅依赖于演绎推理，要取得更大的发展是离不开类比和归纳的。因此在这门课的教学过程中，在加强演绎推理学习的同时，更应该加强学生的类比和归纳的训练。对于一些问题，要转化一下思维，不能一味地埋头计算，要做适当的变通，可能会达到事半功倍的效果。比如，泰勒公式，用得较多的是泰勒公式在 时的特殊形式，即 ，称之为麦克劳林公式，其中有六类初等函数
可以直接泰勒展开，在做题时很方便可以直接使用。但是学生经常遇到的问题是计算时运算量很大，尤其是在求到四阶以上的导数时。比如，求 到含 的项的麦克劳林公式。学生一看到题，不思考先直接求导 ， ，
，再继续求四阶导数和五阶导数。其实我们可以转化思维，指数函数求导比分数求导容易，可以将函数的一阶导数写成 ，再求后面的高阶导数，这样是不是更容易一些呢？而且题目是展成麦克劳林公式，那只要展开式出现关于 乘积形式，就直接是零。还有一类计算用到泰勒公式，在遇到较复杂的求极限的题型时，比如求 ，这是■不定式极限，可以直接用洛必达法则，但是在不断地求导数时会较复杂。由于 ，因此可以考虑用麦克劳林公式，但学生不知道在展开时应该展到第几项为止，由于分母是四次，所以分子只需要到四次即可，大于四次的可以直接写成四次项的高阶无穷小。
因此，转化思维是很重要的，要不断地进行分析和类比，而不是埋头苦算。
3.将所学知识与实际生活的应用联系起来
尽量将所学的知识和日常生活中的事物联系起来，使学生知道数学分析这门课程的用武之地，而不是纸上谈兵。例如我们喝水的的杯子，是不是圆柱体的偏多，那这些为什么不做成正方体，长方体，球体等形状呢？在学习导数之后，就会了解到做成圆柱体是最省材料的。因为这与体积有关，体积是与表面积的大小有一定关系的，我们利用导数得到几类形状体的表面积最小值，发现表面积最小的是球体，其次是圆柱体，但是球体不易放置，所以一般情况就会选择圆柱体，将其作为包装形状。
所以，当学生认识到数学分析这门课程可以为日常生活带来很大帮助，甚至在很多领域都有用的时候，就能真正体会到学以致用的成就感。因此，教师在讲授过程中就需要多引用一些实例，让学生慢慢体会到数学分析这门课程的强大，使学生觉得学好这门课程可以为自身带来很大的益处。当然数学分析课程的学习体现了很强的逻辑性，但逻辑的每一步递进都离不开教师的价值引导和学生的积极努力。
学好数学分析的作用及意义
从理论上来讲，数学分析作为师范生数学与应用数学和数学教育专业的必修课，是至关重要的一门基础课程。它不仅是培养学生分析、观察、处理问题能力的重要的数学工具，更是学生进一步掌握数学其他理论课程，比如微分方程、复变函数、大学物理等课程的理论基础。从实际应用上来讲，数学分析可以培养师范生良好的思维能力和思考习惯，可以提高学生自己解决实际应用问题的能力，甚至可以培养学生良好的意志品质和思考策略。
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作者单位：陕西学前师范学院数学系 陕西西安
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