基础数学的教师应该站在更高的视角(高等数学)来审视、理解初等数学问题,《数,科学的语言》对从事数学学习和数学教育的广大读者具有启示作用。
伯特兰·罗素在自传中回忆:“有一条小路,穿过田野,通向新南盖特,我经常独自一人到那里去观看落日,并想到自杀。然而,我终于不曾自杀,因为我想更多地了解数学。”世上竟有如此虔诚地皈依数学的人。
“罗素一定是疯了,天才就是疯子!”在我读过《数,科学的语言》之后,我自己疯了。一下子从书店捧回了10本《数,科学的语言》,花了我15.5元,要知道那时的月工资才30元。1985年,我有幸成了此书中译本的第一批读者,而且是最虔诚的读者,我前后读了不下10次。
日前,想找《数,科学的语言》出来看看,竟然连1本也找不到了。10本啊,连同我原先的1本,25年间,被我陆续送给了学生。正着急时,我想到了网络。不到10分钟,就下载了它的电子版本。在网上我搜到了2个版本,商务印书馆1985年的版本和上海教育出版社2000年的版本,均是苏仲湘在1949年前译出的。但由于种种原因,被耽搁下来,直到1985年才出第一版。
本书作者T·丹齐克,原籍为沙俄统治下的立陶宛,后入美国籍,先后在哥伦比亚大学、马里兰大学等校讲授数学。T·丹齐克非常擅长将严肃的数学面孔变得生动。打开目录:第一章“指印”;第二章“空位”;第三章“数话”……从章节的标题,您甚至看不出是一本数学读物,如将标题数学化:第一章“谈数的语言起源”;第二章“谈数的位值原则”;第三章“谈整数”……如果这样,我相信一定能吓走几万读者。语言的生动更是随处可见:“无论怎么说,笛卡儿几何也不会是无母的孤儿。而我更可以幽默地说一句,笛卡儿的概念不但有一位令堂——即希腊的几何,而且还有一位孪生昆仲。”
让我们的视线聚焦到第一章“指印”。原文的表述非常精彩,从人和动物的数觉开始谈起。所谓数(shù)觉,就是不通过数(shǔ),一眼看出物体的多寡。像人的数觉很少能超过四的,一般只能达到三。比如四个物体或五个物体,人的数觉很难进行区分,而是通过将之分成两堆:2和2还是2和3来区分是四还是五。书中还介绍了鸟类的数觉:“鸟巢里若有四个卵,那么可以安然拿去一个;但是如果拿掉两个,这鸟通常就要逃走了。鸟会用某种奇怪的方法来辨别二和三。”
除此之外,书中还有许多有关数觉的趣闻。书中写道:“一种比鸟类高强不了多少的原始的数觉,就是产生我们数概念的核心。毫无疑问,如果人类单凭这种直接的数觉,在计算的技术上,就不会比鸟类有什么进步。但是经历了一连串的特殊的环境,人类在极为有限的数知觉之外学会了另一种技巧来给他帮忙,这种技巧注定了使他们未来的生活受到巨大的影响。这技巧就是计数,并且,正是由于有了计数,我们赢得了用数来表达我们的宇宙的惊人成就。”
要计数就得有计数的基底,是选择十进制、八进制还是十二进制,书中作了有趣地分析:人类采用十进制乃是一种生理上的凑巧,或是因为人有十个指头,或是因为人是十月怀胎。并指出:“设想要是人类没有屈伸自如的手指,而只有两只‘不分关节’的秃拳,整个文化史会成什么样子,这是一个有趣的问题。在这种情形下,假如最终也会发展出某种计数法的话,它很可能是二进制的。”
但如果让一群专家来选择基底的话,十根本不会被考虑,数学家要选用素数做基底,如七或十一;而实用家则会选择因数多的数做基底,如十二。虽然十是举世公用的基底,而在大多数的度量衡中,都有着以十二或它的倍数为基底的单位。如一年12个月,一天24小时,一小时60分钟,一周角360度等。
本章的最后一段:“从文化史的观点来看,改变数制的基底,即使可行,也是极不受欢迎的。只要人类一直用十来计数,他的十个手指就一直会使他意识到,他的精神生活的这一最重要方面,也起源于人类自身。因此,就让十进制作为下述名言的见证而永存下去吧:人是万物的尺度。”
窥一斑而见全豹,我不打算用介绍第一章的方法继续下去,而要留下更多的时间和空间,让您直接去书中遨游,下面几个看点不要错过。
一、诗一般的开头
全书以昂利·彭加勒的“源头茫昧虽难觅,活水奔流喜不休。”开始,又以这样一段结束:“聪明人重新拾起他的活计,纺织着今天的幻想,它可能成为明天的现实,同时,他向遥远的山峰投以最后一瞥,在这些山峰之后,思想的源头消失了”。
不仅整本书这样安排,每一章节的开头都有一段贴近内容的名言或诗歌。第四章“最末一数”,开头:“说过一遍的话,可以永远重复”。说明数学上的无限概念。第六章“不可说”,开头:“上帝创造了整数,其余都是人类的作品”。谈代数数和超越数的发现。第八章“演变之道”,是尼采的一句话:“我们来计算,不需要更多的假定;但要我们能够计算,就必须先行作出假定”。第11章“无限之解剖”,引用康托尔的一句话:“数学之精髓在于它的自由”。
二、活灵活现的人物
在文学、艺术领域,虽然我们不知道莎士比亚为什么要写十四行诗,而没有写菜谱,凡高为什么要画油画,而没有画广告画,但我们知道他们是伟大的。在数学领域,同样存在伟大的人物创造了伟大的定理。本书给我们呈现了许多活灵活现的人物,总计不少于150个。我们暂不说伟大的欧几里德、阿基米德、欧拉为数学殚精竭虑,单说数学中的两个“愤青”阿贝尔和伽罗瓦。书中写道:“最奇怪的是阿贝尔和伽罗瓦两人的性格和外表如此相异,居然会对同一问题感兴趣,而且用了相似的求解方法。二人都从五次方程入手,都相信用方根求解是可能的;当时阿贝尔年龄十八,伽罗瓦年龄十六。”他们不但完美地解决了五次方程问题,更重要的是开辟了数学中的一个重要分支:群论。
他俩的故事到这里结束已够精彩,但还远没有完结。翻开近世数学的教科书和专门著作,阿贝尔这个名字是屡见不鲜的:阿贝尔积分、阿贝尔函数、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔极限定理等等。很少几个数学家能使自己的名字同近世数学中这么多的概念和定理联系在一起。然而他却只活了短短的27年。损失难以估计,正如埃尔米特所说:阿贝尔留下的后继工作,够数学家们忙上五百年。最可悲的是,在他生前,他的才能和成果并没有得到公正的承认。
伽罗瓦更是短命,只活到21岁。伽罗华死于一次决斗,一说他是政治上的激进分子,另一说他是为爱情而决斗。在决斗的前夜,给朋友写信,仓促地把自己生平的数学研究扼要写出,并附以论文手稿。他不时的中断,在纸边空白处写上“我没有时间,我没有时间”,然后又接着写下一个极其潦草的大纲。他在天亮之前那最后几个小时写出的东西,为一个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案,并且开创了数学的一片新的天地。他被公认为数学史上几个最具浪漫主义色彩的人物之一,他的死使数学的发展被推迟了几十年。
三、充满哲学思考
几乎每一章节都有一些发人深思的问题。第四章“最末一数”:“无限的概念虽然不是由逻辑或经验强加给我们的,但它却是一种数学的必然。那么,当一个动作一旦可能,我们的心灵就能够设想这个动作的无限次重复,这种心灵的背后究竟是什么呢?”尤其是第十二章“数学的实在性”,完全就是一场哲学大讨论:数的观念和我们感官所得的实在性之间的关系。要说怀疑无理数的实在性的话,因为它涉及到无限算法,那连同自然数都值得怀疑,因为自然数是建筑在加一可以重复无限次的假定之上的。
甚至“一”也可以看作无限数列1/2,2/3,3/4,4/5,5/6,……中的最末一个数,怎么也绕不开这个无限。正如希尔伯特在纪念维尔斯特拉斯的有名演讲里所说:“无限啊!从来没有别的问题这么深刻地打动人类的精神;也没有别的观念这么有效地刺激起人类的智慧;然而也没有别的概念能像无限概念这么需要澄清……,当我们开始讨论无限的精髓是什么的时候,我们必须首先使自己明白无限在实在性上的意义……”由此,他继续谈到现实中不存在无限可分的均匀连续统,数学只是假设了这种实在性。本书最后指出:“数学的概念如何来审查呢?它是不受审查的!数学是最高审判官;它判决之后,再不能上诉了。”
书中看点不断,当您读完全书,一定会与希腊评注家普罗克洛斯产生共鸣:“这就是数学:她赋予自己的发现以生命;她令思维活跃,精神升华;她烛照我们的内心,消除了我们与身俱有的蒙昧与无知”。
(作者单位:江苏南通师范二附小)
责任编辑李淳
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