您的位置：首页 > 公文范文公文范文
数列的上极限和下极限
2025-08-20人已围观
数列的上极限和下极限
摘要：数列的上极限和下极限是数学分析课程中数列理论的重要概念。事实上，数列的上极限和下极限不仅在数列敛散性判别、求数列极限、级数敛散性判别等方面起着重要的作用，而且可以加深学生对实数完备基本定理的掌握和理解，为学生进一步学习函数、集合的上极限和下极限打下基础。下面将数列上极限和下极限做一简单介绍，以飨读者。
关键词：数列的上极限和下极限；聚点；收敛
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）08-0195-02
在数学分析课程中，数列的敛散性判别非常重要，而证明数列收敛的方法也有很多方法[1]，比如ε-N定义、柯西收敛准则、两个重要准则、归结原理和子列原理等。但是有时也可以用上极限和下极限来判断。本文主要介绍数列上极限和下极限的定义，性质以及其应用。
数列聚点的定义[2]：如果在a∈R的任何邻域内都有数列x的无限项，称a为数列x的一个聚点。
例1：数列{（-1）}的聚点是±1；
例2：数列{sin}的聚点是±1，±和0；
例3：数列有聚点0；
例4：数列，，，，，，，，，，…的聚点是整个闭区间[0，1]；
例5：数列1，1，2，，3，，…，n，，…的聚点是0。
注：（1）收敛数列的聚点必唯一，为数列的极限（证明见定理2），如例3。反之不真，如例5。一般情况下，数列的聚点是不唯一的，如例1、例2、例4。（2）数列的聚点和数集的聚点是有区别的。数{sin|n∈Ν}的聚点是空集；数集{（-1）|n∈Ν}的聚点为±1。
容易证明：
聚点的等价定义[3]： 若数列x的子列x有极限a，则称a为数列x的一个聚点。
聚点的存在性定理[2]：有界数列x至少有一个聚点，且存在最大聚点和最小聚点。
下面是数列上、下极限的定义：
上极限和下极限的定义[2]：有界数列x的最大聚点a与最小聚点a称为数列x的上极限和下极限，记作a=xa=x.
上极限和下极限的等价定义1[2]： 若x为有界数列，则？坌ε>0，（1）若存在N∈Ν，使得當n>N时，有
xa-ε，k=1，2，3，…则称a为数列x的上极限。
若x为有界数列，则？坌ε>0，（1）若存在N∈Ν，使得当n>N时，有x>a-ε；（2）存在子列x，x<a+ε，k=1，2，3，…则a称为数列x的下极限。
上极限和下极限的等价定义2[2，4]：若x为有界数列，则x={x}，x={x}.
定理1[2]：对任何有界数列x，有x≤x，x=-（-x）.
注：容易证明x≤x≤x≤x，其中x为有界数列x的一个子列。
定理2[2]：若x为有界数列，则数列x=a的充要条件是x=x=a.
证明：（必要性）？坌ε>0，？埚N∈Ν，当n>N时，
|x-a|<ε.由聚点的定义，a是数列x的一个聚点。若b是数列x另外一个聚点，不妨a0，存在N∈Ν，当n>N时，x}只有数列的有限项，这与b是数列x的聚点矛盾。从而数列x只有唯一的聚点，（充分性）由等价定义1，由a是数列x的上极限，？坌ε>0，？埚N∈Ν，当n>N时，
x<a+ε.又由a是数列x的下极限，对于上述ε，
？埚N∈Ν，当n>N，x>a-ε.取N=max{N，N}，当n>N时，|x-a|<ε.从而a是x的极限。得证。
注：必要性也可以使用子列原理证明， 过程更简单。另外此定理也可以用来证明数列极限的存在性。
定理3[2]（上、下极限的保不等式性）：若a，b为有界数列，满足：存在N∈Ν，当n>N时，a≤b，则a≤b，a≤b.
证明：假设a=a，b=b，由等价定义2，？坌ε>0，存在N∈Ν，当n>N时，a>a-ε；对于上述ε，存在子列b，对于k∈Ν，b<b+ε；故取
K=max{N，N}∈Ν，当k>K时，a-ε<a<b<b+ε.从而a<b+2ε.由ε的任意性，故a<b.对于上极限可以类似证明。
定理4[2，3]：上、下极限的四则运算。
a+b≤（a+b）≤a+b，
a+b≤（a+b）≤a+b.
当a≥0，b≥0，则
a·b≤（ab）≤a·b，
a·b≤（ab）≤a·b.
当a>0，a>0，则a=.
参考文献：
[1]裴礼文.数学分析中的典型问题和方法[M].北京：高等教育出版社，2006.
[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.
[3]费定晖，周学圣.吉米多维奇数学分析习题集题解[M].山东科学技术出版社，2008.
[4]杜广麟.关于数列的上下极限的几个等价定义[J].安徽师大学报（自然科学版），1981.
相关热词搜索：
极限
数列
2022/0304/37983
摘要：数列的上极限和下极限是数学分析课程中数列理论的重要概念。事实上，数列的上极限和下极限不仅在数列敛散性判别、求数列极限、级数敛散性判别等方面起着重要的作用，而且可以加深学生对实数完备基本定理的掌握和理解，为学生进一步学习函数、集合的上极限和下极限打下基础。下面将数列上极限和下极限做一简单介绍，以飨读者。
关键词：数列的上极限和下极限；聚点；收敛
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）08-0195-02
在数学分析课程中，数列的敛散性判别非常重要，而证明数列收敛的方法也有很多方法[1]，比如ε-N定义、柯西收敛准则、两个重要准则、归结原理和子列原理等。但是有时也可以用上极限和下极限来判断。本文主要介绍数列上极限和下极限的定义，性质以及其应用。
数列聚点的定义[2]：如果在a∈R的任何邻域内都有数列x的无限项，称a为数列x的一个聚点。
例1：数列{（-1）}的聚点是±1；
例2：数列{sin}的聚点是±1，±和0；
例3：数列有聚点0；
例4：数列，，，，，，，，，，…的聚点是整个闭区间[0，1]；
例5：数列1，1，2，，3，，…，n，，…的聚点是0。
注：（1）收敛数列的聚点必唯一，为数列的极限（证明见定理2），如例3。反之不真，如例5。一般情况下，数列的聚点是不唯一的，如例1、例2、例4。（2）数列的聚点和数集的聚点是有区别的。数{sin|n∈Ν}的聚点是空集；数集{（-1）|n∈Ν}的聚点为±1。
容易证明：
聚点的等价定义[3]： 若数列x的子列x有极限a，则称a为数列x的一个聚点。
聚点的存在性定理[2]：有界数列x至少有一个聚点，且存在最大聚点和最小聚点。
下面是数列上、下极限的定义：
上极限和下极限的定义[2]：有界数列x的最大聚点a与最小聚点a称为数列x的上极限和下极限，记作a=xa=x.
上极限和下极限的等价定义1[2]： 若x为有界数列，则？坌ε>0，（1）若存在N∈Ν，使得當n>N时，有
xa-ε，k=1，2，3，…则称a为数列x的上极限。
若x为有界数列，则？坌ε>0，（1）若存在N∈Ν，使得当n>N时，有x>a-ε；（2）存在子列x，x<a+ε，k=1，2，3，…则a称为数列x的下极限。
上极限和下极限的等价定义2[2，4]：若x为有界数列，则x={x}，x={x}.
定理1[2]：对任何有界数列x，有x≤x，x=-（-x）.
注：容易证明x≤x≤x≤x，其中x为有界数列x的一个子列。
定理2[2]：若x为有界数列，则数列x=a的充要条件是x=x=a.
证明：（必要性）？坌ε>0，？埚N∈Ν，当n>N时，
|x-a|<ε.由聚点的定义，a是数列x的一个聚点。若b是数列x另外一个聚点，不妨a0，存在N∈Ν，当n>N时，x}只有数列的有限项，这与b是数列x的聚点矛盾。从而数列x只有唯一的聚点，（充分性）由等价定义1，由a是数列x的上极限，？坌ε>0，？埚N∈Ν，当n>N时，
x<a+ε.又由a是数列x的下极限，对于上述ε，
？埚N∈Ν，当n>N，x>a-ε.取N=max{N，N}，当n>N时，|x-a|<ε.从而a是x的极限。得证。
注：必要性也可以使用子列原理证明， 过程更简单。另外此定理也可以用来证明数列极限的存在性。
定理3[2]（上、下极限的保不等式性）：若a，b为有界数列，满足：存在N∈Ν，当n>N时，a≤b，则a≤b，a≤b.
证明：假设a=a，b=b，由等价定义2，？坌ε>0，存在N∈Ν，当n>N时，a>a-ε；对于上述ε，存在子列b，对于k∈Ν，b<b+ε；故取
K=max{N，N}∈Ν，当k>K时，a-ε<a<b<b+ε.从而a<b+2ε.由ε的任意性，故a<b.对于上极限可以类似证明。
定理4[2，3]：上、下极限的四则运算。
a+b≤（a+b）≤a+b，
a+b≤（a+b）≤a+b.
当a≥0，b≥0，则
a·b≤（ab）≤a·b，
a·b≤（ab）≤a·b.
当a>0，a>0，则a=.
参考文献：
[1]裴礼文.数学分析中的典型问题和方法[M].北京：高等教育出版社，2006.
[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.
[3]费定晖，周学圣.吉米多维奇数学分析习题集题解[M].山东科学技术出版社，2008.
[4]杜广麟.关于数列的上下极限的几个等价定义[J].安徽师大学报（自然科学版），1981.
相关热词搜索：
极限
数列
2022/0304/37983